Exponentialekvationer

Teori

Load video

YouTube

YouTube might collect personal data. Privacy Policy

ContinueDismiss

Exempel på exponentialekvationer

Skillnaden funktion - ekvation

Vilke är egentiligen skillnaden mellan en exponentialfunktion och en exponentialekvation?

Definition
[math]\displaystyle{ f(x) = C \cdot a^{x} }[/math] är en exponentialfunktion

Exponentialfunktioner är en klass av matematiska funktioner som kännetecknas av att funktionsvärdets ändringstakt är proportionell mot funktionsvärdet. Exempelvis kan ränta på ränta beräknas som

[math]\displaystyle{ slutbeloppet = r^x\cdot startbeloppet }[/math]

där [math]\displaystyle{ r^x }[/math] är en exponentialfunktion, den årliga räntefaktorn är r (till exempel 1,10 för 10 % ränta) och x antalet år.

Exponentialfunktionerna kan skrivas på flera former, exempelvis

• [math]\displaystyle{ f(x) = C \cdot e^{kx} }[/math]
• [math]\displaystyle{ f(x) = C \cdot a^{x} }[/math]
• [math]\displaystyle{ f(x) = e^{kx + a} }[/math]

Exempel 1

Bestäm exponentialfunktionen där grafen går genom punkterna (0,2) och (5,6)

1. Sätt in x = 0 så får du C
2. Sätt in x = 5 och y = 6 i funktionen och räkna ut a

Uppgift
Lös upppgiften ovan med GeoGebra Skriv in funktionen [math]\displaystyle{ y = C a^x }[/math] Du kommer då att få frågan om du vill skapa glidare för C och a. Det vill du. Dsa i glidarna och finn lösningen.

Exempel 2

Lös ekvationen 2^x = 1 + 3x grafiskt.

Lös även olikheten 2^x < 1 + 3x

Vatten i termos

Figuren nedan visar temperaturen hos vatten som får svalna i en termos. Mätvärdena har lagts i en lista som heter avsvalning i GeoGebra. Därefter har kommandot RegressionExp[avsvalning] använts för att anpassa en exponentiell funktion till värdena i listan.

Du ser på funktionen f(x) att basen är 0.98 (= förändringsfaktorn)

Logaritmera ekvationer

Dessa och liknade ekvationer löser man genom att logaritmera båda sidorna.

Varför är det så?

Om 10^2a+3b = 10^y så innebär det att 2a+3b = y

Om log(2a+3b) = log y så innebär det att 2a+3b = y

Om log 10^x = log 27 så innebär det att 10^x = 27

Om man går åt andra hållet kan man säga att om 10^x = 27 så innebär det att log 10^x = log 27

Nu har vi hittat en metod att lösa ekvationer med exponentialfunktioner. Den kallas att logaritmera.

Exempel

Lös ekvationen 10^2x = 200

Logaritmering av båda sidorna ger

log 10^2x = log 200

2x = log 200

x = log (200) /2

Aktivitet

Uppgift
Lös verkliga problem Tillämpningar på exponentiell förändring med några uppgifter och övningar