Versionen från 25 mars 2015 kl. 21.12

Exponentialfunktioner och logaritmer

Linjära och exponentiella modeller

Logaritmer och funktionen y = 10^x

Ekvationen 2^x = 3

Dessa och liknade ekvationer löser man genom att logaritmera båda sidorna.

Varför är det så?

Om 10^2a+3b = 10^y så innebär det att 2a+3b = y

Om log(2a+3b) = log y så innebär det att 2a+3b = y

Om log 10^x = log 27 så innebär det att 10^x = 27

Om man går åt andra hållet kan man säga att om 10^x = 27 så innebär det att log 10^x = log 27

Nu har vi hittat en metod att lösa ekvationer med exponentialfunktioner. Den kallas att logaritmera.

Exempel

Lös ekvationen 10^2x = 200

Logaritmering av båda sidorna ger

log 10^2x = log 200

2x = log 200

x = log (200) /2

Tillämpningar på exponentiell förändring

Lektion 2, måndag v 17

Här räknar vi på radioaktivt sönderfall, kol-14-metoden och liknande uppgifter.

Halveringstid

Halveringstid är den tid efter vilken hälften av en given mängd av ett radioaktivt grundämne har sönderfallit. För en enskild instabil partikel kan halveringstiden tolkas som den tid efter vilken sannolikheten är 50% för att partikeln skall ha sönderfallit. Begreppet halveringstid används ofta i samband med radioaktivt sönderfall men kan även beskriva andra former av sönderfall eller nedbrytning, speciellt sådana processer som avtar exponentiellt.

Orsaken till att man definierar begreppet halveringstid är att denna, för ett visst ämne eller partikel, blir konstant (oberoende av tiden och mängden av ett ämnet). Till exempel så återstår hälften av en given mängd av den radioaktiva isotopen kol-14 efter ungefär 5730 år (halveringstiden) oavsett hur stor mängd man startar med. Efter ytterligare en halveringstid återstår således en fjärdedel av den ursprungliga mängden och efter tre halveringstider en åttondel. Rent matematiskt kommer alltså en viss, ständigt minskande, mängd alltid att finnas kvar.

Mängden (antalet atomer eller partiklar), N(t) som återstår vid tiden t kan beräknas enligt formeln

[math]\displaystyle{ N(t)=N(0)\cdot 2^{-t/T_{1/2}} }[/math],

där [math]\displaystyle{ T_{1/2} }[/math] betecknar halveringstiden.

Texten i ovanstående avsnitt kommer från Wikipedia.se

Ekonomiska modeller

Uppgifter

Antag att du köper en bil. Du räknar med att den sjunker i värde med 12 % om året. Vad är den värd om x år?

Din kompis lånar pengar av ett kreditinstitut. Den effektiva räntan verkar inte så farligt hög säger hen. Gå in på nätet och se vad de erbjuder för räntor och räkan ut vad det kostar på fem år med ränta på ränta. Kolla om långivarens uträkningar stämmer.

Din svåger har köpt en andelslägenhet i fjälen och ska hyra ut sin andel genom en förmedling. De erbjuder ett kontrakt där ersättningen ska vara 20 000 per år med en uppräkning på 3.5 procent per år. Ge ett motförslag som baserar sig på en lägre ersättning första året men ger mer pengar i slutändan. vad innebär det att tjäna mer pengar totalt sett?

Kol-14-metoden

C14-metoden (kol-14-metoden eller radiokolmetoden) är en radiometrisk dateringsmetod som utvecklades i slutet av 1940-talet av professor Willard Frank Libby. Libby fick Nobelpriset 1960 för denna upptäckt. Metoden ledde till en mindre revolution inom arkeologin. Den gör det möjligt att datera fornlämningar och fossil innehållande organiskt material, vanligen träkol och ben, på ett sätt som man inte kunde göra tidigare. Tekniken är enbart tillförlitlig för material som varit levande för mindre än omkring 60 000 år sedan[1].

Metoden bygger på att ett antal olika sorters kol finns i allt levande. Växter tar ständigt upp ett nytillskott av kol från luften i form av koldioxid, och det blir sedan del av vävnader hos djur som äter växter eller andra djur. Kolisotopen kol-14 (¹⁴C, utläses ”kol fjorton”) genomgår radioaktivt sönderfall med en halveringstid på 5730 år. Isotopen ¹²C är däremot stabil. Fördelningen mellan dessa två isotoper i levande materia är vanligen densamma som i atmosfären, men vid samma tidpunkt som en organism slutar ta upp kol (d.v.s. dör) börjar andelen ¹⁴C att sjunka. Genom att mäta mängdförhållandet mellan kolisotoperna i ett prov kan man beräkna när organismen i fråga dog.

Texten i ovanstående avsnitt kommer från Wikipedia.se

Fysikalisk bakgrund

Organiska föreningar är kemiska föreningar vilka innehåller kol. De i naturen vanligast förekommande kol-isotoperna är ¹²C och ¹³C. Dessa isotoper är stabila och sönderfaller inte inom mätningshorisonten. Men det finns även en liten andel |¹⁴C som genom betasönderfall övergår till kväve. ¹⁴C har en halveringstid på 5 730 år, vilket betyder att hälften av isotopen har ”försvunnit” efter cirka 6 000 år.

Man antar att den kosmiska strålningen har varit relativt oförändrad under historiens gång. Därmed nyproduceras ¹⁴C-atomer i jämn takt uppe i jordens atmosfär. Detta sker genom reaktionen

[math]\displaystyle{ n + \mathrm{~^{14}_{7}N}\rightarrow\mathrm{~^{14}_{6}C}+ p }[/math]

som är relativt vanlig eftersom jordens atmosfär består av 78 % kväve (N). ¹⁴C nyproduceras ständigt i jordens atmosfär genom den kosmiska strålningen, vilken består av neutroner. Den kosmiska strålningen träffar kväve-14-atomen på 9 000 till 10 000 meters höjd och därefter förenas den nyproducerade ¹⁴C-atomen med syre för att bilda atmosfärisk koldioxid (CO₂). Den atmosfäriska koldioxiden sprider sig sedan ner till jorden på två sätt: den regnar ner eller tas upp av växternas fotosyntes. Det betyder att djur ständigt får i sig färskt ¹⁴C genom födan. Men när organismerna dör upphör detta intag och andelen ¹⁴C minskar med åren. Genom att mäta andelen kol-14 i det organiska materialet kan man bestämma hur länge det varit dött.

[math]\displaystyle{ \mathrm{~^{14}_{6}C}\rightarrow\mathrm{~^{14}_{7}N}+ e^- + \bar{\nu}_e }[/math]

Texten i ovanstående avsnitt kommer från Wikipedia.se

Befolkningstillväxt

Jordens befolkning växer hela tiden. Här kan vi kanske tillämpa en exponentiell modell, men vilken ?

År 2004 hade vi 6.4 miljarder mänskor på jorden och 2010 var det 6.8 miljarder. När överskrider befolkningen 10 miljarder om den tillväxten fortsätter ?

Låt oss sätta 2004 som år 0. På 2010-2004 = 6 år ökade befolkningen med faktorn 6.8/6.4 = 17/16 = 1.0625 eller 6.25%.

   Vår modell kunde se ut så här :

   [math]\displaystyle{  B(t) = 6.4\cdot (\sqrt[6]{\frac{6.8}{6.4}})^t = 6.4\cdot(\sqrt[6]{1.0625})^t  }[/math]

   Då löser vi ekvationen för när denna monotont växande funktions värde blir störrä än 10.

   [math]\displaystyle{  B(10)\gt 10 }[/math]

   Vi tar logaritmen av båda sidorna.

   [math]\displaystyle{  \frac{1}{6} \cdot t \cdot \log_{10}(1.0625) \gt  \log_{10}{(\frac{10}{6.4})}  }[/math]

   [math]\displaystyle{  t \gt  \frac{6\cdot \log_{10}{(\frac{10}{6.4})}}{\log_{10}(1.0625)} \approx 44.17  }[/math]

   Befolkningsmängden på jorden överskrider 10 miljoner under 2048 enligt denna modell.
   Jag antar att befolkningsmätningarna inte anger befolkningsmängden vid sista dagen på året.
   ( för t= 2004 + 44.17 = 2048.17 betyder ca 2 månader efter mätpunkten ).

Testar olika stilar

B(t) = 6.4 (1.0625)^(t/6)

Eftersom jag är ganska ny här: 3 mars 2013 kl. 22.05 (UTC)~

Geobegra

<ggb_applet width="968" height="473" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />

Testa själv

Rita dessa funktioner i GGB:

y = 1 / x är diskontinuerlig

y = lg(x)

y = x^0.5 (roten ur x)

y = (x + 2)^0.5 (roten ur x)

Exempel 1

Sök lösningen till 2/x = x + 1 genom att lägga in de två funktionerna i GGB.

Logaritmer på andra baser

Om du tänker på logaritmens definition så inser du kanske att logaritmen kan definieras för andra baser än tio som vi jobbat med. Du ser exempel här bredvid.

Repetition

Sammanfattning av kap 3

Denna sammanfattning innehåller det viktigaste från från Wikiskola som berör kapitel 3.

Sammanfattning av kapitel 3 i Ma2C

Lösningar till uppgifter i boken

Liber Ma3C, kapitel 3, blandade uppgifter:

42.a

[math]\displaystyle{ 3^2^x + 3^x = 6 }[/math]

[math]\displaystyle{ 3^x 3^x + 3^x = 2*3 }[/math]

[math]\displaystyle{ 3^x (3^x + 1) = 2*3 }[/math]

Jämför faktorerna på respektive sida. Den ena är ett större än den andra. 2+1 = 3.

[math]\displaystyle{ 3^x = 2 }[/math]

och

[math]\displaystyle{ (3^x + 1) = 3 }[/math]

[math]\displaystyle{ \log{3^x } = \log{2} }[/math]

[math]\displaystyle{ x \log{3} = \log{2} }[/math]

[math]\displaystyle{ x = \fraq { \log{2}}{\log{3} }[/math]

Övningar

Du kan printa denna! (flera tester)

Khan: Logaritms 1
Blandade repetitionsuppgifter funktioner Ma2C
Gör denna övning
Bruno Kevius om logaritmen. Läs även andra sidor som kan vara nyttiga.
Gör testet i boken och sedan blandade uppgifter.

Uppgift

Gör tre egna provuppgifter

Gör tre uppgifter som passar till ett prov på kapitlet. Minst en uppgift ska vara av C-svårighet. Gärna en A-uppgift

Skriv i Pages och använd samma mall i er grupp.

Sedan lägger ni ihop alla era uppgifter inom gruppen och skapa ett prov. Gör en snygg överskrift. Ange era namn. Sortera uppgifterna på lämligt sätt. Vid varje uppgift ska det framgå vilket betyg man kan få på uppgiften.

Mejla mig när ni är klara så publicerar jag och delar med de andra klasserna.

Film

Det finns hur mycket som helst nu. Ett exempel som jag fastnade för därför att det är en enkel sak som vi inte gått in på fast jag vet att några av er använder det.

PolhemsJocke är en ny bekantskap:

Prov

Här är provet från vt 2013:

Du kan printa denna! Prov Ma2C kap3

Denna ppt innehåller lösningar på alla uppgifter i provet: PPT med lösningar till prov Ma2C kap 3

@@ Rad 11: / Rad 11: @@
 == [[Räkneregler för logaritmer]] ==
-== Logaritmiska modeller ==
+== [[Logaritmiska modeller]] ==
-[[Fil:Lackmuspapper5_besk.png|800px|Lackmuspapper vid olika pH]]
-=== pH ===
-[[Fil:Indicateurs colorés de pH.jpg|miniatyr|Några olika pH-indikatorer]]
-'''''p''H''' är ett logaritmiskt mått på surhet, det vill säga på aktiviteten av vätejoner (H<sup>+</sup>) i en lösning. Lösningar med låga ''p''H-värden är [[syra|sura]], och de med höga kallas basiska. Lösningar som har ''p''H 7 (vid 25&nbsp;°C) kallas neutrala. Symbolen ''p'' i ''p''H är en operatorbeteckning innebärande att man anger den negativa 10-logaritmen av vätejonaktiviteten; det vill säga
-:<math>p\rm H = -\log_{10}{[H^+]}</math>.
-''p''H-skalan infördes av Søren Peder Lauritz Sørensen 1909.
-En stark syra med hög koncentration har ett ''p''H-värde nära 0; en stark bas med hög koncentration  har pH-värde nära 14. ''p''H-skalan är dock inte begränsad till 0-14 och det finns till exempel riktigt starka syror med negativa ''p''H-värden (under 0). Utifrån definitionen av ''p''H får man:
-* Vid ''p''H 1 är vätejonaktiviteten {H<sup>+</sup>} = 1·10<sup>-1</sup>.
-* Vid ''p''H 7 är vätejonaktiviteten {H<sup>+</sup>} = 1·10<sup>-7</sup>.
-* Vid ''p''H 14 är vätejonaktiviteten {H<sup>+</sup>} = 1·10<sup>-14</sup>.
-{{wp}}
-'''Läs:''' [http://sv.wikipedia.org/wiki/PH Wikipedia om pH].
-==== Räkneövning ====
-. Bestäm <math>{[H^+]}}</math> för en lösning med pH = 3.0
-. Vad är pH-värdet om <math>{[H^+]}}</math> är 8.5 10<sup>-6</sup>?
-=== Richterskalan ===
-Richterskalan är en skala som används för att ange styrkan hos jordbävningar. Skalan är en logaritmisk skala där varje steg motsvarar en ökning av magnituden (skakningen) med cirka 10 gånger. Detta motsvarar ca 32 gånger mer energi. En jordbävning på 3–4 är knappt märkbar; en på 8 eller mer kan ödelägga städer om den inträffar i tättbebyggda områden. Jordbävningar på cirka 8,0 inträffar i genomsnitt en gång per år medan jordbävningar på mer än 9 inträffar mer sällan. Skalan kan även anta negativa värden, men så svaga jordbävningar är svåra att detektera.
-Skalan togs fram år 1935 av Charles Richter i samarbete med Beno Gutenberg vid California Institute of Technology. Nollpunkten i skalan definierades som ”en jordbävning som på 100 km avstånd registreras på en Wood-Anderson-seismometer med ett utslag på 1 mikrometer”. Nollpunkten är alltså en extremt svag jordbävning, på den tiden i praktiken nästan omätbar. Syftet var att skalan inte skulle behöva anta negativa värden i praktiska fall, även om skalan alltså även innefattar sådana.
-Mellan jordbävningens magnitud M och den frigjorda energin E (Joule), finns sambandet <math>M=\frac{2}{3}\cdot (\log{E}-K) </math> där K är en korrektionskonstant beroende av avståndet till epicentrum.
-{{wp}}
-'''Läs:''' [http://sv.wikipedia.org/wiki/Richterskalan Wikipedia om Richterskalan ].
-=== decibel ===
-<math>
-L_\mathrm{dB} = 10 \log_{10} \bigg(\frac{P_1}{P_0}\bigg) \,
-</math>
-'''Läs:''' [http://sv.wikipedia.org/wiki/Decibel Wikipedia om Decibel ].
 == Ekvationen 2<sup>x</sup> = 3 ==

Exponentialfunktioner och logaritmer: Skillnad mellan sidversioner

Versionen från 25 mars 2015 kl. 21.12

Innehåll

Exponentialfunktioner och logaritmer