Induktans, spole i en krets: Skillnad mellan sidversioner
Hakan (diskussion | bidrag) |
Hakan (diskussion | bidrag) |
||
| Rad 89: | Rad 89: | ||
: <math> i = \frac{U}{R} ( 1 - e^{-R | : <math> i = \frac{U}{R} ( 1 - e^{-\frac{R}{L} t}) </math> | ||
{{clear}} | {{clear}} | ||
Versionen från 10 december 2014 kl. 13.52
En elektrisk ström som flyter genom en krets orsakar ett magnetiskt fält och därmed ett magnetiskt flöde .[math]\displaystyle{ \Phi. }[/math] genom kretsen. Förhållandet mellan det magnetiska flödet och strömstyrkan kallas induktans eller mera korrekt kretsens självinduktans. Vanligtvis används symbolen.[math]\displaystyle{ L. }[/math] för induktans. Den kvantitativa definitionen av induktans är
- [math]\displaystyle{ L= \frac{\Phi}{i}. }[/math]
SI-enheterna för induktans är Weber per ampere, eller Henry (H): 1 H = 1 Wb/A.
De tre filmerna i detta avsnitt visar först ett praktiskt experiment, sedan en beskrivning av induktansen i en krets och sist ett räkneexempel.
Här nedan kommer en härledning av begreppet induktans.
Induktans
Från tidigare vet vi att:
- [math]\displaystyle{ B = \mu_0 \frac{N}{l} i }[/math]
där [math]\displaystyle{ \mu_0 }[/math] är konstanten [math]\displaystyle{ 4 \pi \cdot 10^{-7} }[/math], N är antalet varv på spolen, [math]\displaystyle{ l }[/math] är spolens längd och [math]\displaystyle{ i }[/math] är strömmen.
och vi vet även att
- [math]\displaystyle{ \Phi = B \cdot A }[/math]
Kombinerar vi dessa får vi:
- [math]\displaystyle{ \Phi = \mu_0 \frac{N}{l} i A }[/math]
Snyggare blir det om vi skriver
- [math]\displaystyle{ \Phi = \mu_0 \frac{N}{l} A i }[/math]
För vi intresserar oss nu för vad som händer när vi låter [math]\displaystyle{ i }[/math] variera. En ändring för [math]\displaystyle{ i }[/math] leder naturligtvis till en ändring av det magnetiska flödet [math]\displaystyle{ \Phi }[/math]
- [math]\displaystyle{ \frac{\Delta\Phi}{\Delta t} = \mu_0 \frac{N A}{l} \frac{\Delta i}{\Delta t} }[/math]
Sedan tidigare vet vi att
- [math]\displaystyle{ e = N \frac{\Delta\Phi}{\Delta t} }[/math]
vilket ger oss
- [math]\displaystyle{ e = \mu_0 \frac{N^2 A}{l} \frac{\Delta i}{\Delta t} }[/math]
[math]\displaystyle{ \mu_0 }[/math] , antalet varv, längden och arena för en spole är ju konstant (när strömmen och flödet ändras) och den delen av formeln har fått ett namn, nämligen spolens induktans, L. L har enheten Hnery [H].
Vår nya snygga formel blir
- [math]\displaystyle{ e = L \frac{\Delta i}{\Delta t} }[/math]
Att bryta strömmen i en induktiv krets
Betrakta kretsen till höger. Spänningen U ligger över kretsen när kretsen är sluten. Spolen har en låg resistans.
I det ögonblick när kretsen bryts gäller
- [math]\displaystyle{ e = L \frac{\Delta i}{\Delta t} }[/math]
När kretsen bryts tvingas strömmen snabbt ner till noll. [math]\displaystyle{ \Delta t }[/math] blir då mycket litet vilket innebär att [math]\displaystyle{ e }[/math] kan bli mycket högre än den ursprungliga spänningen. Detta utnyttjas för att skapa gnistor men kan lika gärna vara en brandfara i andra sammanhang.
Induktansen i en krets
Ovan såg vi att
- [math]\displaystyle{ e = L \frac{\Delta i}{\Delta t} }[/math]
vilket kan skrivas som derivatan av strömmen
- [math]\displaystyle{ e = L \frac{d i}{d t} }[/math]
Om vi har en krets med ett motstånd och en spole och matar den med en fyrkantsspänning får vi ett intressant förlopp.
Om det bara var ett motstånd i kretsen skulle strömmen växla på samma sätt som spänningen i fyrkantsvågen men med spolen inkopplad sker en fördröjning i hur strömmen växer och avtar.
När spänningen slås på har vi att
- [math]\displaystyle{ U = Ri + e = Ri + L \frac{\Delta i}{\Delta t} }[/math]
Och när strömmen slås av får vi att
- [math]\displaystyle{ 0 = Ri - L \frac{\Delta i}{\Delta t} }[/math]
Dessa två differentialekvationer har lösningarna
- [math]\displaystyle{ i = \frac{U}{R} ( 1 - e^{-\frac{R}{L} t}) }[/math]