Induktans, spole i en krets

Från Wikiskola
Hoppa till navigering Hoppa till sök

Nok-logga croppad fr bild sv wikipedia.jpg NoK Heureka Fysik 2: 115-117

En elektrisk ström som flyter genom en krets orsakar ett magnetiskt fält och därmed ett magnetiskt flöde .[math]\displaystyle{ \Phi. }[/math] genom kretsen. Förhållandet mellan det magnetiska flödet och strömstyrkan kallas induktans eller mera korrekt kretsens självinduktans. Vanligtvis används symbolen.[math]\displaystyle{ L. }[/math] för induktans. Den kvantitativa definitionen av induktans är

[math]\displaystyle{ L= \frac{\Phi}{i}. }[/math]

SI-enheterna för induktans är Weber per ampere, eller Henry (H): 1 H = 1 Wb/A.

De tre filmerna i detta avsnitt visar först ett praktiskt experiment, sedan en beskrivning av induktansen i en krets och sist ett räkneexempel.

Här nedan kommer en härledning av begreppet induktans.

Induktans

Från tidigare vet vi att:

[math]\displaystyle{ B = \mu_0 \frac{N}{l} i }[/math]

där [math]\displaystyle{ \mu_0 }[/math] är konstanten [math]\displaystyle{ 4 \pi \cdot 10^{-7} }[/math], N är antalet varv på spolen, [math]\displaystyle{ l }[/math] är spolens längd och [math]\displaystyle{ i }[/math] är strömmen.

och vi vet även att

[math]\displaystyle{ \Phi = B \cdot A }[/math]

Kombinerar vi dessa får vi:

[math]\displaystyle{ \Phi = \mu_0 \frac{N}{l} i A }[/math]

Snyggare blir det om vi skriver

[math]\displaystyle{ \Phi = \mu_0 \frac{N}{l} A i }[/math]

För vi intresserar oss nu för vad som händer när vi låter [math]\displaystyle{ i }[/math] variera. En ändring för [math]\displaystyle{ i }[/math] leder naturligtvis till en ändring av det magnetiska flödet [math]\displaystyle{ \Phi }[/math]

[math]\displaystyle{ \frac{\Delta\Phi}{\Delta t} = \mu_0 \frac{N A}{l} \frac{\Delta i}{\Delta t} }[/math]

Sedan tidigare vet vi att

[math]\displaystyle{ e = N \frac{\Delta\Phi}{\Delta t} }[/math]

vilket ger oss

[math]\displaystyle{ e = \mu_0 \frac{N^2 A}{l} \frac{\Delta i}{\Delta t} }[/math]

[math]\displaystyle{ \mu_0 }[/math] , antalet varv, längden och arena för en spole är ju konstant (när strömmen och flödet ändras) och den delen av formeln har fått ett namn, nämligen spolens induktans, L. L har enheten Hnery [H].

Vår nya snygga formel blir

[math]\displaystyle{ e = L \frac{\Delta i}{\Delta t} }[/math]

Att bryta strömmen i en induktiv krets

Faraday emf experiment

Betrakta kretsen till höger. Spänningen U ligger över kretsen när kretsen är sluten. Spolen har en låg resistans.

I det ögonblick när kretsen bryts gäller

[math]\displaystyle{ e = L \frac{\Delta i}{\Delta t} }[/math]

När kretsen bryts tvingas strömmen snabbt ner till noll. [math]\displaystyle{ \Delta t }[/math] blir då mycket litet vilket innebär att [math]\displaystyle{ e }[/math] kan bli mycket högre än den ursprungliga spänningen. Detta utnyttjas för att skapa gnistor men kan lika gärna vara en brandfara i andra sammanhang.

Induktansen i en krets

RL-krets

Ovan såg vi att

[math]\displaystyle{ e = L \frac{\Delta i}{\Delta t} }[/math]

vilket kan skrivas som derivatan av strömmen

[math]\displaystyle{ e = L \frac{d i}{d t} }[/math]

Om vi har en krets med ett motstånd och en spole och matar den med en fyrkantsspänning får vi ett intressant förlopp.

Om det bara var ett motstånd i kretsen skulle strömmen växla på samma sätt som spänningen i fyrkantsvågen men med spolen inkopplad sker en fördröjning i hur strömmen växer och avtar.

När spänningen slås på har vi att

[math]\displaystyle{ U = Ri + e = Ri + L \frac{\Delta i}{\Delta t} }[/math]

Och när strömmen slås av får vi att

[math]\displaystyle{ 0 = Ri - L \frac{\Delta i}{\Delta t} }[/math]

Dessa två differentialekvationer har lösningarna


[math]\displaystyle{ i = \frac{U}{R} ( 1 - e^{-\frac{R}{L} t}) \ \ och \ \ i = \frac{U}{R} e^{-\frac{R}{L} t} }[/math]

Det är exponentiellt växande och avtagande funktioner. Deriverar man uttrycken med avseende på tiden så ser man att det stämmer.