Derivatan för en funktion

Teori

Exempel

GeoGebraförklaring

Aktivitet

Python

Fördjupning

Lär mer

[redigera]

Introduktion till derivatan

Load video

YouTube

YouTube might collect personal data. Privacy Policy

ContinueDismiss

Introduktion till derivatan

Utgångspunkt

Vi har lärt oss derviera funktioner och få fram förändringen.

Vi har sett tangents funktion att vis lutningen, d v s förändringen.

Nu ska vi förena dessa två genom en definition av derivatan vilken vi senare kan använda för att bevisa de deriverngsregler vi redan sett i formelsamlingen.

Begrepp

Man kan skriva derivatan på flera sätt

• Derivatan av [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] skrivs [math]\displaystyle{ f'(x) }[/math]
• Derivatan av [math]\displaystyle{ y(x) }[/math] skrivs [math]\displaystyle{ y'(x) }[/math]
• Ibladn ser man exempelvis D 3x² = 6x

Vi kommer använda begreppen sekant, tangent, ändringskvot och gränsvärde.

Derivatan är lutningen

Definition
Tangenten visar grafens lutning i den punkten Tangentens lutning är samma som kurvans lutning i denna punkt och visar funktionens förändring i punkten. Tangentens lutningen i punkten där [math]\displaystyle{ x = a }[/math] skrivs: [math]\displaystyle{ k = \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x-a} }[/math] Detta är derivatan i punkten [math]\displaystyle{ (a, f(a)) }[/math]

Geometrisk tolkning

Derivatan är tangentens lutning i (x, f(x))

Om en funktion f åskådliggörs av en graf y = f(x) så anger derivatan av f grafens lutning (förändring av y per förändring av x) för varje värde x. Derivatan i en punkt är således lika med riktningskoefficienten för kurvans tangent i den valda punkten (x, f(x)).

Derivatan är lutningen i en punkt

Load video

YouTube

YouTube might collect personal data. Privacy Policy

ContinueDismiss

Derivatans definition

Om du ska räkna ut lutningen i en punkt får du problem. [math]\displaystyle{ k = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{0}{0} }[/math] och det går ju inte. Här behövs formell matematik.

Nu utgår vi från en punkt [math]\displaystyle{ (x,f(x)) }[/math] och så kallar vid punktensom närmar sig för [math]\displaystyle{ (x+h,f(x+h)) }[/math]. När [math]\displaystyle{ h }[/math] krymper kommer den andra punkten att närma sig den första. Man säger att h går mot noll och det skrivs

[math]\displaystyle{ \lim_{h \to 0} }[/math]

Detta kan sammanfattas på matematisk form och kallas derivata.

Definition
Derivatan av funktionen [math]\displaystyle{ f }[/math] i punkten [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] definieras som gränsvärdet [math]\displaystyle{ f'(x_0)= \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h} }[/math]

Med denna form för att skriv derivatans definition kan man sätta in polynom och andra funktioner i definitionen, förenkla det rationella uttrycket och förkorta bort h i nämnare så att det går att beräkna gränsvärdet. Mer om hur det går till ser du under nästa flik - Exempel.