Introduktion till derivatan med problemlösning

Du ska få lära dig derivator på ett effektivt sätt:

1. Först en frågeställning
2. Sedan ser vi hur derivatan hjälper oss lösa problemet
3. Därefter lär vi oss derivera
4. Slutligen kommer derivatans definition

Alltså inte begreppen först och tillämpningen sen utan frågeställningen som leder till behov av verktyg. Sätt igång!

Teori - Problemlösning med derivata

Varför vinner kvadraten?

Fence twig

Ett klassiskt problem är detta.

Tänk dig att du har ett staket som är 100 m långt och du ska hägna in ett så stort område som möjligt. Du får välja mellan olika breda rektanglar och en kvadrat.

Teori - Deriveringsregler

Varför inte börja med de enkla deriveringsreglerna. Det är enkelt och gör att vi snabbt kan göra något nyttigt.

Deriveringsregler:

Derivatan av funktionen [math]\displaystyle{ f(x) = x\, }[/math] är funktionen [math]\displaystyle{ f^\prime(x) = 1 }[/math].

Derivatan av funktionen [math]\displaystyle{ f(x) = x^2, }[/math] är funktionen [math]\displaystyle{ f^\prime(x) = 2x }[/math].

Det kan generaliseras till att funktionen [math]\displaystyle{ f(x) = x^n }[/math] har derivatan [math]\displaystyle{ (f^\prime(x) = n \cdot x^{n-1} }[/math].

Derivatan av [math]\displaystyle{ e^{kx}\ }[/math] är [math]\displaystyle{ ke^{kx} }[/math].

Derivatan av [math]\displaystyle{ a^x\, }[/math] är [math]\displaystyle{ a^x \ln(a) }[/math]

Derivatan av [math]\displaystyle{ \ln(x) }[/math] är [math]\displaystyle{ \frac{1}{x} }[/math]

Derivatan av [math]\displaystyle{ \sin(x) }[/math] = [math]\displaystyle{ \cos(x) }[/math]

Derivatan av [math]\displaystyle{ \cos(x) }[/math] = [math]\displaystyle{ -\sin(x) }[/math]

Uppgift
Derivera följande funktioner: [math]\displaystyle{ f(x) = 5x^2 + 3x +7 }[/math] [math]\displaystyle{ f(x) = \ln(x) + 2x^7 }[/math]

Additionsregeln

Derivatan av en summa av två funktioner som båda är deriverbara:

[math]\displaystyle{ (f + g)^\prime = f^\prime + g^\prime. }[/math]

Linjäritet

En konstant (c) kan flyttas ut ur deriveringen:

[math]\displaystyle{ (c \cdot f)^\prime = c \cdot f^\prime. }[/math]

Produktregeln

Produkten av två deriverbara funktioner är deriverbar, och derivatan ges av följande formel.

[math]\displaystyle{ (f \cdot g)^\prime = f^\prime \cdot g + g ^\prime \cdot f. }[/math]

Kvotregeln

Derivatan av kvoten [math]\displaystyle{ \frac{f}{g} }[/math] ges av följande funktion:

[math]\displaystyle{ \frac{f^\prime \cdot g - g^\prime \cdot f}{g^2} }[/math]

Derivata av sammansatt funktion (kedjeregeln)

En sammansatt funktion f(g(x)) är en funktion f(x) som har en annan funktion g(x) som sitt argument, istället för en variabel som x. Detta kan även skrivas [math]\displaystyle{ (f \circ g)(x) }[/math] för att förtydliga att g inte är en variabel utan själv är en funktion av variabeln x. Derivatan av en sammansatt funktion går under namnet kedjeregeln:

[math]\displaystyle{ (f(g))^\prime = f^\prime(g)\cdot g^\prime. }[/math]

Uppgifter

Maximera hagens area om den står mot en vägg

Nu har vi 70 m staket men denna gång bygger vi hagen mot en ladugårdsvägg. Tre sidor staket och en vägg. Ladan är 35 meter lång.

Vilka mått har den största möjliga hagen?

Lär mer

Läs om en av upphovsmännen tillderivatan

En text om Leibniz