Exponentialekvationer

Teori

Ladda video

YouTube

YouTube kan komma att samla in personuppgifter. Integritetspolicy

Fortsätt Avfärda

Exempel på exponentialekvationer

EmbedVideo fick ett ogiltigt värde för justeringsparametern "rightLogaritmer med olika baser, av Andreas Borg". Giltiga värden är "right" för högerställd, "left" för vänsterställd, "center" för centrerad eller "inline".

Skillnaden funktion - ekvation

Vilke är egentiligen skillnaden mellan en exponentialfunktion och en exponentialekvation?

Definition
[math]\displaystyle{ f(x) = C \cdot a^{x} }[/math] är en exponentialfunktion

Exponentialfunktioner är en klass av matematiska funktioner som kännetecknas av att funktionsvärdets ändringstakt är proportionell mot funktionsvärdet. Exempelvis kan ränta på ränta beräknas som

[math]\displaystyle{ slutbeloppet = r^x\cdot startbeloppet }[/math]

där [math]\displaystyle{ r^x }[/math] är en exponentialfunktion, den årliga räntefaktorn är r (till exempel 1,10 för 10 % ränta) och x antalet år.

Exponentialfunktionerna kan skrivas på flera former, exempelvis

• [math]\displaystyle{ f(x) = C \cdot e^{kx} }[/math]
• [math]\displaystyle{ f(x) = C \cdot a^{x} }[/math]
• [math]\displaystyle{ f(x) = e^{kx + a} }[/math]

Exempel 1

Bestäm exponentialfunktionen där grafen går genom punkterna (0,2) och (5,6)

1. Sätt in x = 0 så får du C
2. Sätt in x = 5 och y = 6 i funktionen och räkna ut a

Uppgift
Lös upppgiften ovan med GeoGebra Skriv in funktionen [math]\displaystyle{ y = C a^x }[/math] Du kommer då att få frågan om du vill skapa glidare för C och a. Det vill du. Dsa i glidarna och finn lösningen.

Exempel 2

Lös ekvationen 2^x = 1 + 3x grafiskt.

Lös även olikheten 2^x < 1 + 3x

Vatten i termos

Figuren nedan visar temperaturen hos vatten som får svalna i en termos. Mätvärdena har lagts i en lista som heter avsvalning i GeoGebra. Därefter har kommandot RegressionExp[avsvalning] använts för att anpassa en exponentiell funktion till värdena i listan.

Du ser på funktionen f(x) att basen är 0.98 (= förändringsfaktorn)

Logaritmera ekvationer

Dessa och liknade ekvationer löser man genom att logaritmera båda sidorna.

Varför är det så?

Om 10^2a+3b = 10^y så innebär det att 2a+3b = y

Om log(2a+3b) = log y så innebär det att 2a+3b = y

Om log 10^x = log 27 så innebär det att 10^x = 27

Om man går åt andra hållet kan man säga att om 10^x = 27 så innebär det att log 10^x = log 27

Nu har vi hittat en metod att lösa ekvationer med exponentialfunktioner. Den kallas att logaritmera.

Exempel

Lös ekvationen 10^2x = 200

Logaritmering av båda sidorna ger

log 10^2x = log 200

2x = log 200

x = log (200) /2

Aktivitet

Uppgift
Lös verkliga problem Tillämpningar på exponentiell förändring med några uppgifter och övningar