Rationella uttryck: Skillnad mellan sidversioner
Hoppa till navigering
Hoppa till sök
Hakan (diskussion | bidrag) |
Hakan (diskussion | bidrag) |
||
| (14 mellanliggande sidversioner av samma användare visas inte) | |||
| Rad 12: | Rad 12: | ||
<br> | <br> | ||
: <math> \dfrac{ | : <math> \dfrac{5x^2+2x}{x+6} </math> | ||
I det första exemplet bildas en kvot mellan 6x+ | I det första exemplet bildas en kvot mellan 6x+23 i täljaren och x i nämnaren; i det andra exemplet bildas en kvot mellan 5x2+2x i täljaren och x+6 i nämnaren. | ||
Rationella uttryck har liknande egenskaper som bråk och på samma sätt som för ett bråk är det viktigt att nämnaren inte har värdet noll, eftersom division med noll inte är definierat. I ett vanligt bråk är det ofta lätt att se om nämnaren är noll. När man har ett polynom i nämnaren kan det vara så att nämnaren blir noll för vissa värden på en ingående variabel, men inte för andra värden på denna. | Rationella uttryck har liknande egenskaper som bråk och på samma sätt som för ett bråk är det viktigt att nämnaren inte har värdet noll, eftersom division med noll inte är definierat. I ett vanligt bråk är det ofta lätt att se om nämnaren är noll. När man har ett polynom i nämnaren kan det vara så att nämnaren blir noll för vissa värden på en ingående variabel, men inte för andra värden på denna. | ||
| Rad 38: | Rad 38: | ||
}} | }} | ||
För att undersöka när ett rationellt uttryck är odefierat måste man först förenkla. | För att undersöka när ett rationellt uttryck är odefierat måste man först förenkla. | ||
=== Addition och subtraktion av rationella uttryck === | === Addition och subtraktion av rationella uttryck === | ||
| Rad 80: | Rad 61: | ||
<br /> | <br /> | ||
<br /> | <br /> | ||
=== Multiplikation och division av rationella uttryck === | === Multiplikation och division av rationella uttryck === | ||
| Rad 159: | Rad 91: | ||
'''Division''' | '''Division''' | ||
: <math> \dfrac{a}{b} / \dfrac{c}{d} = \dfrac{a} {b} \cdot \dfrac{d}{ c} = \dfrac{a d} {b c} </math> | : <math> \dfrac{a}{b} / \dfrac{c}{d} = \dfrac{a} {b} \cdot \dfrac{d}{ c} = \dfrac{a d} {b c} </math> | ||
'''Samma gäller för rationella uttryck.''' | |||
Om vi ersätter <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math>, <math>d</math> med rationella uttryck så gäller samma regler. | |||
}} | }} | ||
= Exempel = | = Exempel = | ||
== Förenklingar av rationella uttryck med hjälp av konjugat- och kvadreringsreglerna == | |||
Du har tidigare faktoriserat polynom. Nu ska vi använda konjugat- och kvadreringsreglerna för att faktorisera täljaren i ett rationellt uttryck så att vi kan förenkla genom att förkorta bort en faktor som återfinns i nämnaren. | Du har tidigare faktoriserat polynom. Nu ska vi använda konjugat- och kvadreringsreglerna för att faktorisera täljaren i ett rationellt uttryck så att vi kan förenkla genom att förkorta bort en faktor som återfinns i nämnaren. | ||
| Rad 184: | Rad 120: | ||
}} | }} | ||
Här kommer ett lite svårare exempel | === Här kommer ett lite svårare exempel === | ||
{{exruta| '''Förenkla uttrycket''' | {{exruta| '''Förenkla uttrycket''' | ||
| Rad 200: | Rad 136: | ||
: <math> - x -3 </math> | : <math> - x -3 </math> | ||
}} | }} | ||
==== Låt oss ta ett exempel på definitionsmängd ==== | |||
{{exruta | '''När är uttrycket odefinierat?''' | |||
<br /> | |||
<math> \dfrac{x^2-4}{x(x+2)}</math> | |||
Utveckla kvadrattermen | |||
<math> \dfrac{(x+2)(x-2)}{x(x+2)}</math> | |||
Förkorta | |||
<math> \dfrac{(x-2)}{x}</math> | |||
Svar: Uttrycket är odefinerat när <math> x = 0 </math> | |||
}} | |||
== Addition av rationella uttryck == | |||
=== Exempel med siffror === | |||
{{exruta| '''Addition av bråk med siffror''' | |||
'''Kom ihåg''' att det måste vara '''samma nämnare''' när bråktal adderas och subtraheras. | |||
: <math>\dfrac{3}{4} + \dfrac{5}{9} </math> | |||
Vi förlänger så att båda bråken får den minsta gemensamma nämnaren. Hitta minsta gemensamma nämnare genom att faktorisera: | |||
: <math>4 = 2 \cdot 2 ~och~ 9 {{=}} 3 \cdot 3 ~→~ Mgn ~{{=}} 2 \cdot 2 \cdot 3\cdot 3 {{=}} 4 \cdot 9 {{=}} 36.</math> | |||
Vi förlänger så att varje nämnare blir mgn: | |||
: <math>\dfrac{(3 \cdot 9) }{ (4 \cdot 9)} + \dfrac{(5 \cdot 4)}{ (9 \cdot 4)} {{=}} \dfrac{27}{36} + \dfrac{20 }{ 36}</math> | |||
Sedan sätter vi på ett gemensamt bråkstreck: | |||
: <math>\dfrac{(27 + 20)}{ 36}</math> | |||
Till sist förenklar vi i täljaren: | |||
: <math> \dfrac{47}{ 36}</math> | |||
Och tittar sedan om det går att förenkla något: <math>\dfrac{7 \cdot 7 }{ 6 \cdot 6}</math> . Det går inte att förenkla. | |||
}} | |||
<br> | |||
=== Exempel med rationella uttryck === | |||
<br /> | |||
{{exruta| '''Förenkla uttrycket''' | |||
: <math> \dfrac{x}{x+1} - \dfrac{1}{x} </math> | |||
Förenkla betyder i detta sammanhang att föra samman termerna genom att ge dem samma nämnare (göra liknämningt). | |||
: <math> \dfrac{x \cdot x}{x(x+1)} - \dfrac{x + 1}{x(x+1)} </math> | |||
Utför subtraktionen i täljaren: | |||
: <math> \dfrac{x^2 - x - 1}{x(x+1)} </math> | |||
Uttrycket är odefinerat när <math> x = 0,~ x = -1 </math> | |||
}} | |||
=== GeoGebra visar hur det ser ut i exemplet ovan === | |||
Klicka i plupparna för att visa respektive graf. | |||
<html> <iframe scrolling="no" src="https://tube.geogebra.org/material/iframe/id/2037679/width/800/height/503/border/888888/rc/false/ai/false/sdz/true/smb/false/stb/false/stbh/true/ld/false/sri/true/at/auto" width="800px" height="503px" style="border:0px;"> </iframe> </html> | |||
= Aktivitet = | = Aktivitet = | ||
| Rad 206: | Rad 213: | ||
Gör ett eget exempel på multiplikation eller division av rationella uttryck. | Gör ett eget exempel på multiplikation eller division av rationella uttryck. | ||
Skriv ner en korrekt redovisning av lösningen. Använd gärna digitalpenna. | |||
}} | }} | ||
Nuvarande version från 21 september 2021 kl. 07.13