Index, lån, amortering

Teori

Exempel

Begrepp

Aktivitet

Python

Uppgifter

Rejäl uppgift

Låna till bostad

Lär mer

[redigera]

Index

När vi vill jämföra hur värden har förändrats över tid används ofta något som kallas för index. När man räknar med index beskriver man en värdeutveckling i förhållande till en specifik startpunkt, ofta kallad basår.

Om vi exempelvis vet att en godispåse kostade 4 kronor år 1990, 5 kronor år 1991, och 6 kronor år 1992, då kan vi beskriva prisförändringen med hjälp av index. Om vi sätter år 1990 till vårt basår, kan vi sedan jämföra de senare årens värden med värdet som gällde år 1990. Vi får då en förändringsfaktor där basårsvärdet alltid är vårt gamla värde.

Vi kan ställa upp värdena i en tabell:

År	Pris (kr)	Förändringsfaktor	Index
1990	4	4/4 = 1	100
1991	5	5/4 = 1,25	125
1992	6	6/4 = 1,50	150

Man kan, när man har gjort alla beräkningarna, göra om tabellen, så att den enbart innehåller år och index, eftersom det är just den information vi är intresserad av i det här sammanhanget.

År	Index
1990	100
1991	125
1992	150

I tabellen kan vi se att priset på godispåsen har ökat med 50 % från år 1990 till 1992, eftersom index för år 1992 ligger på 150 jämfört med basåret 1990:s index på 100.

Om vi vill få reda på förändringen mellan åren 1991 och 1992, då delar vi indexvärdena för dessa år och får förändringsfaktorn:

150 / 125 = 1,20

vilket innebär en ökning på 20 % vad gäller priset från år 1991 till år 1992.

Texten ovan kommer från mattteboken.se

Konsumentprisindex

Definition
Index Ett index är förändringsfaktorn multiplicerat med 100 %. Vid indexuppräkning behöver man en starttidpunkt, basåret, det år då index börjar vid 100 %.

Konsumentprisindex

• SCB: Konsumentprisindex
• Wikipedia skriver om Konsumentprisindex
• Wikipedia skriver om Big_Mac-index

Load video

YouTube

YouTube might collect personal data. Privacy Policy

ContinueDismiss

Mikael Bondestam om lån, ränta och amortering.

Ränteberäkning med förändringsfaktor

Vad händer om ränta läggs på ränta? Det kan vara dina pengar på ett sparkonto eller i ett värre fall någon som lånat pengar utan kunna betala tillbaka. Det händer till exempel när människor tar så kallade SMS-lån. I båda fallen kommer det utlånade beloppet att öka exponentiellt.

Om lånebeloppet till exempel är [math]\displaystyle{ 15 000 \: kr }[/math] och räntan är [math]\displaystyle{ 12 }[/math]% per år kan vi skriva hur lånet ökar med hjälp av förändringsfaktorn:

Efter ett år är det nya beloppet [math]\displaystyle{ 15 000 \cdot 1.12 = 16 800. }[/math]

Beloppet har alltså ökat (om man inte betalat räntan) så efter två år är det nya beloppet [math]\displaystyle{ 16 800 \cdot 1.12 = 18 816. }[/math]

Men detta kan ju skrivas som [math]\displaystyle{ 15 000 \cdot 1.12 \cdot 1.12 = 18 816 }[/math]

eller [math]\displaystyle{ 15000 \cdot 1.12^2 = 18 816 }[/math]

Beloppet ökar alltså mer och mer och efter [math]\displaystyle{ x }[/math] år är beloppet uppe i [math]\displaystyle{ 15 000 \cdot 1.12^x }[/math]

Definition

Exponentialfunktioner Exponentialfunktionerär en klass av funktioner som kännetecknas av att funktionsvärdets ändringstakt är proportionell mot funktionsvärdet. Exempelvis kan ränta på ränta beräknas som [math]\displaystyle{ slutbeloppet = r^x \cdot startbeloppet }[/math] där [math]\displaystyle{ r^x }[/math] är en exponentialfunktion, den årliga räntefaktorn är r (till exempel 1,12 för 12 % ränta) och x antalet år. Exponentialfunktionerna kan skrivas på formen: [math]\displaystyle{ f(x) = C \cdot a^x }[/math]

Amortering

När man lånar pengar behöver man betala tillbaks lånet. Återbetalningen delas ofta upp i mindre delar. Man kan till exempel betala en del varje månad. Om lånet löper på fem år betalar man en sextiondel varje månad i fem år (60 månader).

[redigera]

Index

Exempel
År 1992 kostade en viss vara 199 kronor i Sverige. Vad borde den ha kostat 2005 om priset följt index? KPI i Sverige för 1992 var 232,4 och för 2005 var det 280,4 enligt SCB. Resonemang: Multiplicera då varans ursprungliga pris med kvoten av det nyare och äldre indextalet: [math]\displaystyle{ 199 \cdot \frac {280,\!4} {232,\!4} = 240,\!10 }[/math] Svar: Varan borde ha kostat 240,10 kronor.

Ränteberäkning med förändringsfaktor

Exempel
Vad kostar lånet? Pelle ska låna 40 000 kr för att köpa en bil. Han får låna pengarna mot att han betalar en ränta på 4 % i tio år. Hur mycket ska han betala tillbaks? Han ska betala: [math]\displaystyle{ 40 000 \cdot 1.04^{10} = 59 200 }[/math]

Beräkning av lånekostnad

Exempel
I detta exempel har amortering och ränta summerats år för år där återbetalningstiden är 40 år. Formler och data har kopierats rad för rad vilket gör det synnerligen enkelt och snabbt. Exempel med amortering och räntekostnad i Excel

[redigera]

Begrepp kring lån ränta och amortering

Definition

Begrepp: amortering = avbetalning annuitestlån = ett lån där ränta och amortering kombinerats så att lånekostnaden är samma varje månad betalningsanmärkning = hinder för kreditvärdighet som beror på obetalda räkningar etc budgivning = flera intresserade köpare lägger högre bud om hur mycket de är villiga att betala tills en finns kvar med det högsta budet Kontantinssats = man får inte låna till hela bostaden. En viss del av köpesumman måste man ha själv. kredit = lån kreditvärdig = om man får låna pengar kvartal = ett fjärdedels år köpesumma = priset på bostaden lånebelopp = de pengar som lånats lånelöfte = innan köparen börjar titta på hus eller lägenheter kan hen få ett besked från banken om hur mycket hen kan få låna och till vilka villkor löptid = hur länge pengarna lånats ut återbetalningstid = hur länge pengarna lånats ut

[redigera]

Undersök exponentialfunktionen genom att titta på grafen

Skriv in [math]\displaystyle{ y = 15 000 \cdot 1.12^x }[/math] i GeoGebra. Vad kan du säga om grafen?

Genom att trycka in Shift och klicka och dra på axlarna kan du skala dem så du får tusental på y-axeln och ental på x-axeln.

Använd Excel

Nu ska vi backa tillbaka och undersöka år för år vad som händer när exempelvis ett lån ökar år för år genom att räntan läggs på lånet.

Det går bra med vilket kalkylprogram som helst.

Uppgift

Undersök ränta på ränta med Excel Välj ett belopp (ex 8000 kr) som du ska sätta in på ett sparkonto och tänk dig att du får 7 % i ränta. Det är kanske inte rimligt i dagsläget men det kunde ju lika gärna vara en årlig prognos för avkastningen på en aktiefond. I cell B1 skriver du 8000, i B2 7 och i B3 beräknar du förändringsfaktorn genom att skriva = (klicka på B2) /100 + 1. I cell B4 multiplicerar du sparbeloppet med förändringsfaktorn I kolumn A skriver du rubriker till dina rader I C-kolumnen ska du klura ut hur mycket sparbeloppet ökat efter år två Upprepa för år tre och fyra. Högerklicka på ettan i rad ett och lägg till en rad där du kan skriva rubriker på kolumnerna. Markera kolumn C och kopiera ut på fler kolumner. Hur mycket pengar har du efter 30 år? Ändra belopp och ränta i kolumn B och se hur det påverkar resultatet.

Två helt olika elevlösning som ger poäng men har olika kvaliteter

Uppgift
Vilken lösning är bäst? I nedanstående två lösningar finns det en som spar tid både för lärare och elev. Diskutera: Vilken är bäst och varför? Två elevlösningar på uppgift där priset först höjs och sedan sänks.

[redigera]

Ett Pythonproggram för ränta

Beräkna värdet efter ett antal år

Uppgift
Ränta Vilka variabler innehåller programmet och vad står de för? Vad står ** för i formeln? Förstår du hur programmet räknar? Jämför med miniräknare och se om det stämmer för några olika räntor och antal år.

Python-koden

amt = 10000
int = 3.5
years = 7

future_value  = amt*((1+(0.01*int)) ** years)
print(round(future_value,2))

Uppgiften är inspirerad av w3resource

[redigera]

Index

Statistiska Centralbyrån, SCB, publicerar en tabell som kallas konsumentprisindex.

1. Vad betyder KPI?

2. Vilket år är basår?

3. Hur mycket var index i medeltal år 2000?

4. Hur stor är ökningen?

5. Hur högt ligger index i den senast publicerade siffran?

6. Har KPI sjunkit något år? Vilka?

7. Vad är det som gör att KPI ökar så gott som hela tiden?

Ränta på ränta

1. Ett lån på 17 000 € har en årsränta på 12 % och amorteras inte. Hur mycket behöver man betala tillbaka på ovanstående lån när de fem åren gått?

2. Hur mycket ökar ett belopp på tio år med 10 % årsränta?

3. Hur många år tar det innan ett kapital fördubblats med en årsränta på 4 %?

4. Ett kapital ökar med 3 % ränta i fyra år men därefter är räntan 5 % i tre. Hur mycket har det då ökat?

5. Ulrik har en fond i tio år och på den tiden har den först ökat från 12 600 kr till 23 300 kr men sista två åren sjönk den till 19 567 kr. Vilken var den genomsnittliga räntan?

Amortering

1. Homeira tar ett lån på 80 000 till räntesatsen 7.4 %. Hon amorterar 6 000 kr per år. När har hon betalt av hela lånet?

Tips: testa vad som händer år efter år och använd Excel.

[redigera]

En större uppgift om lån, räntor och amorteringar

Resten av provtiden får du ägna åt en omfattande och djup uppgift. Frågorna blir svårare ju längre du kommer men du kommer samtidigt att lära dig mer och mer ju längre du arbetar med uppgiften.

Det kanske känns avlägset nu men m en fem tio år kanske du kommer att låna pengar till din första bostad så det här är matematik du kommer att ha nytta av i framtiden.

Hjälpmedel: Du får surfa så mycket du vill för att leta information och ta reda på det du vill veta. Det finns begrepp och exempel här på Wikiskola men Wikipedia, Gleerups, matteboken.se kan också vara till hjälp. GeoGebra, WolframAlpha är tillåtna men du har säkert större nytta av Excel. Använd vilka resurser du vill utom att be någon annan göra uppgiften åt dig.

Bedömning av förmågorna för relevans, begrepp, procedur, modell, problemlösning, resonemang och kommunikation.

Uppgift

Räkna på bostadslån Berätta vilket datum du är född. Titta i listan över Stadsdelar i Stockholm och välj den med samma nummer som ditt födelsedatum. Gå in på Hemnet och sök i din stadsdel efter en bostadsrätt. Klipp in adressen till annonsen som svar. Vad kostar den? Hur mycket måste du betala i ränta per månad om årsräntan är 1 %, 3% och 8 %. Antag att du belånar hela bostaden. Välj en bank och undersök vilka villkor du skulle få på ett lån. Anteckna hur många år lånet löper på och hur mycket man ska amortera varje månad. Gör en kalkyl i lämpligt program med ränta och amorteringar enligt bankens förslag ovan. Jämför din kalkyl med bankens siffror. Hur stämmer det? Resonera om skillnader och likheter. Gör ett algebraiskt uttryck för månadskostnaden för ett lån där variabler som belopp, ränta, återbetalningstid och amortering ingår. Behövs alla variabler? De flesta som lånar till en bostad lägger upp lånet så att det belopp som betalas varje månad blir lika högt (annuitetslån) men en annan modell är att amortera ett lika stort belopp varje månad samt betala ränta på lånets aktuella storlek. Vad är det för skillnad mellan de två modellerna? Resonera om för- och nackdelar med de två modellerna. Lämna in en eller flera filer med alla dina svar i Canvas.

Exempellösning - Räkna på bostadslån

[redigera]

Ni ska i par hitta en bostad, att "köpa" utifrån givna förutsättningar

(på till exempel https://www.hemnet.se/)

Vi förutsätter att ni är i 25-års åldern, övriga förutsättningar för er som par ser ni nedan:

Grupp	Område	Lön person 1 [SEK innan skatt]	Lön person 2 [SEK innan skatt]	Gemensamma besparingar [SEK]
1	Stockholm	34 100	32 800	284 000
2	Göteborg	26 800	34 100	240 000
3	Lund	30 500	25 300	354 000
4	Linköping	26 100	34 100	256 000
5	Västerås	28 100	25 200	358 000
6	Umeå	29 400	33 100	340 000
7	Jönköping	26 500	32 000	337 000
8	Gävle	33 300	31 200	266 000
9	Arvika	34 100	27 000	344 000
10	Sundsvall	28 300	29 400	235 000
11	Avesta	33 400	29 700	273 000
12	Åre	29 100	30 200	226 000
13	Visby	31 200	35 000	396 000
14	Växjö	31 900	30 000	217 000
15	Halmstad	30 100	29 200	274 000
16	Örebro	26 900	28 600	251 000
17	Luleå	25 200	34 700	220 000

Vi har slumpat in er i grupper, och slumpat era löner och gemensamma besparingar.

Ni behöver även tänka på att ni behöver betala skattesatsen för den kommun ni väljer er bostad i.

Totala kommunala skattesatser 2019, kommunvis hittar ni på SCBs hemsida.

Skattesatsen i kolumnen "Total skatte-sats år 2019, (%)" är den ni ska använda er av, för att beräkna er inkomst efter skatt.

 

Bolån och amortering

Ni ska själva välja ut en bank och ta reda på vilka förutsättningar för bolån som gäller där. Banker får inte bevilja (godkänna) mer än 85% av vad ni köper bostaden för som bolån. En del banker delar upp bolånet i bottenlån och topplån, där bottenlånet (upp till 75-80% av det ni köper bostaden för) har en lägre ränta än topplånet (resterande, upp till 85%)

En del lånegivare erbjuder lån utan säkerhet (blancolån). De har ofta mycket högre ränta än bolån. Det rekommenderas dock att inte belåna bostaden utöver 85%.

Här kan ni läsa mer om belåningsgrad: https://www.konsumenternas.se/lana/olika-lan/om-bolan/sa-fungerar-ett-bolan/belaningsgrad

Förslag på olika banker med enkla webbtjänster för att få ungefärlig räntekostnad (räntan brukar ligga mellan 1-2%):

• Skandiabanken
• Handelsbanken
• SEB
• Nordea
• Swedbank
• (det finns många fler alternativ)

När det kommer till amorteringskrav hittar ni en bra sammanfattning om nuvarande krav från Swedbank här:

https://www.swedbank.se/privat/boende-och-bolan/rakna-pa-ditt-bolan/amortering-och-amorteringskrav.html

Du lånar	Du behöver amortera
50-70 % av vad du köper för	1 % av det totala lånebeloppet per år
> 70 % av vad du köper för	2 % av det totala lånebeloppet per år
Om du även lånar	Så behöver du amortera ytterligare
> 4,5 gånger din årsinkomst före skatt	1 % av det totala lånebeloppet per år

 

Hushållets budget

Hushållet ska ha en budget, vi vill inte att ni ska använda all er inkomst till lån och inte ha råd med mat och levnadskostnader.

Ni kan använda er av Konsumentverkets budgetförslag:
Koll på pengarna 2019 konsumentverkets beräkningar.pdf

Och om ni vill använda er av deras tips för att göra en budget:
Koll på pengarna 2019 att göra en budget.pdf

Båda pdferna är hämtade från: Koll på pengarna 2019.pdf

 

Inlämning: En rapport med

• Bostadsobjektet ni valt
  • Objektet måste vara en äganderätt, tomträtt eller bostadsrätt
  • Länk samt skärmdump på objekten, utifall att det hinner säljas
• En kalkyl för månadskostnader
  • Med tydligt angivet med kostnader för lån och amortering, samt lånesats och amorteringssats.
• En diskussion/reflektion kring:
  • kalkylark (vilka styrkor finns kring att titta på sin budget så här)
  • buffert och vad som skulle hända vid oförutsägbara händelser (något viktigt hemma går sönder, räntan går upp/ner)
  • hushållets budget
  • valda bostadens lämplighet (är ni redo att bo där utifrån era förutsättningar, lättillgängligt (typ läge), i renoveringsbehov?)
  • när hushållet skulle vara fritt från lån

 

Bedömning

Uppgiften bedöms utifrån kunskapskraven kring kommunikation, resonemang och relevans:

Betyget E

Eleven kan föra enkla matematiska resonemang och värdera med enkla omdömen egna och andras resonemang samt skilja mellan gissningar och välgrundade påståenden. Dessutom uttrycker sig eleven med viss säkerhet i tal, skrift och handling med inslag av matematiska symboler och andra representationer.

Genom att ge exempel relaterar eleven något i kursens innehåll till dess betydelse inom andra ämnen, yrkesliv, samhällsliv och matematikens kulturhistoria. Dessutom kan eleven föra enkla resonemang om exemplens relevans.

Betyget C

Eleven kan föra välgrundade matematiska resonemang och värdera med nyanserade omdömen egna och andras resonemang samt skilja mellan gissningar och välgrundade påståenden. Dessutom uttrycker sig eleven med viss säkerhet i tal, skrift och handling samt använder matematiska symboler och andra representationer med viss anpassning till syfte och situation.

Genom att ge exempel relaterar eleven något i några av kursens delområden till dess betydelse inom andra ämnen, yrkesliv, samhällsliv och matematikens kulturhistoria. Dessutom kan eleven föra välgrundade resonemang om exemplens relevans.

Betyget A

Eleven kan föra välgrundade och nyanserade matematiska resonemang, värdera med nyanserade omdömen och vidareutveckla egna och andras resonemang samt skilja mellan gissningar och välgrundade påståenden. Dessutom uttrycker sig eleven med säkerhet i tal, skrift och i handling samt använder matematiska symboler och andra representationer med god anpassning till syfte och situation.

Genom att ge exempel relaterar eleven något i några av kursens delområden till dess betydelse inom andra ämnen, yrkesliv, samhällsliv och matematikens kulturhistoria. Dessutom kan eleven föra välgrundade och nyanserade resonemang om exemplens relevans.

[redigera]

Läs mer

Wikipedia skriver om Sammansatt_ränta

Utforska en modell

Det här är en omfattande GeoGebra med en modell av lån med amortering. Undersök hur den fungerar. Vilken formel ligger i grunden av konstruktionen?

Fler beräkningsverktyg

Testa även GeoGebras kalkylark och kombinationen med grafer.

Testa vad Wolfram kan göra.

Exit ticket

Exit ticket: Index och ränta