Derivatan för en funktion: Skillnad mellan sidversioner

Från Wikiskola
Hoppa till navigering Hoppa till sök
VisuellWikitext
Ingen redigeringssammanfattning
Ingen redigeringssammanfattning
 
(67 mellanliggande sidversioner av samma användare visas inte)
Rad 1: Rad 1:
__NOTOC__
= Teori =
= Teori =


== Introduktion till derivatan ==
== Introduktion till derivatan ==


{{#ev:youtube|_L0P47R3agc|250|right|Introduktion till derivatan}}
{{#ev:youtube|_L0P47R3agc|400|right|Introduktion till derivatan}}


{{malruta|
{{malruta|
Nu är det dags att förklara vad derivatan är:
[[Fil:Tangent.png|100 px]]
* funktionens (grafens) '''lutning''' i en punkt
Vi ska definiera derivatan i en punkt, vilket ger oss:
* sätt att beskriva hur grafen för en funktion '''förändras'''
* lutningen för en tangent genom punkten
* sätt att hitta extrempunkter
* ett värde för förändringen i den punkten
 
Vi ska göra en algebraisk beskrivning av riktningskoefficienten för en tangent i en punkt med hjälp av en sekant och gränsvärden.
}}
}}


=== Utgångspunkt ===
=== Utgångspunkt ===


Vi har lärt oss derviera funktioner och få fram förändringen.  
Vi har sett sekantens och tangents funktion att visa lutningen, d v s förändringen.
 
=== Begrepp ===
 
Vi kommer använda begreppen '''sekant''', '''tangent''', '''ändringskvot''' och '''gränsvärde'''.
 
{{clear}}
 
== Sekanten och derivatans definition ==
[[Fil:Sekant P Q.PNG|300px|höger]]
Genom att utgå ifrån en sekant kan vi definiera derivatan. Sekanten skär grafen i två punkter <math>P</math> och <math>Q</math>. Om Avståndet mellan punkterna minskar kommer sekanten allt närmare tangenten. Titta på bilderna nedan så ser du vad som händer när avståndet mellan <math>P</math> och <math>Q</math> krymper.
 
Men för att vi ska kunna använda gränsvärden skriver vi <math>P</math> och <math>Q</math> som <math>P = (x, f(x))</math> och <math> Q = (x + h, f(x + h))</math>.
 
I de tre figurerna nedan ser du hur Q närmar sig P, d v s <math>h</math> minskar. Det innebär att sekantens lutning blir mer och mer lik tangentens lutning.
{{clear}}
 
[[Fil:Secant-calculus.svg|300px]]
[[Fil:Lim-secant.svg|300px|]]
[[Fil:Derivative_GIF.gif|300px]]
{{clear}}
 
Det här gäller för en godtycklig punkt <math>x</math> men låt oss se hur det förhåller sig i punkten <math>(a,f(a))</math>.
 
== Derivatan är lutningen i en punkt ==
 
[[Fil:Fav_a_plus_h.PNG|miniatyr|400px|Derivatan är tangentens lutning i ''(a, f(a))'']]
 
Om en funktion ''f'' åskådliggörs av en graf ''y'' = ''f''(''x'') så anger derivatan av ''f'' grafens lutning (förändring av ''y'' per förändring av ''x'') för varje värde ''x''. Derivatan i en punkt är således lika med riktningskoefficienten för kurvans tangent i den valda punkten <math> (x, f(x)). </math> Det vill säga <math>k =  \frac{\Delta y}{\Delta x} </math>
<br>
 
== Algebraisk beskrivning av derivatan ==


Vi har sett tangents funktion att vis lutningen, d v s förändringen.
{{#ev:youtube|8of_svLfcjk|400|right|Derivatans definition}}


Nu ska vi förena dessa två genom en definition av derivatan vilken vi senare kan använda för att bevisa de deriverngsregler vi redan sett i formelsamlingen.
Om du ska räkna ut lutningen i en punkt får du problem. <math>k = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{0}{0}</math> och det går ju inte. Här behövs formell matematik.


=== Begrepp ===
Nu utgår vi från en punkt <math>(a,f(a))</math> och så kallar vid punkten som närmar sig för <math>(a+h,f(a+h))</math>. När <math>h</math> krymper kommer den andra punkten att närma sig den första. Man säger att h går mot noll och det skrivs
:<math> \lim_{h \to 0}</math>
Detta kan sammanfattas på matematisk form och kallas derivata.


Man kan skriva derivatan på flera sätt
{{defruta|
* Derivatan av <math>f(x)</math> skrivs <math>f'(x)</math>
Derivatan av funktionen <math>f</math> i punkten <math>a</math>'' definieras som gränsvärdet
* Derivatan av <math>y(x)</math> skrivs <math>y'(x)</math>
* Ibladn ser  man exempelvis D 3x<sup>2</sup> = 6x
<br>
<br>
Vi kommer använda begreppen '''sekant''', '''tangent''', '''ändringskvot''' och '''gränsvärde'''.


{{clear}}
: <math>f'(a)= \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h} </math>
=== Derivatan är lutningen ===
}}
 
Med denna form för att skriv derivatans definition kan man sätta in polynom och andra funktioner i definitionen, förenkla det rationella uttrycket och förkorta bort h i nämnare så att det går att beräkna gränsvärdet. Mer om hur det går till ser du under nästa flik - '''Exempel'''.
 
=== Derivatan skriven med variabeln x ===


{{defruta | '''Tangenten visar grafens lutning i den punkten '''
Sätt <math> a + h = x</math>. Det ger ett nytt sätt att skriva derivatans definition.


Tangentens lutning är samma som kurvans lutning i denna punkt och visar funktionens förändring i punkten.
{{defruta | '''Derivatans definition om <math>a + h =x </math>'''


Tangentens lutningen i punkten där <math>x = a</math> skrivs:
Derivatans värde (lutningen k) i punkten där <math>x = a</math> skrivs:


: <math>k =  \lim_{x \to a}  \frac{f(x) - f(a)}{x-a}</math>
: <math>f(a) =  \lim_{x \to a}  \frac{f(x) - f(a)}{x-a}</math>


Detta är derivatan i punkten <math> (a, f(a))</math>
Detta är derivatan i punkten <math> (a, f(a))</math>
Rad 44: Rad 81:
}}
}}


{{exruta| '''Derivatan för <math>x=3</math>'''
{{exruta| '''Derivatan i punkten <math>x=3</math>'''


Tänk dig en fix punkt på en kurva (3, F(3) och en rörlig punkt med koordinaterna (x, f(x)). Sekantlinjen genom de två punkterna har lutningen:  
Tänk dig en fix punkt på en kurva (3, F(3) och en rörlig punkt med koordinaterna (x, f(x)). Sekantlinjen genom de två punkterna har lutningen:  
Rad 56: Rad 93:
: <math>k =  \lim_{x \to 3}  \frac{f(x) - f(3)}{x-3}</math>
: <math>k =  \lim_{x \to 3}  \frac{f(x) - f(3)}{x-3}</math>
}}
}}
{{clear}}


== Geometrisk tolkning ==
=== Andra sätt att beteckna derivata ===


[[Fil:Derivata.svg|miniatyr|260 px|Derivatan är tangentens lutning i ''(x, f(x))'']]
Man kan skriva derivatan på flera sätt
Om en funktion ''f'' åskådliggörs av en graf ''y'' = ''f''(''x'') så anger derivatan av ''f'' grafens lutning (förändring av ''y'' per förändring av ''x'') för varje värde ''x''. Derivatan i en punkt är således lika med riktningskoefficienten för kurvans tangent i den valda punkten (''x'', ''f''(''x'')).
<br>


== Derivatan är lutningen i en punkt ==
* Derivatan av <math>f(x)</math> skrivs <math>f'(x)</math>
 
* Derivatan av <math>y(x)</math> skrivs <math>y'(x)</math>
{{#ev:youtube|8of_svLfcjk|250|right|Derivatans definition}}
* Ibland ser  man exempelvis D 3x<sup>2</sup> = 6x
 
{{clear}}
Om du ska räkna ut lutningen i en punkt får du problem. <math>k = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{0}{0}</math> och det går ju inte. Här behövs formell matematik.
 
Nu utgår vi från en punkt <math>(x,f(x))</math> och så kallar vid punkten som närmar sig för <math>(x+h,f(x+h))</math>. När <math>h</math> krymper kommer den andra punkten att närma sig den första. Man säger att h går mot noll och det skrivs
:<math> \lim_{h \to 0}</math>
Detta kan sammanfattas på matematisk form och kallas derivata.
 
{{defruta|
Derivatan av funktionen <math>f</math> i punkten <math>x_0</math>'' definieras som gränsvärdet
<br>
 
: <math>f'(x_0)= \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h}</math>
}}
 
Med denna form för att skriv derivatans definition kan man sätta in polynom och andra funktioner i definitionen, förenkla det rationella uttrycket och förkorta bort h i nämnare så att det går att beräkna gränsvärdet. Mer om hur det går till ser du under nästa flik - '''Exempel'''.


= Exempel =
= Exempel =
Rad 88: Rad 108:
<br>
<br>


: <math>f'(x) =  \lim_{h \to 0}  \frac{f(x+h) - f(x)}{h}</math>
: <math>f'(a) =  \lim_{h \to 0}  \frac{f(a+h) - f(a)}{h}</math>
}}
}}
{{clear}}
{{clear}}
Rad 97: Rad 117:
Använd derivatans definition.
Använd derivatans definition.


Bestäm tangentens k-värde i punkten där x = 2 om f(x) = 3 x^2.
Bestäm tangentens k-värde i punkten där <math>x = 2</math> om <math>f(x) = 3 x^2</math>.
 
[[Fil:Derivatans_definition_-_exempel.pdf|Lösningsförslag, Exempel 1]].


=== Exempel 2 ===
=== Exempel 2 ===
Rad 103: Rad 125:
Använd derivatans definition för att bestämma f'(4) om f(x) = 3 x + 5.
Använd derivatans definition för att bestämma f'(4) om f(x) = 3 x + 5.


= Exempel: Blomkrukan =
= Sammanfattning =
 
Nedan har vi skapat en Geogebra för funktionen  <math>s(t) = 5 t^2.</math>  I GeoGebra behöver du dock använda x i stället för t som variabel.


Det kan se ut så här:
<pdf>Fil:Derivatan_sammanfattad.pdf</pdf>
 
<html>
<iframe scrolling="no" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/2525691/width/532/height/436/border/888888/rc/false/ai/false/sdz/true/smb/false/stb/false/stbh/true/ld/false/sri/true/at/auto" width="532px" height="436px" style="border:0px;"> </iframe>
</html>


= GeoGebraförklaring =
= GeoGebraförklaring =
Rad 123: Rad 139:
= Aktivitet =
= Aktivitet =


=== Laborera med sekanten och derivatan ===
=== Laborera med sekanten och derivatan för att förstå mer ===


'''Uppgift''': Nedan ser du en GGB-konstruktion full av information men samtidigt lite svår att använda. '''Skapa en egen''' liknande konstruktion. Försök '''förbättra''' och förenkla.
<html>
<html>
<iframe scrolling="no" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/49950/width/1280/height/604/border/888888/rc/true/ai/false/sdz/true/smb/false/stb/false/stbh/true/ld/false/sri/true/at/auto" width="1280px" height="604px" style="border:0px;"> </iframe>
<iframe scrolling="no" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/49950/width/1280/height/604/border/888888/rc/true/ai/false/sdz/true/smb/false/stb/false/stbh/true/ld/false/sri/true/at/auto" width="1280px" height="604px" style="border:0px;"> </iframe>
</html>
</html>
= Aktivitet - Gissa =
=== Gissa derivatans utseende ===
Du kan skissa derivatans utseende genom att uppskatta funktionens lutning i grafen (alltså utan att känna till funktionen algeriskt).
<html>
<iframe scrolling="no" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/11200/width/1286/height/614/border/888888/rc/false/ai/false/sdz/true/smb/false/stb/false/stbh/true/ld/false/sri/true/at/auto" width="1286px" height="614px" style="border:0px;"> </iframe>
</html>
Av Jonas Hall


= Uppgifter =
= Uppgifter =
Rad 133: Rad 162:
Det finns ett papper med sex uppgifter där du ska använda derivatans definition.
Det finns ett papper med sex uppgifter där du ska använda derivatans definition.


Efter att du är kler med dessa går du in i Kunskapsmatrisen.
Efter att du är klar med dessa går du in i Kunskapsmatrisen.


= Python =
= Python =


=== Pythonprogrammering ===
=== Pythonprogrammering derivata 1 ===


{{Python|[[Derivatans definition i Python]]}}
{{Python|[[Derivatans definition i Python]]}}
Rad 143: Rad 172:
{{clear}}
{{clear}}


= Fördjupning =
=== Pythonprogrammering derivata alternativ 2 ===


=== Gissa derivatans utseende ===
{{python|[[Numerisk_derivering]] }}


Du kan skissa derivatans utseende genom att uppskatta funktionens lutning i grafen (alltså utan att känna till funktionen algeriskt).
= Fördjupning =
 
<html>
<iframe scrolling="no" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/11200/width/1286/height/614/border/888888/rc/false/ai/false/sdz/true/smb/false/stb/false/stbh/true/ld/false/sri/true/at/auto" width="1286px" height="614px" style="border:0px;"> </iframe>
</html>
 
Av Jonas Hall


=== Andra varianter på derivatans definition ===
=== Andra varianter på derivatans definition ===

Nuvarande version från 17 november 2020 kl. 09.35

[redigera]

Introduktion till derivatan

Load video
YouTube
Introduktion till derivatan
Mål för undervisningen

Vi ska definiera derivatan i en punkt, vilket ger oss:

  • lutningen för en tangent genom punkten
  • ett värde för förändringen i den punkten

Vi ska göra en algebraisk beskrivning av riktningskoefficienten för en tangent i en punkt med hjälp av en sekant och gränsvärden.


Utgångspunkt

Vi har sett sekantens och tangents funktion att visa lutningen, d v s förändringen.

Begrepp

Vi kommer använda begreppen sekant, tangent, ändringskvot och gränsvärde.

Sekanten och derivatans definition

Genom att utgå ifrån en sekant kan vi definiera derivatan. Sekanten skär grafen i två punkter [math]\displaystyle{ P }[/math] och [math]\displaystyle{ Q }[/math]. Om Avståndet mellan punkterna minskar kommer sekanten allt närmare tangenten. Titta på bilderna nedan så ser du vad som händer när avståndet mellan [math]\displaystyle{ P }[/math] och [math]\displaystyle{ Q }[/math] krymper.

Men för att vi ska kunna använda gränsvärden skriver vi [math]\displaystyle{ P }[/math] och [math]\displaystyle{ Q }[/math] som [math]\displaystyle{ P = (x, f(x)) }[/math] och [math]\displaystyle{ Q = (x + h, f(x + h)) }[/math].

I de tre figurerna nedan ser du hur Q närmar sig P, d v s [math]\displaystyle{ h }[/math] minskar. Det innebär att sekantens lutning blir mer och mer lik tangentens lutning.

Det här gäller för en godtycklig punkt [math]\displaystyle{ x }[/math] men låt oss se hur det förhåller sig i punkten [math]\displaystyle{ (a,f(a)) }[/math].

Derivatan är lutningen i en punkt

Derivatan är tangentens lutning i (a, f(a))

Om en funktion f åskådliggörs av en graf y = f(x) så anger derivatan av f grafens lutning (förändring av y per förändring av x) för varje värde x. Derivatan i en punkt är således lika med riktningskoefficienten för kurvans tangent i den valda punkten [math]\displaystyle{ (x, f(x)). }[/math] Det vill säga [math]\displaystyle{ k = \frac{\Delta y}{\Delta x} }[/math]

Algebraisk beskrivning av derivatan

Load video
YouTube
Derivatans definition

Om du ska räkna ut lutningen i en punkt får du problem. [math]\displaystyle{ k = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{0}{0} }[/math] och det går ju inte. Här behövs formell matematik.

Nu utgår vi från en punkt [math]\displaystyle{ (a,f(a)) }[/math] och så kallar vid punkten som närmar sig för [math]\displaystyle{ (a+h,f(a+h)) }[/math]. När [math]\displaystyle{ h }[/math] krymper kommer den andra punkten att närma sig den första. Man säger att h går mot noll och det skrivs

[math]\displaystyle{ \lim_{h \to 0} }[/math]

Detta kan sammanfattas på matematisk form och kallas derivata.

Definition

Derivatan av funktionen [math]\displaystyle{ f }[/math] i punkten [math]\displaystyle{ a }[/math] definieras som gränsvärdet

[math]\displaystyle{ f'(a)= \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h} }[/math]


Med denna form för att skriv derivatans definition kan man sätta in polynom och andra funktioner i definitionen, förenkla det rationella uttrycket och förkorta bort h i nämnare så att det går att beräkna gränsvärdet. Mer om hur det går till ser du under nästa flik - Exempel.

Derivatan skriven med variabeln x

Sätt [math]\displaystyle{ a + h = x }[/math]. Det ger ett nytt sätt att skriva derivatans definition.

Definition
Derivatans definition om [math]\displaystyle{ a + h =x }[/math]

Derivatans värde (lutningen k) i punkten där [math]\displaystyle{ x = a }[/math] skrivs:

[math]\displaystyle{ f(a) = \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x-a} }[/math]

Detta är derivatan i punkten [math]\displaystyle{ (a, f(a)) }[/math]



Exempel
Derivatan i punkten [math]\displaystyle{ x=3 }[/math]

Tänk dig en fix punkt på en kurva (3, F(3) och en rörlig punkt med koordinaterna (x, f(x)). Sekantlinjen genom de två punkterna har lutningen:

[math]\displaystyle{ k = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(x) - f(3)}{x-3} }[/math]

Låt sedan [math]\displaystyle{ x }[/math] minska så att [math]\displaystyle{ x }[/math] närmar sig 3. Då kommer f(x) att närma sig f(3) och linjen att tangera kurvan i punkten [math]\displaystyle{ (x,f(x)) }[/math]. Den linjen kallas för tangent.

Tangentens lutningen i punkten där [math]\displaystyle{ x = 3 }[/math] skrivs:

[math]\displaystyle{ k = \lim_{x \to 3} \frac{f(x) - f(3)}{x-3} }[/math]


Andra sätt att beteckna derivata

Man kan skriva derivatan på flera sätt

  • Derivatan av [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] skrivs [math]\displaystyle{ f'(x) }[/math]
  • Derivatan av [math]\displaystyle{ y(x) }[/math] skrivs [math]\displaystyle{ y'(x) }[/math]
  • Ibland ser man exempelvis D 3x2 = 6x
[redigera]
Viktigt
Derivatans definition


[math]\displaystyle{ f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h} }[/math]


Exempel 1

Använd derivatans definition.

Bestäm tangentens k-värde i punkten där [math]\displaystyle{ x = 2 }[/math] om [math]\displaystyle{ f(x) = 3 x^2 }[/math].

Fil:Derivatans definition - exempel.pdf.

Exempel 2

Använd derivatans definition för att bestämma f'(4) om f(x) = 3 x + 5.

[redigera]

Derivatans definition med glidare

[redigera]

Laborera med sekanten och derivatan för att förstå mer

Uppgift: Nedan ser du en GGB-konstruktion full av information men samtidigt lite svår att använda. Skapa en egen liknande konstruktion. Försök förbättra och förenkla.

[redigera]

Gissa derivatans utseende

Du kan skissa derivatans utseende genom att uppskatta funktionens lutning i grafen (alltså utan att känna till funktionen algeriskt).

Av Jonas Hall

[redigera]

Det finns ett papper med sex uppgifter där du ska använda derivatans definition.

Efter att du är klar med dessa går du in i Kunskapsmatrisen.

[redigera]

Pythonprogrammering derivata 1

Programmeringsuppgift

Derivatans definition i Python

Du kan ta fram ett beräknat, approximativt värde för derivatan i en punkt med hjälp av ett program.

Pythonprogrammering derivata alternativ 2

Programmeringsuppgift

Numerisk_derivering


[redigera]

Andra varianter på derivatans definition

Man kan definiera derivata på lite olika sätt. Här följer en geogebra fil där du kan flytta punkten A som du deriverar kring. Du kan också flytta två närliggande punkter. Om du vill ändra funktionen f måste du ladda ner filen härifrån [1]. Du flyttar A med slidern a. Avståndet (h eller delta h) till A för punkterna B och C med slidrers b och c. Linjen e motsvarar höger derivatan i punkten A när avståndet |C-A| går mot noll. På samma sätt motsvarar linjen d vänster derivatan då |B-A| går mot noll. Till slut är linjen g en variant av en sekant definition av derivata om |B-C| går mot 0.

Hämtad från ”https://wikiskola.se/index.php?title=Derivatan_för_en_funktion&oldid=54828”