Derivatan för en funktion: Skillnad mellan sidversioner

Från Wikiskola
Hoppa till navigering Hoppa till sök
VisuellWikitext
Ingen redigeringssammanfattning
 
(69 mellanliggande sidversioner av samma användare visas inte)
Rad 1: Rad 1:
__NOTOC__
= Teori =
= Teori =


== Introduktion till derivatan ==
== Introduktion till derivatan ==


{{#ev:youtube|_L0P47R3agc|250|right|Introduktion till derivatan}}
{{#ev:youtube|_L0P47R3agc|400|right|Introduktion till derivatan}}


{{malruta|
{{malruta|
Nu är det dags att förklara vad derivatan är:
[[Fil:Tangent.png|100 px]]
* funktionens (grafens) '''lutning''' i en punkt
Vi ska definiera derivatan i en punkt, vilket ger oss:
* sätt att beskriva hur grafen för en funktion '''förändras'''
* lutningen för en tangent genom punkten
* sätt att hitta extrempunkter
* ett värde för förändringen i den punkten
 
Vi ska göra en algebraisk beskrivning av riktningskoefficienten för en tangent i en punkt med hjälp av en sekant och gränsvärden.
}}
}}


=== Utgångspunkt ===
=== Utgångspunkt ===


Vi har lärt oss derviera funktioner och få fram förändringen.  
Vi har sett sekantens och tangents funktion att visa lutningen, d v s förändringen.
 
=== Begrepp ===
 
Vi kommer använda begreppen '''sekant''', '''tangent''', '''ändringskvot''' och '''gränsvärde'''.
 
{{clear}}
 
== Sekanten och derivatans definition ==
[[Fil:Sekant P Q.PNG|300px|höger]]
Genom att utgå ifrån en sekant kan vi definiera derivatan. Sekanten skär grafen i två punkter <math>P</math> och <math>Q</math>. Om Avståndet mellan punkterna minskar kommer sekanten allt närmare tangenten. Titta på bilderna nedan så ser du vad som händer när avståndet mellan <math>P</math> och <math>Q</math> krymper.
 
Men för att vi ska kunna använda gränsvärden skriver vi <math>P</math> och <math>Q</math> som <math>P = (x, f(x))</math> och <math> Q = (x + h, f(x + h))</math>.
 
I de tre figurerna nedan ser du hur Q närmar sig P, d v s <math>h</math> minskar. Det innebär att sekantens lutning blir mer och mer lik tangentens lutning.
{{clear}}
 
[[Fil:Secant-calculus.svg|300px]]
[[Fil:Lim-secant.svg|300px|]]
[[Fil:Derivative_GIF.gif|300px]]
{{clear}}
 
Det här gäller för en godtycklig punkt <math>x</math> men låt oss se hur det förhåller sig i punkten <math>(a,f(a))</math>.
 
== Derivatan är lutningen i en punkt ==
 
[[Fil:Fav_a_plus_h.PNG|miniatyr|400px|Derivatan är tangentens lutning i ''(a, f(a))'']]
 
Om en funktion ''f'' åskådliggörs av en graf ''y'' = ''f''(''x'') så anger derivatan av ''f'' grafens lutning (förändring av ''y'' per förändring av ''x'') för varje värde ''x''. Derivatan i en punkt är således lika med riktningskoefficienten för kurvans tangent i den valda punkten <math> (x, f(x)). </math> Det vill säga <math>k =  \frac{\Delta y}{\Delta x} </math>
<br>
 
== Algebraisk beskrivning av derivatan ==


Vi har sett tangents funktion att vis lutningen, d v s förändringen.
{{#ev:youtube|8of_svLfcjk|400|right|Derivatans definition}}


Nu ska vi förena dessa två genom en definition av derivatan vilken vi senare kan använda för att bevisa de deriverngsregler vi redan sett i formelsamlingen.
Om du ska räkna ut lutningen i en punkt får du problem. <math>k = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{0}{0}</math> och det går ju inte. Här behövs formell matematik.


=== Begrepp ===
Nu utgår vi från en punkt <math>(a,f(a))</math> och så kallar vid punkten som närmar sig för <math>(a+h,f(a+h))</math>. När <math>h</math> krymper kommer den andra punkten att närma sig den första. Man säger att h går mot noll och det skrivs
:<math> \lim_{h \to 0}</math>
Detta kan sammanfattas på matematisk form och kallas derivata.


Man kan skriva derivatan på flera sätt
{{defruta|
* Derivatan av <math>f(x)</math> skrivs <math>f'(x)</math>
Derivatan av funktionen <math>f</math> i punkten <math>a</math>'' definieras som gränsvärdet
* Derivatan av <math>y(x)</math> skrivs <math>y'(x)</math>
* Ibladn ser  man exempelvis D 3x<sup>2</sup> = 6x
<br>
<br>
Vi kommer använda begreppen '''sekant''', '''tangent''', '''ändringskvot''' och '''gränsvärde'''.


{{clear}}
: <math>f'(a)= \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h} </math>
=== Derivatan är lutningen ===
}}
 
Med denna form för att skriv derivatans definition kan man sätta in polynom och andra funktioner i definitionen, förenkla det rationella uttrycket och förkorta bort h i nämnare så att det går att beräkna gränsvärdet. Mer om hur det går till ser du under nästa flik - '''Exempel'''.
 
=== Derivatan skriven med variabeln x ===


{{defruta | '''Tangenten visar grafens lutning i den punkten '''
Sätt <math> a + h = x</math>. Det ger ett nytt sätt att skriva derivatans definition.


Tangentens lutning är samma som kurvans lutning i denna punkt och visar funktionens förändring i punkten.
{{defruta | '''Derivatans definition om <math>a + h =x </math>'''


Tangentens lutningen i punkten där <math>x = a</math> skrivs:
Derivatans värde (lutningen k) i punkten där <math>x = a</math> skrivs:


: <math>k =  \lim_{x \to a}  \frac{f(x) - f(a)}{x-a}</math>
: <math>f(a) =  \lim_{x \to a}  \frac{f(x) - f(a)}{x-a}</math>


Detta är derivatan i punkten <math> (a, f(a))</math>
Detta är derivatan i punkten <math> (a, f(a))</math>
Rad 44: Rad 81:
}}
}}


{{exruta| '''Derivatan för <math>x=3</math>'''
{{exruta| '''Derivatan i punkten <math>x=3</math>'''


Tänk dig en fix punkt på en kurva (3, F(3) och en rörlig punkt med koordinaterna (x, f(x)). Sekantlinjen genom de två punkterna har lutningen:  
Tänk dig en fix punkt på en kurva (3, F(3) och en rörlig punkt med koordinaterna (x, f(x)). Sekantlinjen genom de två punkterna har lutningen:  
Rad 56: Rad 93:
: <math>k =  \lim_{x \to 3}  \frac{f(x) - f(3)}{x-3}</math>
: <math>k =  \lim_{x \to 3}  \frac{f(x) - f(3)}{x-3}</math>
}}
}}
{{clear}}


== Geometrisk tolkning ==
=== Andra sätt att beteckna derivata ===


[[Fil:Derivata.svg|miniatyr|260 px|Derivatan är tangentens lutning i ''(x, f(x))'']]
Man kan skriva derivatan på flera sätt
Om en funktion ''f'' åskådliggörs av en graf ''y'' = ''f''(''x'') så anger derivatan av ''f'' grafens lutning (förändring av ''y'' per förändring av ''x'') för varje värde ''x''. Derivatan i en punkt är således lika med riktningskoefficienten för kurvans tangent i den valda punkten (''x'', ''f''(''x'')).
<br>


== Derivatan är lutningen i en punkt ==
* Derivatan av <math>f(x)</math> skrivs <math>f'(x)</math>
 
* Derivatan av <math>y(x)</math> skrivs <math>y'(x)</math>
{{#ev:youtube|8of_svLfcjk|250|right|Derivatans definition}}
* Ibland ser  man exempelvis D 3x<sup>2</sup> = 6x
 
{{clear}}
Om du ska räkna ut lutningen i en punkt får du problem. <math>k = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{0}{0}</math> och det går ju inte. Här behövs formell matematik.
 
Nu utgår vi från en punkt <math>(x,f(x))</math> och så kallar vid punkten som närmar sig för <math>(x+h,f(x+h))</math>. När <math>h</math> krymper kommer den andra punkten att närma sig den första. Man säger att h går mot noll och det skrivs
:<math> \lim_{h \to 0}</math>
Detta kan sammanfattas på matematisk form och kallas derivata.
 
{{defruta|
Derivatan av funktionen <math>f</math> i punkten <math>x_0</math>'' definieras som gränsvärdet
: <math>f'(x_0)= \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h}</math>
}}
 
Med denna form för att skriv derivatans definition kan man sätta in polynom och andra funktioner i definitionen, förenkla det rationella uttrycket och förkorta bort h i nämnare så att det går att beräkna gränsvärdet. Mer om hur det går till ser du under nästa flik - '''Exempel'''.


= Exempel =
= Exempel =
Rad 86: Rad 108:
<br>
<br>


: <math>f'(x) =  \lim_{h \to 0}  \frac{f(x+h) - f(x)}{h}</math>
: <math>f'(a) =  \lim_{h \to 0}  \frac{f(a+h) - f(a)}{h}</math>
}}
}}
{{clear}}
{{clear}}
Rad 95: Rad 117:
Använd derivatans definition.
Använd derivatans definition.


Bestäm tangentens k-värde i punkten där x = 2 om f(x) = 3 x^2.
Bestäm tangentens k-värde i punkten där <math>x = 2</math> om <math>f(x) = 3 x^2</math>.
 
[[Fil:Derivatans_definition_-_exempel.pdf|Lösningsförslag, Exempel 1]].


=== Exempel 2 ===
=== Exempel 2 ===
Rad 101: Rad 125:
Använd derivatans definition för att bestämma f'(4) om f(x) = 3 x + 5.
Använd derivatans definition för att bestämma f'(4) om f(x) = 3 x + 5.


= Exempel: Blomkrukan =
= Sammanfattning =
 
Nedan har vi skapat en Geogebra för funktionen  <math>s(t) = 5 t^2.</math>  I GeoGebra behöver du dock använda x i stället för t som variabel.
 
Det kan se ut så här:


<html>
<pdf>Fil:Derivatan_sammanfattad.pdf</pdf>
<iframe scrolling="no" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/2525691/width/532/height/436/border/888888/rc/false/ai/false/sdz/true/smb/false/stb/false/stbh/true/ld/false/sri/true/at/auto" width="532px" height="436px" style="border:0px;"> </iframe>
</html>


= GeoGebraförklaring =
= GeoGebraförklaring =
Rad 121: Rad 139:
= Aktivitet =
= Aktivitet =


=== Laborera med sekanten och derivatan ===
=== Laborera med sekanten och derivatan för att förstå mer ===


'''Uppgift''': Nedan ser du en GGB-konstruktion full av information men samtidigt lite svår att använda. '''Skapa en egen''' liknande konstruktion. Försök '''förbättra''' och förenkla.
<html>
<html>
<iframe scrolling="no" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/49950/width/1280/height/604/border/888888/rc/true/ai/false/sdz/true/smb/false/stb/false/stbh/true/ld/false/sri/true/at/auto" width="1280px" height="604px" style="border:0px;"> </iframe>
<iframe scrolling="no" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/49950/width/1280/height/604/border/888888/rc/true/ai/false/sdz/true/smb/false/stb/false/stbh/true/ld/false/sri/true/at/auto" width="1280px" height="604px" style="border:0px;"> </iframe>
</html>
</html>


= Python =
= Aktivitet - Gissa =
 
=== Pythonprogrammering ===
 
{{Python|[[Derivatans definition i Python]]}}
Du kan ta fram ett beräknat, approximativt värde för derivatan i en punkt med hjälp av ett program.
{{clear}}
 
= Fördjupning =


=== Gissa derivatans utseende ===
=== Gissa derivatans utseende ===
Rad 146: Rad 157:


Av Jonas Hall
Av Jonas Hall
= Uppgifter =
Det finns ett papper med sex uppgifter där du ska använda derivatans definition.
Efter att du är klar med dessa går du in i Kunskapsmatrisen.
= Python =
=== Pythonprogrammering derivata 1 ===
{{Python|[[Derivatans definition i Python]]}}
Du kan ta fram ett beräknat, approximativt värde för derivatan i en punkt med hjälp av ett program.
{{clear}}
=== Pythonprogrammering derivata alternativ 2 ===
{{python|[[Numerisk_derivering]] }}
= Fördjupning =


=== Andra varianter på derivatans definition ===
=== Andra varianter på derivatans definition ===

Nuvarande version från 17 november 2020 kl. 09.35

[redigera]

Introduktion till derivatan

Load video
YouTube
Introduktion till derivatan
Mål för undervisningen

Vi ska definiera derivatan i en punkt, vilket ger oss:

  • lutningen för en tangent genom punkten
  • ett värde för förändringen i den punkten

Vi ska göra en algebraisk beskrivning av riktningskoefficienten för en tangent i en punkt med hjälp av en sekant och gränsvärden.


Utgångspunkt

Vi har sett sekantens och tangents funktion att visa lutningen, d v s förändringen.

Begrepp

Vi kommer använda begreppen sekant, tangent, ändringskvot och gränsvärde.

Sekanten och derivatans definition

Genom att utgå ifrån en sekant kan vi definiera derivatan. Sekanten skär grafen i två punkter [math]\displaystyle{ P }[/math] och [math]\displaystyle{ Q }[/math]. Om Avståndet mellan punkterna minskar kommer sekanten allt närmare tangenten. Titta på bilderna nedan så ser du vad som händer när avståndet mellan [math]\displaystyle{ P }[/math] och [math]\displaystyle{ Q }[/math] krymper.

Men för att vi ska kunna använda gränsvärden skriver vi [math]\displaystyle{ P }[/math] och [math]\displaystyle{ Q }[/math] som [math]\displaystyle{ P = (x, f(x)) }[/math] och [math]\displaystyle{ Q = (x + h, f(x + h)) }[/math].

I de tre figurerna nedan ser du hur Q närmar sig P, d v s [math]\displaystyle{ h }[/math] minskar. Det innebär att sekantens lutning blir mer och mer lik tangentens lutning.

Det här gäller för en godtycklig punkt [math]\displaystyle{ x }[/math] men låt oss se hur det förhåller sig i punkten [math]\displaystyle{ (a,f(a)) }[/math].

Derivatan är lutningen i en punkt

Derivatan är tangentens lutning i (a, f(a))

Om en funktion f åskådliggörs av en graf y = f(x) så anger derivatan av f grafens lutning (förändring av y per förändring av x) för varje värde x. Derivatan i en punkt är således lika med riktningskoefficienten för kurvans tangent i den valda punkten [math]\displaystyle{ (x, f(x)). }[/math] Det vill säga [math]\displaystyle{ k = \frac{\Delta y}{\Delta x} }[/math]

Algebraisk beskrivning av derivatan

Load video
YouTube
Derivatans definition

Om du ska räkna ut lutningen i en punkt får du problem. [math]\displaystyle{ k = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{0}{0} }[/math] och det går ju inte. Här behövs formell matematik.

Nu utgår vi från en punkt [math]\displaystyle{ (a,f(a)) }[/math] och så kallar vid punkten som närmar sig för [math]\displaystyle{ (a+h,f(a+h)) }[/math]. När [math]\displaystyle{ h }[/math] krymper kommer den andra punkten att närma sig den första. Man säger att h går mot noll och det skrivs

[math]\displaystyle{ \lim_{h \to 0} }[/math]

Detta kan sammanfattas på matematisk form och kallas derivata.

Definition

Derivatan av funktionen [math]\displaystyle{ f }[/math] i punkten [math]\displaystyle{ a }[/math] definieras som gränsvärdet

[math]\displaystyle{ f'(a)= \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h} }[/math]


Med denna form för att skriv derivatans definition kan man sätta in polynom och andra funktioner i definitionen, förenkla det rationella uttrycket och förkorta bort h i nämnare så att det går att beräkna gränsvärdet. Mer om hur det går till ser du under nästa flik - Exempel.

Derivatan skriven med variabeln x

Sätt [math]\displaystyle{ a + h = x }[/math]. Det ger ett nytt sätt att skriva derivatans definition.

Definition
Derivatans definition om [math]\displaystyle{ a + h =x }[/math]

Derivatans värde (lutningen k) i punkten där [math]\displaystyle{ x = a }[/math] skrivs:

[math]\displaystyle{ f(a) = \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x-a} }[/math]

Detta är derivatan i punkten [math]\displaystyle{ (a, f(a)) }[/math]



Exempel
Derivatan i punkten [math]\displaystyle{ x=3 }[/math]

Tänk dig en fix punkt på en kurva (3, F(3) och en rörlig punkt med koordinaterna (x, f(x)). Sekantlinjen genom de två punkterna har lutningen:

[math]\displaystyle{ k = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(x) - f(3)}{x-3} }[/math]

Låt sedan [math]\displaystyle{ x }[/math] minska så att [math]\displaystyle{ x }[/math] närmar sig 3. Då kommer f(x) att närma sig f(3) och linjen att tangera kurvan i punkten [math]\displaystyle{ (x,f(x)) }[/math]. Den linjen kallas för tangent.

Tangentens lutningen i punkten där [math]\displaystyle{ x = 3 }[/math] skrivs:

[math]\displaystyle{ k = \lim_{x \to 3} \frac{f(x) - f(3)}{x-3} }[/math]


Andra sätt att beteckna derivata

Man kan skriva derivatan på flera sätt

  • Derivatan av [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] skrivs [math]\displaystyle{ f'(x) }[/math]
  • Derivatan av [math]\displaystyle{ y(x) }[/math] skrivs [math]\displaystyle{ y'(x) }[/math]
  • Ibland ser man exempelvis D 3x2 = 6x
[redigera]
Viktigt
Derivatans definition


[math]\displaystyle{ f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h} }[/math]


Exempel 1

Använd derivatans definition.

Bestäm tangentens k-värde i punkten där [math]\displaystyle{ x = 2 }[/math] om [math]\displaystyle{ f(x) = 3 x^2 }[/math].

Fil:Derivatans definition - exempel.pdf.

Exempel 2

Använd derivatans definition för att bestämma f'(4) om f(x) = 3 x + 5.

[redigera]

Derivatans definition med glidare

[redigera]

Laborera med sekanten och derivatan för att förstå mer

Uppgift: Nedan ser du en GGB-konstruktion full av information men samtidigt lite svår att använda. Skapa en egen liknande konstruktion. Försök förbättra och förenkla.

[redigera]

Gissa derivatans utseende

Du kan skissa derivatans utseende genom att uppskatta funktionens lutning i grafen (alltså utan att känna till funktionen algeriskt).

Av Jonas Hall

[redigera]

Det finns ett papper med sex uppgifter där du ska använda derivatans definition.

Efter att du är klar med dessa går du in i Kunskapsmatrisen.

[redigera]

Pythonprogrammering derivata 1

Programmeringsuppgift

Derivatans definition i Python

Du kan ta fram ett beräknat, approximativt värde för derivatan i en punkt med hjälp av ett program.

Pythonprogrammering derivata alternativ 2

Programmeringsuppgift

Numerisk_derivering


[redigera]

Andra varianter på derivatans definition

Man kan definiera derivata på lite olika sätt. Här följer en geogebra fil där du kan flytta punkten A som du deriverar kring. Du kan också flytta två närliggande punkter. Om du vill ändra funktionen f måste du ladda ner filen härifrån [1]. Du flyttar A med slidern a. Avståndet (h eller delta h) till A för punkterna B och C med slidrers b och c. Linjen e motsvarar höger derivatan i punkten A när avståndet |C-A| går mot noll. På samma sätt motsvarar linjen d vänster derivatan då |B-A| går mot noll. Till slut är linjen g en variant av en sekant definition av derivata om |B-C| går mot 0.

Hämtad från ”https://wikiskola.se/index.php?title=Derivatan_för_en_funktion&oldid=54828”