Derivatan för en funktion: Skillnad mellan sidversioner

VisuellWikitext

Nuvarande version från 17 november 2020 kl. 09.35

[redigera]

Introduktion till derivatan

Mål för undervisningen

Vi ska definiera derivatan i en punkt, vilket ger oss:

lutningen för en tangent genom punkten
ett värde för förändringen i den punkten

Vi ska göra en algebraisk beskrivning av riktningskoefficienten för en tangent i en punkt med hjälp av en sekant och gränsvärden.

Utgångspunkt

Vi har sett sekantens och tangents funktion att visa lutningen, d v s förändringen.

Begrepp

Vi kommer använda begreppen sekant, tangent, ändringskvot och gränsvärde.

Sekanten och derivatans definition

Genom att utgå ifrån en sekant kan vi definiera derivatan. Sekanten skär grafen i två punkter [math]\displaystyle{ P }[/math] och [math]\displaystyle{ Q }[/math]. Om Avståndet mellan punkterna minskar kommer sekanten allt närmare tangenten. Titta på bilderna nedan så ser du vad som händer när avståndet mellan [math]\displaystyle{ P }[/math] och [math]\displaystyle{ Q }[/math] krymper.

Men för att vi ska kunna använda gränsvärden skriver vi [math]\displaystyle{ P }[/math] och [math]\displaystyle{ Q }[/math] som [math]\displaystyle{ P = (x, f(x)) }[/math] och [math]\displaystyle{ Q = (x + h, f(x + h)) }[/math].

I de tre figurerna nedan ser du hur Q närmar sig P, d v s [math]\displaystyle{ h }[/math] minskar. Det innebär att sekantens lutning blir mer och mer lik tangentens lutning.

Det här gäller för en godtycklig punkt [math]\displaystyle{ x }[/math] men låt oss se hur det förhåller sig i punkten [math]\displaystyle{ (a,f(a)) }[/math].

Derivatan är lutningen i en punkt

Om en funktion f åskådliggörs av en graf y = f(x) så anger derivatan av f grafens lutning (förändring av y per förändring av x) för varje värde x. Derivatan i en punkt är således lika med riktningskoefficienten för kurvans tangent i den valda punkten [math]\displaystyle{ (x, f(x)). }[/math] Det vill säga [math]\displaystyle{ k = \frac{\Delta y}{\Delta x} }[/math]

Algebraisk beskrivning av derivatan

Derivatans definition

Om du ska räkna ut lutningen i en punkt får du problem. [math]\displaystyle{ k = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{0}{0} }[/math] och det går ju inte. Här behövs formell matematik.

Nu utgår vi från en punkt [math]\displaystyle{ (a,f(a)) }[/math] och så kallar vid punkten som närmar sig för [math]\displaystyle{ (a+h,f(a+h)) }[/math]. När [math]\displaystyle{ h }[/math] krymper kommer den andra punkten att närma sig den första. Man säger att h går mot noll och det skrivs

[math]\displaystyle{ \lim_{h \to 0} }[/math]

Detta kan sammanfattas på matematisk form och kallas derivata.

Definition

Derivatan av funktionen [math]\displaystyle{ f }[/math] i punkten [math]\displaystyle{ a }[/math] definieras som gränsvärdet

[math]\displaystyle{ f'(a)= \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h} }[/math]

Med denna form för att skriv derivatans definition kan man sätta in polynom och andra funktioner i definitionen, förenkla det rationella uttrycket och förkorta bort h i nämnare så att det går att beräkna gränsvärdet. Mer om hur det går till ser du under nästa flik - Exempel.

Derivatan skriven med variabeln x

Sätt [math]\displaystyle{ a + h = x }[/math]. Det ger ett nytt sätt att skriva derivatans definition.

Definition

Derivatans definition om [math]\displaystyle{ a + h =x }[/math]

Derivatans värde (lutningen k) i punkten där [math]\displaystyle{ x = a }[/math] skrivs:

[math]\displaystyle{ f(a) = \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x-a} }[/math]

Detta är derivatan i punkten [math]\displaystyle{ (a, f(a)) }[/math]

Exempel

Derivatan i punkten [math]\displaystyle{ x=3 }[/math]

Tänk dig en fix punkt på en kurva (3, F(3) och en rörlig punkt med koordinaterna (x, f(x)). Sekantlinjen genom de två punkterna har lutningen:

[math]\displaystyle{ k = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(x) - f(3)}{x-3} }[/math]

Låt sedan [math]\displaystyle{ x }[/math] minska så att [math]\displaystyle{ x }[/math] närmar sig 3. Då kommer f(x) att närma sig f(3) och linjen att tangera kurvan i punkten [math]\displaystyle{ (x,f(x)) }[/math]. Den linjen kallas för tangent.

Tangentens lutningen i punkten där [math]\displaystyle{ x = 3 }[/math] skrivs:

[math]\displaystyle{ k = \lim_{x \to 3} \frac{f(x) - f(3)}{x-3} }[/math]

Andra sätt att beteckna derivata

Man kan skriva derivatan på flera sätt

Derivatan av [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] skrivs [math]\displaystyle{ f'(x) }[/math]
Derivatan av [math]\displaystyle{ y(x) }[/math] skrivs [math]\displaystyle{ y'(x) }[/math]
Ibland ser man exempelvis D 3x² = 6x

[redigera]

Viktigt

Derivatans definition

[math]\displaystyle{ f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h} }[/math]

Exempel 1

Använd derivatans definition.

Bestäm tangentens k-värde i punkten där [math]\displaystyle{ x = 2 }[/math] om [math]\displaystyle{ f(x) = 3 x^2 }[/math].

Fil:Derivatans definition - exempel.pdf.

Exempel 2

Använd derivatans definition för att bestämma f'(4) om f(x) = 3 x + 5.

[redigera]

Derivatans definition med glidare

[redigera]

Laborera med sekanten och derivatan för att förstå mer

Uppgift: Nedan ser du en GGB-konstruktion full av information men samtidigt lite svår att använda. Skapa en egen liknande konstruktion. Försök förbättra och förenkla.

[redigera]

Gissa derivatans utseende

Du kan skissa derivatans utseende genom att uppskatta funktionens lutning i grafen (alltså utan att känna till funktionen algeriskt).

Av Jonas Hall

[redigera]

Det finns ett papper med sex uppgifter där du ska använda derivatans definition.

Efter att du är klar med dessa går du in i Kunskapsmatrisen.

[redigera]

Pythonprogrammering derivata 1

Programmeringsuppgift

Derivatans definition i Python

Du kan ta fram ett beräknat, approximativt värde för derivatan i en punkt med hjälp av ett program.

Pythonprogrammering derivata alternativ 2

Programmeringsuppgift

Numerisk_derivering

[redigera]

Andra varianter på derivatans definition

Man kan definiera derivata på lite olika sätt. Här följer en geogebra fil där du kan flytta punkten A som du deriverar kring. Du kan också flytta två närliggande punkter. Om du vill ändra funktionen f måste du ladda ner filen härifrån [1]. Du flyttar A med slidern a. Avståndet (h eller delta h) till A för punkterna B och C med slidrers b och c. Linjen e motsvarar höger derivatan i punkten A när avståndet |C-A| går mot noll. På samma sätt motsvarar linjen d vänster derivatan då |B-A| går mot noll. Till slut är linjen g en variant av en sekant definition av derivata om |B-C| går mot 0.

[redigera]

Öva på Khan:

@@ Rad 1: / Rad 1: @@
+__NOTOC__
+= Teori =
 == Introduktion till derivatan ==
-{{lm3c|Definition: derivatan i en punkt|128}}
-{{#ev:youtube|_L0P47R3agc|250|right|Introduktion till derivatan}}
+{{#ev:youtube|_L0P47R3agc|400|right|Introduktion till derivatan}}
 {{malruta|
-Nu är det dags att förklara vad derivatan är:
+[[Fil:Tangent.png|100 px]]
-* funktionens (grafens) '''lutning''' i en punkt
+Vi ska definiera derivatan i en punkt, vilket ger oss:
-* sätt att beskriva hur grafen för en funktion '''förändras'''
+* lutningen för en tangent genom punkten
-* sätt att hitta extrempunkter
+* ett värde för förändringen i den punkten
+Vi ska göra en algebraisk beskrivning av riktningskoefficienten för en tangent i en punkt med hjälp av en sekant och gränsvärden.
 }}
 === Utgångspunkt ===
-Vi har lärt oss derviera funktioner och få fram förändringen.
+Vi har sett sekantens och tangents funktion att visa lutningen, d v s förändringen.
-Vi har sett tangents funktion att vis lutningen, d v s förändringen.
-Nu ska vi förena dessa två genom en definition av derivatan vilken vi senare kan använda för att bevisa de deriverngsregler vi redan sett i formelsamlingen.
 === Begrepp ===
-Man kan skriva derivatan på flera sätt
-* Derivatan av <math>f(x)</math> skrivs <math>f'(x)</math>
-* Derivatan av <math>y(x)</math> skrivs <math>y'(x)</math>
-* Ibladn ser  man exempelvis D 3x<sup>2</sup> = 6x
-<br>
 Vi kommer använda begreppen '''sekant''', '''tangent''', '''ändringskvot''' och '''gränsvärde'''.
 {{clear}}
-=== Blomkrukan ===
+== Sekanten och derivatans definition ==
+[[Fil:Sekant P Q.PNG|300px|höger]]
+Genom att utgå ifrån en sekant kan vi definiera derivatan. Sekanten skär grafen i två punkter <math>P</math> och <math>Q</math>. Om Avståndet mellan punkterna minskar kommer sekanten allt närmare tangenten. Titta på bilderna nedan så ser du vad som händer när avståndet mellan <math>P</math> och <math>Q</math> krymper.
-Skapa en Geogebra för funktionen  <math>s(t) = 5 t^2.</math>  I GeoGebra behöver du dock använda x i stället för t som variabel.
+Men för att vi ska kunna använda gränsvärden skriver vi <math>P</math> och <math>Q</math> som <math>P = (x, f(x))</math> och <math> Q = (x + h, f(x + h))</math>.
+I de tre figurerna nedan ser du hur Q närmar sig P, d v s <math>h</math> minskar. Det innebär att sekantens lutning blir mer och mer lik tangentens lutning.
+{{clear}}
-Deet kan se ut så här:
+[[Fil:Secant-calculus.svg|300px]]
+[[Fil:Lim-secant.svg|300px|]]
+[[Fil:Derivative_GIF.gif|300px]]
+{{clear}}
-<html>
+Det här gäller för en godtycklig punkt <math>x</math> men låt oss se hur det förhåller sig i punkten <math>(a,f(a))</math>.
-<iframe scrolling="no" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/2525691/width/532/height/436/border/888888/rc/false/ai/false/sdz/true/smb/false/stb/false/stbh/true/ld/false/sri/true/at/auto" width="532px" height="436px" style="border:0px;"> </iframe>
-</html>
 == Derivatan är lutningen i en punkt ==
-{{#ev:youtube|8of_svLfcjk|250|right|Derivatans definition}}
+[[Fil:Fav_a_plus_h.PNG|miniatyr|400px|Derivatan är tangentens lutning i ''(a, f(a))'']]
+Om en funktion ''f'' åskådliggörs av en graf ''y'' = ''f''(''x'') så anger derivatan av ''f'' grafens lutning (förändring av ''y'' per förändring av ''x'') för varje värde ''x''. Derivatan i en punkt är således lika med riktningskoefficienten för kurvans tangent i den valda punkten <math> (x, f(x)). </math> Det vill säga <math>k =  \frac{\Delta y}{\Delta x} </math>
+<br>
+== Algebraisk beskrivning av derivatan ==
+{{#ev:youtube|8of_svLfcjk|400|right|Derivatans definition}}
 Om du ska räkna ut lutningen i en punkt får du problem. <math>k = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{0}{0}</math> och det går ju inte. Här behövs formell matematik.
-Nu utgår vi från en punkt <math>(x,f(x))</math> och så kallar vid punktensom närmar sig för <math>(x+h,f(x+h))</math>. När <math>h</math> krymper kommer den andra punkten att närma sig den första. Man säger att h går mot noll och det skrivs
+Nu utgår vi från en punkt <math>(a,f(a))</math> och så kallar vid punkten som närmar sig för <math>(a+h,f(a+h))</math>. När <math>h</math> krymper kommer den andra punkten att närma sig den första. Man säger att h går mot noll och det skrivs
 :<math> \lim_{h \to 0}</math>
 Detta kan sammanfattas på matematisk form och kallas derivata.
 {{defruta|
-Derivatan av funktionen <math>f</math> i punkten <math>x_0</math>'' definieras som gränsvärdet
+Derivatan av funktionen <math>f</math> i punkten <math>a</math>'' definieras som gränsvärdet
-: <math>f'(x_0)= \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h}</math>
+<br>
+: <math>f'(a)= \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h} </math>
+}}
+Med denna form för att skriv derivatans definition kan man sätta in polynom och andra funktioner i definitionen, förenkla det rationella uttrycket och förkorta bort h i nämnare så att det går att beräkna gränsvärdet. Mer om hur det går till ser du under nästa flik - '''Exempel'''.
+=== Derivatan skriven med variabeln x ===
+Sätt <math> a + h = x</math>. Det ger ett nytt sätt att skriva derivatans definition.
+{{defruta | '''Derivatans definition om <math>a + h =x </math>'''
+Derivatans värde (lutningen k) i punkten där <math>x = a</math> skrivs:
+: <math>f(a) =  \lim_{x \to a}   \frac{f(x) - f(a)}{x-a}</math>
+Detta är derivatan i punkten <math> (a, f(a))</math>
+}}
+{{exruta| '''Derivatan i punkten <math>x=3</math>'''
+Tänk dig en fix punkt på en kurva (3, F(3) och en rörlig punkt med koordinaterna (x, f(x)). Sekantlinjen genom de två punkterna har lutningen:
+: <math>k = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(x) - f(3)}{x-3}</math>
+Låt sedan <math>x</math> minska så att <math>x</math> närmar sig 3. Då kommer f(x) att närma sig f(3) och  linjen att tangera kurvan i punkten <math>(x,f(x))</math>. Den linjen kallas för tangent.
+'''Tangentens lutningen''' i punkten där <math>x = 3</math> skrivs:
+: <math>k =  \lim_{x \to 3}   \frac{f(x) - f(3)}{x-3}</math>
 }}
+=== Andra sätt att beteckna derivata ===
+Man kan skriva derivatan på flera sätt
+* Derivatan av <math>f(x)</math> skrivs <math>f'(x)</math>
+* Derivatan av <math>y(x)</math> skrivs <math>y'(x)</math>
+* Ibland ser  man exempelvis D 3x<sup>2</sup> = 6x
+{{clear}}
+= Exempel =
+{{viktigt| '''Derivatans definition'''
+<br>
+: <math>f'(a) =  \lim_{h \to 0}   \frac{f(a+h) - f(a)}{h}</math>
+}}
+{{clear}}
+<br>
 === Exempel 1 ===
@@ Rad 58: / Rad 117: @@
 Använd derivatans definition.
-Bestäm tangentens k-värde i punkten där x = 2 om f(x) = 3 x^2.
+Bestäm tangentens k-värde i punkten där <math>x = 2</math> om <math>f(x) = 3 x^2</math>.
+[[Fil:Derivatans_definition_-_exempel.pdf|Lösningsförslag, Exempel 1]].
 === Exempel 2 ===
 Använd derivatans definition för att bestämma f'(4) om f(x) = 3 x + 5.
+= Sammanfattning =
+<pdf>Fil:Derivatan_sammanfattad.pdf</pdf>
+= GeoGebraförklaring =
 === Derivatans definition med glidare ===
@@ Rad 69: / Rad 136: @@
 <iframe scrolling="no" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/2525587/width/1280/height/604/border/888888/rc/false/ai/false/sdz/true/smb/false/stb/false/stbh/true/ld/false/sri/true/at/auto" width="1280px" height="604px" style="border:0px;"> </iframe>
 </html>
-== Geometrisk tolkning ==
-[[Fil:Derivata.svg|miniatyr|260 px|Derivatan är tangentens lutning i ''(x, f(x))'']]
-Om en funktion ''f'' åskådliggörs av en graf ''y'' = ''f''(''x'') så anger derivatan av ''f'' grafens lutning (förändring av ''y'' per förändring av ''x'') för varje värde ''x''. Derivatan i en punkt är således lika med riktningskoefficienten för kurvans tangent i den valda punkten (''x'', ''f''(''x'')).
-<br>
-{{khanruta|
-* [http://www.khanacademy.org/exercise/derivative_intuition Jättebra intuitiv förståelse av hur derivatans graf ser ut]
-* [http://www.khanacademy.org/exercise/derivatives_1 Öva derviering 1 på Khan]}}
-{{clear}}
 = Aktivitet =
-=== Laborera med sekanten och derivatan ===
+=== Laborera med sekanten och derivatan för att förstå mer ===
+'''Uppgift''': Nedan ser du en GGB-konstruktion full av information men samtidigt lite svår att använda. '''Skapa en egen''' liknande konstruktion. Försök '''förbättra''' och förenkla.
 <html>
 <iframe scrolling="no" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/49950/width/1280/height/604/border/888888/rc/true/ai/false/sdz/true/smb/false/stb/false/stbh/true/ld/false/sri/true/at/auto" width="1280px" height="604px" style="border:0px;"> </iframe>
 </html>
-=== Pythonprogrammering ===
+= Aktivitet - Gissa =
-{{Python|[[Derivatans definition i Python]]}}
-Du kan ta fram ett beräknat, approximativt värde för derivatan i en punkt med hjälp av ett program.
-{{clear}}
-== Fördjupning ==
 === Gissa derivatans utseende ===
@@ Rad 105: / Rad 157: @@
 Av Jonas Hall
+= Uppgifter =
+Det finns ett papper med sex uppgifter där du ska använda derivatans definition.
+Efter att du är klar med dessa går du in i Kunskapsmatrisen.
+= Python =
+=== Pythonprogrammering derivata 1 ===
+{{Python|[[Derivatans definition i Python]]}}
+Du kan ta fram ett beräknat, approximativt värde för derivatan i en punkt med hjälp av ett program.
+{{clear}}
+=== Pythonprogrammering derivata alternativ 2 ===
+{{python|[[Numerisk_derivering]] }}
+= Fördjupning =
 === Andra varianter på derivatans definition ===
@@ Rad 114: / Rad 186: @@
 <iframe scrolling="no" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/16327/width/1239/height/747/border/888888/rc/false/ai/false/sdz/true/smb/false/stb/false/stbh/true/ld/false/sri/true/at/auto" width="1239px" height="747px" style="border:0px;"> </iframe>
 </html>
+= Lär mer =
+{{khanruta|
+* [http://www.khanacademy.org/exercise/derivative_intuition Jättebra intuitiv förståelse av hur derivatans graf ser ut]
+* [http://www.khanacademy.org/exercise/derivatives_1 Öva derviering 1 på Khan]}}
+{{clear}}
+<headertabs />

Derivatan för en funktion: Skillnad mellan sidversioner

Nuvarande version från 17 november 2020 kl. 09.35

Introduktion till derivatan

Utgångspunkt

Begrepp

Sekanten och derivatans definition

Derivatan är lutningen i en punkt

Algebraisk beskrivning av derivatan

Derivatan skriven med variabeln x

Andra sätt att beteckna derivata

Exempel 1

Exempel 2

Derivatans definition med glidare

Laborera med sekanten och derivatan för att förstå mer

Gissa derivatans utseende

Pythonprogrammering derivata 1

Pythonprogrammering derivata alternativ 2

Andra varianter på derivatans definition

Navigeringsmeny

Sök