Begreppet polynom: Skillnad mellan sidversioner
Hoppa till navigering
Hoppa till sök
Hakan (diskussion | bidrag) |
Hakan (diskussion | bidrag) Ingen redigeringssammanfattning |
||
| (21 mellanliggande sidversioner av samma användare visas inte) | |||
| Rad 1: | Rad 1: | ||
__NOTOC__ | |||
= Teori= | |||
{{defruta| '''Polynom''' | {{defruta| '''Polynom''' | ||
| Rad 27: | Rad 29: | ||
|} | |} | ||
== Polynomfunktioner och nollställen == | |||
Vi vet att x-värden för punkterna där andragradfunktinens graf skär x-axeln motsvarar lösningen till ekvationen där funktionen är lika med noll, f(x) {{=}} 0. Dessa x-värden kallas nollställen. | |||
Ett annat sätt att hitta nollställena är att faktorisera andragradsfunktionens uttryck. Nollproduktssatsne säger då att om a b = 0 så är antingen a = 0 eller b = 0. Genom att faktorisera andragradsfunktionen fås ett uttryck på formen k (x-a) (x-b) = 0. Nollställena x = a och x = b utgör då lösningar (rötter) till ekvationen. | Ett annat sätt att hitta nollställena är att faktorisera andragradsfunktionens uttryck. Nollproduktssatsne säger då att om a b = 0 så är antingen a = 0 eller b = 0. Genom att faktorisera andragradsfunktionen fås ett uttryck på formen k (x-a) (x-b) = 0. Nollställena x = a och x = b utgör då lösningar (rötter) till ekvationen. | ||
| Rad 58: | Rad 45: | ||
}} | }} | ||
== | = Exempel = | ||
{{exruta| | |||
<math> 3 x^3 + 4 x^2 - 2 x - 7 </math> är allts¨ett polynom av grad 3. Eftersom alla exponenter upp till 3 finns representerade bland termerna kallas polynomet ''fullständigt''. Om en term med någon exponent saknas kallas polynomet ''ofullständigt''. | |||
En ''polynomfunktion'' kan skrivas: | |||
<math> f(x) = 2 x^2 +3 x - 7 </math> | |||
Polynomfunktinen har ett värde som korresponderar mot ett värde på varibaln. | |||
Exempelvis har funktionen ovan värdet <math> f(2) = 7</math> | |||
}} | |||
= GGB med polynomfunktioner = | |||
[https://www.geogebra.org/m/BEsHDPvs Quadratic Function] | |||
: | [https://www.geogebra.org/m/nj6mqjsd Standard Form of Cubic] | ||
[https://www.geogebra.org/m/iWPAJFTD The Three Roots of a Cubic Function] | |||
= Aktivitet med teori = | |||
=== Uppdelning i faktorer med konjugatregeln === | === Uppdelning i faktorer med konjugatregeln === | ||
{{exruta| | |||
Faktorisera <math>x^2 - 9</math> | |||
Eftersom vi inte har någon dubbel produktterm utan bara två kvadrattermer, varav en är negativ, så inser vi att vi kan använda konjugatregeln baklänges. Faktorerna består då av termerna x och 3. | |||
: <math> (x+3)(x-3) </math> | |||
}} | |||
<br> | |||
{{uppgruta|'''Konjugatregeln baklänges''' | {{uppgruta|'''Konjugatregeln baklänges''' | ||
| Rad 86: | Rad 86: | ||
Dela upp följande uttryck i faktorer genom att använda konjugatregeln baklänges: | Dela upp följande uttryck i faktorer genom att använda konjugatregeln baklänges: | ||
# <math>x^2 - 81</math> | # <math>x^2 - 81</math> | ||
# <math>c^2 - 4</math> | # <math>c^2 - 4</math> | ||
| Rad 96: | Rad 95: | ||
=== Uppdelning i faktorer med kvadreringsreglerna === | === Uppdelning i faktorer med kvadreringsreglerna === | ||
{{exruta| '''Faktorisera | {{exruta| '''Faktorisera med användande av kvadreringsregeln''' | ||
Faktorisera <math> x^2 - 6 x + 9</math> | |||
Här kan du tänka att x och <math> \sqrt{9} = 3</math> bör ingå i faktorerna. Du ska ha ett minustecken med och du bör kontrollera att dubbla produkten stämmer. | |||
Faktorisering ger (x-3)(x-3) | Faktorisering ger oss <math>(x-3)(x-3) </math> | ||
Uttrycket kan även skrivas på formen <math> (x-3)^2 </math> | |||
}} | }} | ||
{{uppgruta| | {{uppgruta| | ||
Du ska även kunna kvadreringsreglerna baklänges. | Du ska även kunna kvadreringsreglerna baklänges. | ||
| Rad 142: | Rad 142: | ||
}} | }} | ||
== Lär mer | = Vad ska vi ha det till? = | ||
== Förenkling av rationella uttryck == | |||
Men det finns andra skäl att faktorisera uttryck. Det är en praktisk metod att förenkla rationella uttryck. | |||
Det här kommer vi att gå djupare in på under nästa lektion. | |||
{{exruta|'''Exempel med rationellt uttryck''' som kommer nästa lektion | |||
:<math> \frac{x^2-8x+16}{x-4}</math> | |||
Vi börjar med att faktorisera täljaren: | |||
:<math> \frac{(x-4)(x-4)}{x-4}</math> | |||
Och nu kan vi förkorta med x-4 i täljare och nämnare och får det förenklade uttrycket: | |||
:<math> x-4</math> | |||
}} | |||
{{clear}} | |||
= Lär mer = | |||
{| align="right" | {| align="right" | ||
| Rad 150: | Rad 173: | ||
| {{wplink | [https://en.wikipedia.org/wiki/Polynomial Polynomial]}}<br /> | | {{wplink | [https://en.wikipedia.org/wiki/Polynomial Polynomial]}}<br /> | ||
|} | |} | ||
{{#ev:youtube | BPSrj9jT2nU | 310 | right | Polynom, skrivsättet, av Åke Dahllöf}} | |||
=== Öva procedurer === | === Öva procedurer === | ||
Här kan man öva på att hitta faktorerna även om det inte går att använda kvadrerings- eller konjugatregeln. Använd hint-funktionen om du behöver hjälp. | Här kan man öva på att hitta faktorerna även om det inte går att använda kvadrerings- eller konjugatregeln. Använd hint-funktionen om du behöver hjälp. | ||
| Rad 172: | Rad 194: | ||
}} | }} | ||
= Exit Card = | |||
[[Exit Card - Kvadrerings- och konjugatreglerna baklänges]] | [[Exit Card - Kvadrerings- och konjugatreglerna baklänges]] | ||
<headertabs /> | |||
Nuvarande version från 13 september 2021 kl. 20.36