Begreppet polynom: Skillnad mellan sidversioner

Från Wikiskola
Hoppa till navigering Hoppa till sök
VisuellWikitext
Ingen redigeringssammanfattning
 
(45 mellanliggande sidversioner av samma användare visas inte)
Rad 1: Rad 1:
== Repetition ==
__NOTOC__


Börja med att repetera testet från förra lektionen och se till att du kan lösa alla uppgifterna. Testet kallas Exit Card och du finner det nedan. För att lösa den tredje uppgiften kan du behöva ledtråden som finns på Khan så den finns också nedan.
= Teori=


=== Exit Card ===
{{defruta| '''Polynom'''


[[Exit Card - Kvadrerings- och konjugatreglerna baklänges]]
* Ett polynom består av termer.
* Termerna innehåller variabler med koefficienter framför.
* Variablerna kan ha en exponent som är ett heltal.
* Den största exponenten anger polynomets grad.
* Exponenten noll innebär en konstantterm.
}}


=== Öva procedurer ===
=== Exempel på polynom ===


Här kan man öva på att hitta faktorerna även om det inte går att använda kvadrerings- eller konjugatregeln. Använd hint-funktionen om du behöver hjälp.
{| class="wikitable"
|-
! Benämning!! Exempel
|-
| Nolltegradspolynom || <math>1</math>
|-
| Förstagradspolynom || <math>2x+1</math>
|-
| Andragradspolynom || <math>x^2+2x+1</math>
|-
| Tredjegradspolynom || <math>4x^3+3x^2+2x+1</math>
|-
| Fjärdegradspolynom || <math>5x^4+4x^3+3x^2+2x+1</math>
|}


{{khanruta | [https://www.khanacademy.org/math/algebra/introduction-to-polynomials-and-factorization/factoring-polynomials-2-quadratic-forms/e/factoring_polynomials_with_two_variables Factorizing]}}
== Polynomfunktioner och nollställen ==


=== Matematisk relevans ===
Vi vet att x-värden för punkterna där andragradfunktinens graf skär x-axeln motsvarar lösningen till ekvationen där funktionen är lika med noll, f(x) {{=}} 0. Dessa x-värden kallas nollställen.


{{uppgruta | '''Vad kan man ha faktoriseringen till inom matematiken?'''
Ett annat sätt att hitta nollställena är att faktorisera andragradsfunktionens uttryck. Nollproduktssatsne säger då att om a b = 0 så är antingen a = 0 eller b = 0. Genom att faktorisera andragradsfunktionen fås ett uttryck på formen k (x-a) (x-b) = 0. Nollställena x = a och x = b utgör då lösningar (rötter) till ekvationen.


Metoden att faktorisera kan fungera som komplement till en annan känd teknik som vi använder på andragradsfunktioner.
{{defruta|'''Nollställe'''
 
Tag fram en tydlig beskrivning av hur man faktoriserar andragradspolynom utan att använda konjugat- eller kvadreringsreglerna.
 
'''Tips''': Khan.}}


== Polynom ==
En punkt i en funktions definitionsmängd där funktionens värde är noll


{{Lm3c | polynom | 58 - 60}}
Besläktade ord: nollställa.


{{#ev:youtube | BPSrj9jT2nU  | 340 | right | Polynom, skrivsättet, av Åke Dahllöf}}
Nollställena i en andragradsfunktion befinner sig på samma avstånd från symmetrilinjen.


{{defruta| '''Polynom'''
* Ett polynom består av termer.
* Termerna innehåller variabler med koefficienter framför.
* Variablerna kan ha en exponent som är ett heltal.
* Den största exponenten anger polynomets grad.
* Exponenten noll innebär en konstantterm.
}}
}}


=== Exempel på polynom ===
= Exempel =


{{exruta|
{{exruta|
<math> 3 x^3 + 4 x^2 - 2 x - 7 </math> är ett polynom av grad 3. Eftersom alla exponenter upp till 3 finns representerade bland termerna kallas polynomet ''fullständigt''. Om en term med någon exponent saknas kallas polynomet ''ofullständigt''.
 
<math> 3 x^3 + 4 x^2 - 2 x - 7 </math> är allts¨ett polynom av grad 3. Eftersom alla exponenter upp till 3 finns representerade bland termerna kallas polynomet ''fullständigt''. Om en term med någon exponent saknas kallas polynomet ''ofullständigt''.


En ''polynomfunktion'' kan skrivas:
En ''polynomfunktion'' kan skrivas:
Rad 52: Rad 60:
}}
}}


== Lär mer ==
= GGB med polynomfunktioner =
 
[https://www.geogebra.org/m/BEsHDPvs Quadratic Function]
 
[https://www.geogebra.org/m/nj6mqjsd Standard Form of Cubic]
 
[https://www.geogebra.org/m/iWPAJFTD The Three Roots of a Cubic Function]
 
= Aktivitet med teori =
 
=== Uppdelning i faktorer med konjugatregeln ===
 
{{exruta|
 
Faktorisera <math>x^2 - 9</math>
 
Eftersom vi inte har någon dubbel produktterm utan bara två kvadrattermer, varav en är negativ, så inser vi att vi kan använda konjugatregeln baklänges. Faktorerna består då av termerna x och 3.
 
: <math> (x+3)(x-3) </math>
}}
<br>
 
{{uppgruta|'''Konjugatregeln baklänges'''
 
Dela upp följande uttryck i faktorer genom att använda konjugatregeln baklänges:
 
# <math>x^2 - 81</math>
# <math>c^2 - 4</math>
# <math>x^2 - 6</math>
# <math>x^2 - 3.4</math>
# <math>x^2 - k^2</math>
}}
 
=== Uppdelning i faktorer med kvadreringsreglerna ===
 
{{exruta| '''Faktorisera med användande av kvadreringsregeln'''
 
Faktorisera <math> x^2 - 6 x + 9</math>
 
Här kan du tänka att x och <math> \sqrt{9} = 3</math> bör ingå i faktorerna. Du ska ha ett minustecken med och du bör kontrollera att dubbla produkten stämmer.
 
Faktorisering ger oss <math>(x-3)(x-3) </math>
 
Uttrycket kan även skrivas på formen <math> (x-3)^2 </math>
}}
 
{{uppgruta|
 
Du ska även kunna kvadreringsreglerna baklänges.
 
Exempel:
 
: '''1+2x+x<sup>2</sup>''' {{=}} (1+x)<sup>2</sup>
 
Testa nu om du kan kvadratern med kvadreingsregeln baklänges!
 
# '''4+8x+4x<sup>2</sup>'''{{=}}
# '''4-12x+9x<sup>2</sup>'''{{=}}
# '''64+144x+81x<sup>2</sup>'''{{=}}
# '''0.25-10x+100x<sup>2</sup>'''{{=}}
# '''a<sup>2</sup>-2ab+b<sup>2</sup>'''{{=}}
# '''a<sup>2</sup>+2abx+b<sup>2</sup>x<sup>2</sup>'''{{=}}
# '''0.16a<sup>2</sup>+2.4ax+9x<sup>2</sup>'''{{=}}
# '''9y<sup>2</sup>-12x<sup>2</sup>y+4x<sup>4</sup>'''{{=}}
 
}}
 
=== Uppdelning i faktorer utan konjugat- eller kvadreringsreglerna ===
 
Det är ofta lätt att hur ett polynom av andra graden (andragradsfunktion) kan faktoriseras med hjälp av konjugat- eller kvadreringsreglerna men det går att faktorisera många andra polynom av andra graden men ekvationens form blir då <math> (x-a)(x-b) = 0 </math> och rötterna är a respektive b. Det motsvara fallen då andragradsfunktionen inte är symmetrisk med y-axeln.
 
{{exruta|
 
Ekvationen
: <math> x^2 -x -6 = 0 </math>
kan skrivas som
: <math> (x+2)(x-3) = 0 </math>
Rötterna är : <math> x= -2</math> och <math>x=3 </math>
 
Observera den negativa roten. Faktorn : <math> (x+2) = 0 </math> om <math> x= -2 </math>
}}
 
= Vad ska vi ha det till? =
 
== Förenkling av rationella uttryck ==
 
Men det finns andra skäl att faktorisera uttryck. Det är en praktisk metod att förenkla rationella uttryck.
Det här kommer vi att gå djupare in på under nästa lektion.
 
{{exruta|'''Exempel med rationellt uttryck''' som kommer nästa lektion
 
:<math> \frac{x^2-8x+16}{x-4}</math>
 
Vi börjar med att faktorisera täljaren:
 
:<math> \frac{(x-4)(x-4)}{x-4}</math>
 
Och nu kan vi förkorta med x-4 i täljare och nämnare och får det förenklade uttrycket:
 
:<math> x-4</math>
 
}}
 
{{clear}}
 
= Lär mer =


{| align="right"
{| align="right"
Rad 60: Rad 173:
| {{wplink | [https://en.wikipedia.org/wiki/Polynomial Polynomial]}}<br />
| {{wplink | [https://en.wikipedia.org/wiki/Polynomial Polynomial]}}<br />
|}
|}
{{#ev:youtube | BPSrj9jT2nU  | 310 | right | Polynom, skrivsättet, av Åke Dahllöf}}
=== Öva procedurer ===
Här kan man öva på att hitta faktorerna även om det inte går att använda kvadrerings- eller konjugatregeln. Använd hint-funktionen om du behöver hjälp.
{{khanruta | [https://www.khanacademy.org/math/algebra/introduction-to-polynomials-and-factorization/factoring-polynomials-2-quadratic-forms/e/factoring_polynomials_with_two_variables Factorizing]}}
=== Repetition av Ma2c ===
Mycket av detta bygger på avsnittet [[Nollställe]] i Ma2c.
=== Matematisk relevans ===
{{uppgruta | '''Vad kan man ha faktoriseringen till inom matematiken?'''
Metoden att faktorisera kan fungera som komplement till en annan känd teknik som vi använder på andragradsfunktioner.
Tag fram en tydlig beskrivning av hur man faktoriserar andragradspolynom utan att använda konjugat- eller kvadreringsreglerna.
}}
= Exit Card =
[[Exit Card - Kvadrerings- och konjugatreglerna baklänges]]
<headertabs />

Nuvarande version från 13 september 2021 kl. 20.36


[redigera]
Definition
Polynom
  • Ett polynom består av termer.
  • Termerna innehåller variabler med koefficienter framför.
  • Variablerna kan ha en exponent som är ett heltal.
  • Den största exponenten anger polynomets grad.
  • Exponenten noll innebär en konstantterm.


Exempel på polynom

Benämning Exempel
Nolltegradspolynom [math]\displaystyle{ 1 }[/math]
Förstagradspolynom [math]\displaystyle{ 2x+1 }[/math]
Andragradspolynom [math]\displaystyle{ x^2+2x+1 }[/math]
Tredjegradspolynom [math]\displaystyle{ 4x^3+3x^2+2x+1 }[/math]
Fjärdegradspolynom [math]\displaystyle{ 5x^4+4x^3+3x^2+2x+1 }[/math]

Polynomfunktioner och nollställen

Vi vet att x-värden för punkterna där andragradfunktinens graf skär x-axeln motsvarar lösningen till ekvationen där funktionen är lika med noll, f(x) = 0. Dessa x-värden kallas nollställen.

Ett annat sätt att hitta nollställena är att faktorisera andragradsfunktionens uttryck. Nollproduktssatsne säger då att om a b = 0 så är antingen a = 0 eller b = 0. Genom att faktorisera andragradsfunktionen fås ett uttryck på formen k (x-a) (x-b) = 0. Nollställena x = a och x = b utgör då lösningar (rötter) till ekvationen.

Definition
Nollställe

En punkt i en funktions definitionsmängd där funktionens värde är noll

Besläktade ord: nollställa.

Nollställena i en andragradsfunktion befinner sig på samma avstånd från symmetrilinjen.



[redigera]
Exempel

[math]\displaystyle{ 3 x^3 + 4 x^2 - 2 x - 7 }[/math] är allts¨ett polynom av grad 3. Eftersom alla exponenter upp till 3 finns representerade bland termerna kallas polynomet fullständigt. Om en term med någon exponent saknas kallas polynomet ofullständigt.

En polynomfunktion kan skrivas:

[math]\displaystyle{ f(x) = 2 x^2 +3 x - 7 }[/math]

Polynomfunktinen har ett värde som korresponderar mot ett värde på varibaln.

Exempelvis har funktionen ovan värdet [math]\displaystyle{ f(2) = 7 }[/math]


[redigera]

Uppdelning i faktorer med konjugatregeln

Exempel

Faktorisera [math]\displaystyle{ x^2 - 9 }[/math]

Eftersom vi inte har någon dubbel produktterm utan bara två kvadrattermer, varav en är negativ, så inser vi att vi kan använda konjugatregeln baklänges. Faktorerna består då av termerna x och 3.

[math]\displaystyle{ (x+3)(x-3) }[/math]


Uppgift
Konjugatregeln baklänges

Dela upp följande uttryck i faktorer genom att använda konjugatregeln baklänges:

  1. [math]\displaystyle{ x^2 - 81 }[/math]
  2. [math]\displaystyle{ c^2 - 4 }[/math]
  3. [math]\displaystyle{ x^2 - 6 }[/math]
  4. [math]\displaystyle{ x^2 - 3.4 }[/math]
  5. [math]\displaystyle{ x^2 - k^2 }[/math]


Uppdelning i faktorer med kvadreringsreglerna

Exempel
Faktorisera med användande av kvadreringsregeln

Faktorisera [math]\displaystyle{ x^2 - 6 x + 9 }[/math]

Här kan du tänka att x och [math]\displaystyle{ \sqrt{9} = 3 }[/math] bör ingå i faktorerna. Du ska ha ett minustecken med och du bör kontrollera att dubbla produkten stämmer.

Faktorisering ger oss [math]\displaystyle{ (x-3)(x-3) }[/math]

Uttrycket kan även skrivas på formen [math]\displaystyle{ (x-3)^2 }[/math]


Uppgift

Du ska även kunna kvadreringsreglerna baklänges.

Exempel:

1+2x+x2 = (1+x)2

Testa nu om du kan kvadratern med kvadreingsregeln baklänges!

  1. 4+8x+4x2=
  2. 4-12x+9x2=
  3. 64+144x+81x2=
  4. 0.25-10x+100x2=
  5. a2-2ab+b2=
  6. a2+2abx+b2x2=
  7. 0.16a2+2.4ax+9x2=
  8. 9y2-12x2y+4x4=



Uppdelning i faktorer utan konjugat- eller kvadreringsreglerna

Det är ofta lätt att hur ett polynom av andra graden (andragradsfunktion) kan faktoriseras med hjälp av konjugat- eller kvadreringsreglerna men det går att faktorisera många andra polynom av andra graden men ekvationens form blir då [math]\displaystyle{ (x-a)(x-b) = 0 }[/math] och rötterna är a respektive b. Det motsvara fallen då andragradsfunktionen inte är symmetrisk med y-axeln.

Exempel

Ekvationen

[math]\displaystyle{ x^2 -x -6 = 0 }[/math]

kan skrivas som

[math]\displaystyle{ (x+2)(x-3) = 0 }[/math]

Rötterna är : [math]\displaystyle{ x= -2 }[/math] och [math]\displaystyle{ x=3 }[/math]

Observera den negativa roten. Faktorn : [math]\displaystyle{ (x+2) = 0 }[/math] om [math]\displaystyle{ x= -2 }[/math]


[redigera]

Förenkling av rationella uttryck

Men det finns andra skäl att faktorisera uttryck. Det är en praktisk metod att förenkla rationella uttryck. Det här kommer vi att gå djupare in på under nästa lektion.

Exempel
Exempel med rationellt uttryck som kommer nästa lektion
[math]\displaystyle{ \frac{x^2-8x+16}{x-4} }[/math]

Vi börjar med att faktorisera täljaren:

[math]\displaystyle{ \frac{(x-4)(x-4)}{x-4} }[/math]

Och nu kan vi förkorta med x-4 i täljare och nämnare och får det förenklade uttrycket:

[math]\displaystyle{ x-4 }[/math]



[redigera]
Läs om Polynomfunktioner


Wikipedia Polynomial


Load video
YouTube
Polynom, skrivsättet, av Åke Dahllöf

Öva procedurer

Här kan man öva på att hitta faktorerna även om det inte går att använda kvadrerings- eller konjugatregeln. Använd hint-funktionen om du behöver hjälp.

Öva på Khan: Factorizing


Repetition av Ma2c

Mycket av detta bygger på avsnittet Nollställe i Ma2c.

Matematisk relevans

Uppgift
Vad kan man ha faktoriseringen till inom matematiken?

Metoden att faktorisera kan fungera som komplement till en annan känd teknik som vi använder på andragradsfunktioner.

Tag fram en tydlig beskrivning av hur man faktoriserar andragradspolynom utan att använda konjugat- eller kvadreringsreglerna.


Hämtad från ”https://wikiskola.se/index.php?title=Begreppet_polynom&oldid=55426”