Exponentialekvationer: Skillnad mellan sidversioner
Hoppa till navigering
Hoppa till sök
Hakan (diskussion | bidrag) |
Hakan (diskussion | bidrag) |
||
| (19 mellanliggande sidversioner av samma användare visas inte) | |||
| Rad 1: | Rad 1: | ||
__NOTOC__ | |||
= Teori = | |||
{{malruta | Exponentialekvationer | {{malruta | Exponentialekvationer | ||
Målet är att vi ska lära oss att lösa exponentialekvationer genom logaritmering. | Målet är att vi ska lära oss att lösa exponentialekvationer genom logaritmering. | ||
}} | }} | ||
{{#ev:youtube| 8zL5jsyO2Zo|400|right|Exempel på exponentialekvationer}} | {{#ev:youtube| 8zL5jsyO2Zo|400|right|Exempel på exponentialekvationer}} | ||
{{#ev:youtube| 5CuaV3_iHdo|400|right|Logaritmer med olika baser, av Andreas Borg}} | {{#ev:youtube| 5CuaV3_iHdo|400|right|Logaritmer med olika baser, av Andreas Borg}} | ||
En ekvation där variabeln sitter i exponenten i, exempelvis <math> 5^x = 12 </math>, kallas för exponentialekvation. | |||
Du löser exponentialekvationer algebraiskt genom att använda logaritmer. | |||
=== Verktyg för ekvationslösning === | |||
Genom att vi har lärt oss logaritmlagarna har vi nu fler verktyg vid ekvationslösning. Nedan kommer en sammanfattning | |||
# Använd operationer så att variabeln står själv på en sida av <nowiki>"="</nowiki> | |||
#* Addition ( + ) | |||
#* Subraktion ( - ) | |||
#* Multiplikation ( × ) | |||
#* Division ( ÷ ) | |||
#* Logaritmera ( log || lg || ln ) | |||
# När operationer används på ekvationen måste de appliceras på båda sidorna av <nowiki>"="</nowiki> | |||
# Känna igen välkända formler och regler för att förenkla eller utveckla | |||
#* Potenslagarna | |||
#* Logaritmlagarna | |||
#* Konjugat-och Kvadreringsreglerna | |||
=== Skillnaden funktion - ekvation === | === Skillnaden funktion - ekvation === | ||
| Rad 21: | Rad 43: | ||
: <math> C \cdot a^{x} = B</math> är en '''exponentialekvation''' | : <math> C \cdot a^{x} = B</math> är en '''exponentialekvation''' | ||
}} | }} | ||
Exponentialfunktionerna kan skrivas på flera former, exempelvis | Exponentialfunktionerna kan skrivas på flera former, exempelvis | ||
| Rad 33: | Rad 49: | ||
* <math>f(x) = e^{kx + a}</math> | * <math>f(x) = e^{kx + a}</math> | ||
=== Logaritmera ekvationer === | === Metod - Logaritmera ekvationer === | ||
Dessa och liknade ekvationer löser man genom att logaritmera båda sidorna. | Dessa och liknade ekvationer löser man genom att logaritmera båda sidorna. | ||
| Rad 39: | Rad 55: | ||
Varför är det så? | Varför är det så? | ||
Om | Om <math>10^{2a+3b} = 10^y</math> så innebär det att <math>2a+3b = y</math> | ||
Om <math>log(2a+3b) = log y</math> så innebär det att <math>2a+3b = y</math> | Om <math>log(2a+3b) = log y</math> så innebär det att <math>2a+3b = y</math> | ||
Om log 10 | Om <math>log 10^x = log 27</math> så innebär det att <math>10^x = 27</math> | ||
Om man går åt andra hållet kan man säga att om 10<sup>x</sup> = 27 så innebär det att | Om man går åt andra hållet kan man säga att om 10<sup>x</sup> = 27 så innebär det att | ||
| Rad 52: | Rad 68: | ||
Nu har vi hittat en metod att lösa ekvationer med exponentialfunktioner. Den kallas att logaritmera. | Nu har vi hittat en metod att lösa ekvationer med exponentialfunktioner. Den kallas att logaritmera. | ||
= Exempel = | |||
{{exruta| | |||
'''Exponentialfunktioner''' är en klass av matematiska funktioner som kännetecknas av att funktionsvärdets ändringstakt är proportionell mot funktionsvärdet. Exempelvis kan ''ränta på ränta'' beräknas som | |||
:<math>slutbeloppet = r^x\cdot startbeloppet</math> | |||
där <math>r^x</math> är en exponentialfunktion, den årliga räntefaktorn är ''r'' (till exempel 1,10 för 10 % ränta) och ''x'' antalet år. | |||
}} | |||
{{exruta| | {{exruta| | ||
| Rad 65: | Rad 90: | ||
}} | }} | ||
== | = Lösningar = | ||
<pdf>Fil:Exponentialekvationer.pdf</pdf> | |||
= Uppgifter = | |||
*Logaritmer | |||
:: 2<sup>x</sup> = 3 | |||
{{clear}} | |||
= Aktiviteter = | |||
{{uppgruta|'''Öva tolkning och modellering''' | |||
[[Fil:Nationella provet ht12 - 3C.png|240px|höger]] | |||
Uppgiften från det Nationella provet ht12 i kursen Ma3c kan användaas för att öva sig i att läsa av diagram, mm. | |||
Utgå från värdena i diagrammet och ställ upp exponentialfunktionen för gåspopulationen. | |||
Skapa en lämplig frågeställning som ger en uppgift där ekvationslösning med logaritmer ingår | |||
}} | |||
{{uppgruta| '''Lös verkliga problem''' | {{uppgruta| '''Lös verkliga problem''' | ||
| Rad 72: | Rad 119: | ||
: [[Tillämpningar på exponentiell förändring]] med några uppgifter och övningar | : [[Tillämpningar på exponentiell förändring]] med några uppgifter och övningar | ||
:: [https://wikiskola.se/index.php?title{{=}}Till%C3%A4mpningar_p%C3%A5_exponentiell_f%C3%B6r%C3%A4ndring#Befolkningstillv.C3.A4xt Befolkningstillväxt] | |||
:: [https://wikiskola.se/index.php?title{{=}}Till%C3%A4mpningar_p%C3%A5_exponentiell_f%C3%B6r%C3%A4ndring#Uppgift_kol_14-metoden Kol-14] | |||
}} | }} | ||
| Rad 77: | Rad 126: | ||
</html> | </html> | ||
= Laboration - Kaffe i termos = | |||
[[Fil:Exponentialfunktion_vatten_svalnar_i_termos.png|600px|right]] | [[Fil:Exponentialfunktion_vatten_svalnar_i_termos.png|600px|right]] | ||
| Rad 96: | Rad 145: | ||
{{clear}} | {{clear}} | ||
= Lär mer = | |||
{| align="right" | {| align="right" | ||
| Rad 130: | Rad 179: | ||
== Exit ticket == | == Exit ticket == | ||
<headertabs /> | |||
Nuvarande version från 21 januari 2020 kl. 08.38