Exponentialekvationer: Skillnad mellan sidversioner

Från Wikiskola
Hoppa till navigering Hoppa till sök
VisuellWikitext
 
(32 mellanliggande sidversioner av samma användare visas inte)
Rad 1: Rad 1:
__NOTOC__
= Teori =
{{malruta | Exponentialekvationer
{{malruta | Exponentialekvationer


Målet är att vi ska lära oss att lösa exponentialekvationer genom logaritmering.
Målet är att vi ska lära oss att lösa exponentialekvationer genom logaritmering.
}}
}}
== Teori ==


{{#ev:youtube| 8zL5jsyO2Zo|400|right|Exempel på exponentialekvationer}}
{{#ev:youtube| 8zL5jsyO2Zo|400|right|Exempel på exponentialekvationer}}
{{#ev:youtube| 5CuaV3_iHdo|400|right|Logaritmer med olika baser, av Andreas Borg}}
{{#ev:youtube| 5CuaV3_iHdo|400|right|Logaritmer med olika baser, av Andreas Borg}}
En ekvation där variabeln sitter i exponenten i, exempelvis <math> 5^x = 12 </math>, kallas för exponentialekvation.
Du löser exponentialekvationer algebraiskt genom att använda logaritmer.
=== Verktyg för ekvationslösning ===
Genom att vi har lärt oss logaritmlagarna har vi nu fler verktyg vid ekvationslösning. Nedan kommer en sammanfattning
# Använd operationer så att variabeln står själv på en sida av <nowiki>"="</nowiki>
#* Addition ( + )
#* Subraktion ( - )
#* Multiplikation ( × )
#* Division ( ÷ )
#* Logaritmera ( log || lg || ln )
# När operationer används på ekvationen måste de appliceras på båda sidorna av <nowiki>"="</nowiki>
# Känna igen välkända formler och regler för att förenkla eller utveckla
#* Potenslagarna
#* Logaritmlagarna
#* Konjugat-och Kvadreringsreglerna


=== Skillnaden funktion - ekvation ===
=== Skillnaden funktion - ekvation ===
Vilke är egentiligen skillnaden mellan en exponential'''funktion''' och en exponential'''ekvation'''?
Vilken är egentiligen skillnaden mellan en exponential'''funktion''' och en exponential'''ekvation'''?
 
Exponentialfunktionen har ett y-värde som korresponderar till ett x-värde. Den är kontinuerlig och definitionsmängden respektive värdemängden utgörs av de reella talen.
 
Om exponentialfunktionen sätts lika med ett värde eller en annan funktion får vi en exponentialekvation. Grafiskt är lösningen skärningspunkten mellan de två graferna, den för exponentialfunktionen och den för den andra funktionen (y = konstant eller vilken funktion som nu representerar högerledet i ekvationen).


{{defruta|
{{defruta|
Rad 17: Rad 43:
: <math> C \cdot a^{x} = B</math> är en '''exponentialekvation'''
: <math> C \cdot a^{x} = B</math> är en '''exponentialekvation'''
}}
}}
'''Exponentialfunktioner''' är en klass av matematiska funktioner som kännetecknas av att funktionsvärdets ändringstakt är proportionell mot funktionsvärdet. Exempelvis kan ''ränta på ränta'' beräknas som
:<math>slutbeloppet = r^x\cdot startbeloppet</math>
där <math>r^x</math> är en exponentialfunktion, den årliga räntefaktorn är ''r'' (till exempel 1,10 för 10 % ränta) och ''x'' antalet år.


Exponentialfunktionerna kan skrivas på flera former, exempelvis
Exponentialfunktionerna kan skrivas på flera former, exempelvis
Rad 29: Rad 49:
* <math>f(x) = e^{kx + a}</math>
* <math>f(x) = e^{kx + a}</math>


=== Logaritmera ekvationer  ===
=== Metod - Logaritmera ekvationer  ===


Dessa och liknade ekvationer löser man genom att logaritmera båda sidorna.
Dessa och liknade ekvationer löser man genom att logaritmera båda sidorna.
Rad 35: Rad 55:
Varför är det så?
Varför är det så?


Om 10<sup>2a+3b</sup> = 10<sup>y</sup> så innebär det att 2a+3b = y
Om <math>10^{2a+3b} = 10^y</math> så innebär det att <math>2a+3b = y</math>


Om log(2a+3b) = log y så innebär det att 2a+3b = y
Om <math>log(2a+3b) = log y</math> så innebär det att <math>2a+3b = y</math>


Om log 10<sup>x</sup> = log 27 så innebär det att 10<sup>x</sup> = 27
Om <math>log 10^x = log 27</math> så innebär det att <math>10^x = 27</math>


Om man går åt andra hållet kan man säga att om 10<sup>x</sup> = 27 så innebär det att log 10<sup>x</sup> = log 27
Om man går åt andra hållet kan man säga att om 10<sup>x</sup> = 27 så innebär det att  
: <math>log 10^x = log 27 \quad</math> och då är ju enligt logaritmlagarna
: <math>x\cdot log 10 = log 27 \quad</math> och
: <math>x = log 27</math>


Nu har vi hittat en metod att lösa ekvationer med exponentialfunktioner. Den kallas att logaritmera.
Nu har vi hittat en metod att lösa ekvationer med exponentialfunktioner. Den kallas att logaritmera.


==== Exempel ====
= Exempel =


Lös ekvationen 10<sup>2x</sup> = 200


Logaritmering av båda sidorna ger
{{exruta|
'''Exponentialfunktioner''' är en klass av matematiska funktioner som kännetecknas av att funktionsvärdets ändringstakt är proportionell mot funktionsvärdet. Exempelvis kan ''ränta på ränta'' beräknas som


log 10<sup>2x</sup> = log 200
:<math>slutbeloppet = r^x\cdot startbeloppet</math>


2x  = log 200
där <math>r^x</math> är en exponentialfunktion, den årliga räntefaktorn är ''r'' (till exempel 1,10 för 10 % ränta) och ''x'' antalet år.
}}


x = log (200) /2
{{exruta|
Lös ekvationen <math>10^{2x} = 200</math>


=== Grafisk löning ===
Logaritmering av båda sidorna ger:


: <math>log 10^{2x} = log 200 </math>


: <math>2x  = log{200} </math>
: <math>x = log (200) /2 </math>
}}


Bestäm exponentialfunktionen där grafen går genom punkterna (0,2) och (5,6)
= Lösningar =


# Sätt in x = 0 så får du C
<pdf>Fil:Exponentialekvationer.pdf</pdf>
# Sätt in x = 5 och y = 6 i funktionen och räkna ut a


{{uppgruta | Lös upppgiften ovan med GeoGebra
= Uppgifter =


Skriv in funktionen <math>y = C a^x</math>
*Logaritmer
:: 2<sup>x</sup> = 3


Du kommer då att få frågan om du vill skapa glidare för C och a. Det vill du.


Dsa i glidarna och finn lösningen.
{{clear}}
}}


=== Vatten i termos ===
= Aktiviteter =
[[Fil:Exponentialfunktion_vatten_svalnar_i_termos.png|600px|right]]
   
{{uppgruta|'''Öva tolkning och modellering'''
[[Fil:Nationella provet ht12 - 3C.png|240px|höger]]


Figuren nedan visar temperaturen hos vatten som får svalna i en termos. Mätvärdena har lagts i en lista som heter avsvalning i GeoGebra. Därefter har kommandot RegressionExp[avsvalning] använts för att anpassa en exponentiell funktion till värdena i listan.  
Uppgiften från det Nationella provet ht12 i kursen Ma3c kan användaas för att öva sig i att läsa av diagram, mm.


Du ser på funktionen f(x) att basen är 0.98 (= förändringsfaktorn)
Utgå från värdena i diagrammet och ställ upp exponentialfunktionen för gåspopulationen.


{{clear}}
Skapa en lämplig frågeställning som ger en uppgift där ekvationslösning med logaritmer ingår
}}


== Aktivitet ==
{{uppgruta| '''Lös verkliga problem'''
{{uppgruta| '''Lös verkliga problem'''


Rad 91: Rad 119:


: [[Tillämpningar på exponentiell förändring]] med några uppgifter och övningar  
: [[Tillämpningar på exponentiell förändring]] med några uppgifter och övningar  
:: [https://wikiskola.se/index.php?title{{=}}Till%C3%A4mpningar_p%C3%A5_exponentiell_f%C3%B6r%C3%A4ndring#Befolkningstillv.C3.A4xt Befolkningstillväxt]
:: [https://wikiskola.se/index.php?title{{=}}Till%C3%A4mpningar_p%C3%A5_exponentiell_f%C3%B6r%C3%A4ndring#Uppgift_kol_14-metoden Kol-14]
}}
}}


Rad 96: Rad 126:
</html>
</html>


== Lär mer ==
= Laboration - Kaffe i termos =
[[Fil:Exponentialfunktion_vatten_svalnar_i_termos.png|600px|right]]
 
Figuren nedan visar temperaturen hos vatten som får svalna i en termos. Mätvärdena har lagts i en lista som heter avsvalning i GeoGebra. Därefter har kommandot RegressionExp[avsvalning] använts för att anpassa en exponentiell funktion till värdena i listan.
 
Du ser på funktionen f(x) att basen är 0.98 (= förändringsfaktorn)
 
{{uppgruta| Ett praktiskt experiment
 
Skaffa en termomenter avnågot slag och brygg en het kopp kaffe.
 
Mät temperaturen vid minst fem tidpunkter.
 
Gör en kurvanpassning enligt ovan.
 
Vilken exponentialfunktion får du?
}}
{{clear}}
 
= Lär mer =


{| align="right"
{| align="right"
Rad 104: Rad 153:
| {{gleerups| [https://gleerupsportal.se/laromedel/exponent-2c/article/314bb117-05b1-4536-a41e-3ee15000f4d6 Exponentialekvationer] }}<br />
| {{gleerups| [https://gleerupsportal.se/laromedel/exponent-2c/article/314bb117-05b1-4536-a41e-3ee15000f4d6 Exponentialekvationer] }}<br />
|-
|-
| {{{matteboken |[https://www.matteboken.se/lektioner/matte-2/logaritmer/tiologaritmer En bit ner på sidan behandlas exponentialekvationer] }}<br />
| {{matteboken |[https://www.matteboken.se/lektioner/matte-2/logaritmer/tiologaritmer En bit ner på sidan behandlas exponentialekvationer] }}<br />
|}
|}
{{clear}}
{{clear}}
=== Hitta funktionen grafiskt med GeoGebra ===
{{uppgruta | '''Bestäm funktionen algebraiskt eller med GeoGebra'''
Bestäm exponentialfunktionen <math>y = C a^x</math> där grafen går genom punkterna (0,2) och (5,6)
'''Algebraiskt'''
Du behöver beräkan a och C.
# Sätt in <math>x = 0</math> så får du C
# Sätt in <math>x = 5</math> och <math>y = 6</math> i funktionen och räkna ut a
'''Grafiskt'''
Skriv in funktionen <math>y = C a^x</math>
Du kommer då att få frågan om du vill skapa glidare för C och a. Det vill du.
Dra i glidarna och finn lösningen.
}}


== Exit ticket ==
== Exit ticket ==
<headertabs />

Nuvarande version från 21 januari 2020 kl. 08.38


[redigera]
Mål för undervisningen Exponentialekvationer

Målet är att vi ska lära oss att lösa exponentialekvationer genom logaritmering.


Load video
YouTube
Exempel på exponentialekvationer
Load video
YouTube
Logaritmer med olika baser, av Andreas Borg

En ekvation där variabeln sitter i exponenten i, exempelvis [math]\displaystyle{ 5^x = 12 }[/math], kallas för exponentialekvation.

Du löser exponentialekvationer algebraiskt genom att använda logaritmer.

Verktyg för ekvationslösning

Genom att vi har lärt oss logaritmlagarna har vi nu fler verktyg vid ekvationslösning. Nedan kommer en sammanfattning

  1. Använd operationer så att variabeln står själv på en sida av "="
    • Addition ( + )
    • Subraktion ( - )
    • Multiplikation ( × )
    • Division ( ÷ )
    • Logaritmera ( log || lg || ln )
  2. När operationer används på ekvationen måste de appliceras på båda sidorna av "="
  3. Känna igen välkända formler och regler för att förenkla eller utveckla
    • Potenslagarna
    • Logaritmlagarna
    • Konjugat-och Kvadreringsreglerna

Skillnaden funktion - ekvation

Vilken är egentiligen skillnaden mellan en exponentialfunktion och en exponentialekvation?

Exponentialfunktionen har ett y-värde som korresponderar till ett x-värde. Den är kontinuerlig och definitionsmängden respektive värdemängden utgörs av de reella talen.

Om exponentialfunktionen sätts lika med ett värde eller en annan funktion får vi en exponentialekvation. Grafiskt är lösningen skärningspunkten mellan de två graferna, den för exponentialfunktionen och den för den andra funktionen (y = konstant eller vilken funktion som nu representerar högerledet i ekvationen).

Definition
[math]\displaystyle{ f(x) = C \cdot a^{x} }[/math] är en exponentialfunktion


[math]\displaystyle{ C \cdot a^{x} = B }[/math] är en exponentialekvation


Exponentialfunktionerna kan skrivas på flera former, exempelvis

  • [math]\displaystyle{ f(x) = C \cdot e^{kx} }[/math]
  • [math]\displaystyle{ f(x) = C \cdot a^{x} }[/math]
  • [math]\displaystyle{ f(x) = e^{kx + a} }[/math]

Metod - Logaritmera ekvationer

Dessa och liknade ekvationer löser man genom att logaritmera båda sidorna.

Varför är det så?

Om [math]\displaystyle{ 10^{2a+3b} = 10^y }[/math] så innebär det att [math]\displaystyle{ 2a+3b = y }[/math]

Om [math]\displaystyle{ log(2a+3b) = log y }[/math] så innebär det att [math]\displaystyle{ 2a+3b = y }[/math]

Om [math]\displaystyle{ log 10^x = log 27 }[/math] så innebär det att [math]\displaystyle{ 10^x = 27 }[/math]

Om man går åt andra hållet kan man säga att om 10x = 27 så innebär det att

[math]\displaystyle{ log 10^x = log 27 \quad }[/math] och då är ju enligt logaritmlagarna
[math]\displaystyle{ x\cdot log 10 = log 27 \quad }[/math] och
[math]\displaystyle{ x = log 27 }[/math]

Nu har vi hittat en metod att lösa ekvationer med exponentialfunktioner. Den kallas att logaritmera.

[redigera]
Exempel

Exponentialfunktioner är en klass av matematiska funktioner som kännetecknas av att funktionsvärdets ändringstakt är proportionell mot funktionsvärdet. Exempelvis kan ränta på ränta beräknas som

[math]\displaystyle{ slutbeloppet = r^x\cdot startbeloppet }[/math]

där [math]\displaystyle{ r^x }[/math] är en exponentialfunktion, den årliga räntefaktorn är r (till exempel 1,10 för 10 % ränta) och x antalet år.


Exempel

Lös ekvationen [math]\displaystyle{ 10^{2x} = 200 }[/math]

Logaritmering av båda sidorna ger:

[math]\displaystyle{ log 10^{2x} = log 200 }[/math]
[math]\displaystyle{ 2x = log{200} }[/math]
[math]\displaystyle{ x = log (200) /2 }[/math]


[redigera]
  • Logaritmer
2x = 3


[redigera]
Uppgift
Öva tolkning och modellering

Uppgiften från det Nationella provet ht12 i kursen Ma3c kan användaas för att öva sig i att läsa av diagram, mm.

Utgå från värdena i diagrammet och ställ upp exponentialfunktionen för gåspopulationen.

Skapa en lämplig frågeställning som ger en uppgift där ekvationslösning med logaritmer ingår


Uppgift
Lös verkliga problem

Länken till den här sidan leder till en mängd exempel på tillämpningar av exponentialfunktionen och uppgifter som löses genom att ställa upp exponentialekvationer.

Tillämpningar på exponentiell förändring med några uppgifter och övningar
Befolkningstillväxt
Kol-14


[redigera]

Figuren nedan visar temperaturen hos vatten som får svalna i en termos. Mätvärdena har lagts i en lista som heter avsvalning i GeoGebra. Därefter har kommandot RegressionExp[avsvalning] använts för att anpassa en exponentiell funktion till värdena i listan.

Du ser på funktionen f(x) att basen är 0.98 (= förändringsfaktorn)

Uppgift
Ett praktiskt experiment

Skaffa en termomenter avnågot slag och brygg en het kopp kaffe.

Mät temperaturen vid minst fem tidpunkter.

Gör en kurvanpassning enligt ovan.

Vilken exponentialfunktion får du?

[redigera]
Swayen till detta avsnitt: Exponentialekvationer


läromedel: Exponentialekvationer


Läs om En bit ner på sidan behandlas exponentialekvationer


Hitta funktionen grafiskt med GeoGebra

Uppgift
Bestäm funktionen algebraiskt eller med GeoGebra

Bestäm exponentialfunktionen [math]\displaystyle{ y = C a^x }[/math] där grafen går genom punkterna (0,2) och (5,6)

Algebraiskt

Du behöver beräkan a och C.

  1. Sätt in [math]\displaystyle{ x = 0 }[/math] så får du C
  2. Sätt in [math]\displaystyle{ x = 5 }[/math] och [math]\displaystyle{ y = 6 }[/math] i funktionen och räkna ut a

Grafiskt

Skriv in funktionen [math]\displaystyle{ y = C a^x }[/math]

Du kommer då att få frågan om du vill skapa glidare för C och a. Det vill du.

Dra i glidarna och finn lösningen.


Exit ticket

Hämtad från ”https://wikiskola.se/index.php?title=Exponentialekvationer&oldid=54060”