Räkna med komplexa tal: Skillnad mellan sidversioner

Från Wikiskola
Hoppa till navigering Hoppa till sök
Ingen redigeringssammanfattning
Rad 31: Rad 31:
: <math> \frac{2-i}{3+2 i} </math>
: <math> \frac{2-i}{3+2 i} </math>


då förlänger vi med konsulatet
då förlänger vi med konjugatet


: <math> \frac{(2-i)(3-2 i)}{(3+2 i)(3-2 i)}  = \frac{ 6-4 i - 3 i + 2 i^2}{3^2+2^2} = \frac{ 6-7 i  + 2 (- 1)}{9+4} = \frac{ 6-7 i  - 2}{13} = \frac{ 4-7 i }{13} = \frac{ 4}{13} + \frac{ -7 i }{13}</math>
: <math> \frac{(2-i)(3-2 i)}{(3+2 i)(3-2 i)}  = \frac{ 6-4 i - 3 i + 2 i^2}{3^2+2^2} = \frac{ 6-7 i  + 2 (- 1)}{9+4} = \frac{ 6-7 i  - 2}{13} = \frac{ 4-7 i }{13} = \frac{ 4}{13} + \frac{ -7 i }{13}</math>

Versionen från 1 april 2015 kl. 09.25

Potenser av i

potens av [math]\displaystyle{ i }[/math] resultat
[math]\displaystyle{ i }[/math] i
[math]\displaystyle{ i^2 }[/math] [math]\displaystyle{ - \: 1 }[/math]
[math]\displaystyle{ i^3 = i \cdot i^2 }[/math] [math]\displaystyle{ - \: 1 }[/math]
[math]\displaystyle{ i^4 }[/math] [math]\displaystyle{ - \: 1 }[/math]
[math]\displaystyle{ i^5 }[/math] [math]\displaystyle{ - \: 1 }[/math]
[math]\displaystyle{ i^6 }[/math] [math]\displaystyle{ - \: 1 }[/math]

Multiplikation med konjugatet

Magnus Rönnholm, Creative Commons

Eftersom multiplikation med konjugatet ger ett reellt tal kan vi förenkla bråk med komplexa tal i nämnaren.

[math]\displaystyle{ z\bar{z} = \bar{z}z = a^2 + b^2 = |z|^2 }[/math]

Exempel

Skriv om detta på forman a + b i

[math]\displaystyle{ \frac{2-i}{3+2 i} }[/math]

då förlänger vi med konjugatet

[math]\displaystyle{ \frac{(2-i)(3-2 i)}{(3+2 i)(3-2 i)} = \frac{ 6-4 i - 3 i + 2 i^2}{3^2+2^2} = \frac{ 6-7 i + 2 (- 1)}{9+4} = \frac{ 6-7 i - 2}{13} = \frac{ 4-7 i }{13} = \frac{ 4}{13} + \frac{ -7 i }{13} }[/math]

Fundera

Fundera på denna uppgift:

z_2 är en spegling av z_1 i y-axeln. Vad kan man säga om produkten av z_1 z_2