Räkna med komplexa tal

Från Wikiskola
Hoppa till navigering Hoppa till sök


Potenser av i

potens av [math]i[/math] resultat
[math]i[/math] [math]i [/math]
[math]i^2[/math] [math]- \: 1[/math]
[math]i^3 = i \cdot i^2[/math] [math]-1 \cdot i = - \: i[/math]
[math]i^4 = i^2 \cdot i^2[/math] [math]-1 \cdot -1 = 1[/math]
[math]i^5 = i \cdot i^4[/math] [math]i \cdot 1 = i[/math]

Multiplikation med konjugatet

Magnus Rönnholm, Creative Commons

Eftersom multiplikation med konjugatet ger ett reellt tal kan vi förenkla bråk med komplexa tal i nämnaren.

[math] z\bar{z} = \bar{z}z = a^2 + b^2 = |z|^2 [/math]

Exempel

Skriv om detta på forman a + b i

[math] \frac{2-i}{3+2 i} [/math]

då förlänger vi med konjugatet

[math] \frac{(2-i)(3-2 i)}{(3+2 i)(3-2 i)} = \frac{ 6-4 i - 3 i + 2 i^2}{3^2+2^2} = \frac{ 6-7 i + 2 (- 1)}{9+4} = [/math]


[math]=\frac{ 6-7 i - 2}{13} = \frac{ 4-7 i }{13} = \frac{ 4}{13} - \frac{7 }{13} \: i[/math]

Öva själv

Khan-logo-vertical-transparent.png
Öva på Khan:  Multiply complex numbers
Khan-logo-vertical-transparent.png
Öva på Khan:  Divide complex numbers
Khan-logo-vertical-transparent.png
Öva på Khan:  Simplify hairy fractions


Fundera

Fundera på denna uppgift:

z_2 är en spegling av z_1 i y-axeln. Vad kan man säga om produkten av z_1 z_2