Räkna med komplexa tal: Skillnad mellan sidversioner

Från Wikiskola
Hoppa till navigering Hoppa till sök
 
(11 mellanliggande sidversioner av samma användare visas inte)
Rad 1: Rad 1:
[[Category:Matematik]] [[Category:Ma4]]  [[Category:Aritmetik, algebra och geometri]]  [[Category:Komplexa tal]]
== Potenser av i ==
== Potenser av i ==


Rad 5: Rad 7:
! potens av <math>i</math> !! resultat
! potens av <math>i</math> !! resultat
|-
|-
| <math>i</math> || i
| <math>i</math> || <math>i </math>
|-
|-
| <math>i^2</math> || <math>- \: 1</math>
| <math>i^2</math> || <math>- \: 1</math>
|-
|-
| <math>i^3 = i \cdot i^2</math> || <math>- \: 1</math>
| <math>i^3 = i \cdot i^2</math> || <math>-1 \cdot i = - \: i</math>
|-
|-
| <math>i^4</math> || <math>- \: 1</math>
| <math>i^4 = i^2 \cdot i^2</math> || <math>-1 \cdot -1 =  1</math>
|-
|-
| <math>i^5</math> || <math>- \: 1</math>
| <math>i^5 = i \cdot i^4</math> || <math>i \cdot 1 = i</math>
|-
 
| <math>i^6</math> || <math>- \: 1</math>
|}
|}


Rad 25: Rad 26:
<math> z\bar{z} = \bar{z}z = a^2 + b^2 = |z|^2 </math>
<math> z\bar{z} = \bar{z}z = a^2 + b^2 = |z|^2 </math>


{{clear}}
=== Exempel ===
=== Exempel ===


Rad 31: Rad 33:
: <math> \frac{2-i}{3+2 i} </math>
: <math> \frac{2-i}{3+2 i} </math>


då förlänger vi med konsulatet
då förlänger vi med konjugatet


: <math> \frac{(2-i)(3-2 i)}{(3+2 i)(3-2 i)}  = \frac{ 6-4 i - 3 i + 2 i^2}{3^2+2^2} = \frac{ 6-7 i  + 2 (- 1)}{9+4} = \frac{ 6-7 i  - 2}{13} = \frac{ 4-7 i }{13} = \frac{ 4}{13} + \frac{ -7 i }{13}</math>
: <math> \frac{(2-i)(3-2 i)}{(3+2 i)(3-2 i)}  = \frac{ 6-4 i - 3 i + 2 i^2}{3^2+2^2} = \frac{ 6-7 i  + 2 (- 1)}{9+4} = </math>
<br />
 
:  <math>=\frac{ 6-7 i  - 2}{13} = \frac{ 4-7 i }{13} = \frac{ 4}{13} - \frac{7 }{13} \: i</math>


{{clear}}
{{clear}}
=== Öva själv ===
{{khanruta | [https://www.khanacademy.org/math/precalculus/imaginary-and-complex-numbers/multiplying-complex-numbers/e/multiplying_complex_numbers Multiply complex numbers]}}
{{khanruta | [https://www.khanacademy.org/math/algebra-home/alg-complex-numbers/alg-complex-conjugates-and-dividing-complex-numbers/e/dividing_complex_numbers Divide complex numbers]}}
{{khanruta | [https://www.khanacademy.org/math/cc-seventh-grade-math/cc-7th-negative-numbers-multiply-and-divide/cc-7th-mult-div-fractions-2/e/complex-fractions Simplify hairy fractions] }}


== Fundera ==
== Fundera ==

Nuvarande version från 29 november 2016 kl. 15.47


Potenser av i

potens av [math]\displaystyle{ i }[/math] resultat
[math]\displaystyle{ i }[/math] [math]\displaystyle{ i }[/math]
[math]\displaystyle{ i^2 }[/math] [math]\displaystyle{ - \: 1 }[/math]
[math]\displaystyle{ i^3 = i \cdot i^2 }[/math] [math]\displaystyle{ -1 \cdot i = - \: i }[/math]
[math]\displaystyle{ i^4 = i^2 \cdot i^2 }[/math] [math]\displaystyle{ -1 \cdot -1 = 1 }[/math]
[math]\displaystyle{ i^5 = i \cdot i^4 }[/math] [math]\displaystyle{ i \cdot 1 = i }[/math]

Multiplikation med konjugatet

Magnus Rönnholm, Creative Commons

Eftersom multiplikation med konjugatet ger ett reellt tal kan vi förenkla bråk med komplexa tal i nämnaren.

[math]\displaystyle{ z\bar{z} = \bar{z}z = a^2 + b^2 = |z|^2 }[/math]

Exempel

Skriv om detta på forman a + b i

[math]\displaystyle{ \frac{2-i}{3+2 i} }[/math]

då förlänger vi med konjugatet

[math]\displaystyle{ \frac{(2-i)(3-2 i)}{(3+2 i)(3-2 i)} = \frac{ 6-4 i - 3 i + 2 i^2}{3^2+2^2} = \frac{ 6-7 i + 2 (- 1)}{9+4} = }[/math]


[math]\displaystyle{ =\frac{ 6-7 i - 2}{13} = \frac{ 4-7 i }{13} = \frac{ 4}{13} - \frac{7 }{13} \: i }[/math]

Öva själv

Öva på Khan:  Multiply complex numbers
Öva på Khan:  Divide complex numbers
Öva på Khan:  Simplify hairy fractions


Fundera

Fundera på denna uppgift:

z_2 är en spegling av z_1 i y-axeln. Vad kan man säga om produkten av z_1 z_2