|
|
| (7 mellanliggande sidversioner av samma användare visas inte) |
| Rad 19: |
Rad 19: |
| * [http://sv.wikibooks.org/wiki/Formelsamling/Matematik/Derivering_och_integrering Formelsamling på WikiBooks] med derivering och integrering. | | * [http://sv.wikibooks.org/wiki/Formelsamling/Matematik/Derivering_och_integrering Formelsamling på WikiBooks] med derivering och integrering. |
|
| |
|
| == Integral och area == | | == [[Integral och area]] == |
|
| |
|
| {{Lm4|Tillämpningar|152-158}}
| | == [[Integralens värde och tillämpningar]] == |
|
| |
|
| === Hemuppgift === | | == [[Numerisk lösning av integraler]] == |
|
| |
|
| Gör bokens övning på sid 158.
| | == Sannolikheter med integraler - [[Normalfördelningen]] == |
|
| |
|
| Den handlar om arean under funktion
| | == [[Exponentialfördelningen]] == |
| | |
| : <math> f(x) = \cos(kx) </math>
| |
| | |
| mellan skärningspunkterna med x-axeln.
| |
| | |
| k varierar från 1 till 5.
| |
| | |
| <html>
| |
| <iframe scrolling="no" src="https://tube.geogebra.org/material/iframe/id/586821/width/800/height/503/border/888888/rc/false/ai/false/sdz/true/smb/false/stb/false/stbh/true/ld/false/sri/true/at/auto" width="800px" height="503px" style="border:0px;"> </iframe>
| |
| </html>
| |
| | |
| Länk till [http://www.geogebratube.org/material/show/id/586821 GeoGebraTube]
| |
| | |
| == Integralens värde och tillämpningar ==
| |
| | |
| === Fritt fall ===
| |
| | |
| Titta gärna på wikipediatexten om [[Differentialekvationer_Ma4#Fritt_fall|fritt fall]] som ligger på förra avsnittet om diffekvationer.
| |
| | |
| {{Lm4|Tillämpningar|159-163}}
| |
| | |
| === Fysik och integraler - Hemuppgift ===
| |
| | |
| {{uppgruta | '''Fysik och integraler'''
| |
| Lös någon eller några av uppgifterna hemma. Välj sedan en som du gör en snygg skriftlig redovisning av.
| |
| | |
| Du ska vara beredd att gå fram och redovisa uppgiftens lösning på tavlan.
| |
| | |
| Uppgifterna med sträcka hastighet är nog enklast. Du får sträckan genom att integrera hastighetsfunktionen.
| |
| | |
| [[media: Problemlösning_fysik_och_integraler.pdf | Problemlösning Fysik och Integraler]]
| |
| | |
| '''Redovisning''': På tavlan.
| |
| | |
| }}
| |
| | |
| Geogebrakonstruktionen enda visar förhoppningsvis att integralen av accelerationen är hastighetsförändringen. Cosinusfunktion beskriver en bollsom hänger i en fjäder och gungar upp och ner i en pendlande rörelse, så kallad harmonisk svängning.
| |
| | |
| <html>
| |
| <iframe scrolling="no" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/rMaKPa4w/width/866/height/482/border/888888/sri/true/sdz/true" width="866px" height="482px" style="border:0px;"> </iframe>
| |
| </html>
| |
| | |
| == Numerisk lösning av integraler ==
| |
| {{Lm4|Numerisk|164-169}}
| |
| | |
| === Numerisk lösning av integraler ===
| |
| {{#ev:youtube | IcecyaONFwI | 340 | right | Trapetsmetoden för lösning av integraler. Av Tomas Severin, Youtubelicens.}}
| |
| | |
| Läs vad {{svwp |Trapetsmetoden}}
| |
| | |
| <html>
| |
| <iframe scrolling="no" src="https://tube.geogebra.org/material/iframe/id/55936/width/1218/height/677/border/888888/rc/false/ai/false/sdz/true/smb/false/stb/false/stbh/true/ld/false/sri/true/at/auto" width="1218px" height="677px" style="border:0px;"> </iframe>
| |
| </html>
| |
| | |
| {{clear}}
| |
| | |
| === Hemuppgift trapetsmetoden===
| |
| | |
| {{uppgfacit | En NP-uppgift med trapetsmetoden
| |
| Lös den här uppgiften hemma.
| |
| | |
| [[Fil:Nationellt prov, kurs D, vt 1999 - en integraluppgift.png|miniatyr|590px | left | Integraluppgift från Nationellt prov, kurs D,vt 1999]] | |
| | |
| {{clear}}
| |
| '''Räkna även ut integralens värde med trapetsmetoden.'''
| |
| | |
| Var beredd att redovisa din lösning vid tavlan. Dina frågor och kommentarer kommer även att vara till nytta när vi diskuterar uppgiften grundligt.
| |
| |
| |
| Läs inte den här ledtråden förrän du har försökt själv med uppgiften. Lösningsförslaget i den länakde sidan är en GeoGebra som ska vara underlag för en diskussion på lektionen.
| |
| [[Lösningsförslag till NP-uppgift fr vt 1999]]
| |
| }}
| |
| | |
| === Prova en svårlöslig integral med digitala verktyg ===
| |
| | |
| Kan du lösa denna integral analytiskt?
| |
| | |
| <math> \int {\sin(x^2)dx} </math>
| |
| | |
| Det är svårt att finna en primitiv funktion, eller hur?
| |
| | |
| Prova att lösa den med WolframAlpha och GeoGebra.
| |
| | |
| Läs mer [http://reference.wolfram.com/language/tutorial/IntegralsThatCanAndCannotBeDone.html här].
| |
| | |
| === Formativ lektionskontroll ===
| |
| | |
| [[Fil:NP E 1996 Integraluppgift med bromssträcka.png|340px|miniatyr|höger|Alla gör denna uppgift för hand så jag kan se att de förstår detta.]]
| |
| | |
| * Om allt gått väl kan alla nu lösa denna uppgift. I så fall kan vi gå vidare.
| |
| * Om det är många som inte kan detta måste vi repetera. Vi måste också diskutera, utvärdera och komma överens om hur vi ska göra för att lära oss detta.
| |
| * Om de flesta men inte alla kan detta kommer vi att gå vidare i klassen. De som ännu inte klarar detta får diskutera med mig hur de kan göra för att komma vidare.
| |
| | |
| [[Lösningsförslag till NP E 1996 Integraluppgift]]
| |
| {{clear}}
| |
| | |
| == Sannolikheter med integraler ==
| |
| | |
| === Definition ===
| |
| [[Fil:Standard deviation diagram.svg|frame|right|Normalfördelningen]]
| |
| [[Fil:Normal distribution pdf.png|miniatyr|300px|Normalfördelningen för olika värden på μ och σ²]]
| |
| | |
| Normalfördelningen har täthetsfunktionen
| |
| | |
| :<math>f(x) = {1 \over \sigma\sqrt{2\pi} }\,e^{-{(x-\mu )^2 \over 2\sigma^2}}</math>,
| |
| där ''μ'' och ''σ'' är normalfördelningens karakteristiska konstanter: ''μ'' är väntevärdet och ''σ'' är standardavvikelsen för fördelningen. Denna normalfördelning betecknas med <math>N(\mu,\sigma)\,</math>.
| |
| | |
| Normalfördelningens täthetsfunktion kan inte integreras med vanliga endimensionella metoder eftersom den inte har någon primitiv funktion som kan uttryckas analytiskt. Arean under kurvan kan emellertid med andra metoder visas vara 1, vilket den måste vara för att vara en sannolikhetsfördelning.
| |
| | |
| En '''standardiserad normalfördelning''' har μ = 0 och σ = 1.
| |
| {{clear}}
| |
| | |
| === Filmer ===
| |
| | |
| {{#ev:youtube | loLj1eLC6GI | 340 | left |Sannolikheter och integraler. Tomas Sverinn, standard Youtubelicens.}}
| |
| {{#ev:youtube | WUlE9_5lAls | 340 | right |Ma4 Normalfördelningen. Polhemsjocke, standard Youtubelicens.}}
| |
| {{#ev:youtube | 7epyyBgiBbY | 340 | right |Täthetsfunktioner. MDAGlobalaGy, Creative Commons.}}
| |
| | |
| | |
| <html>
| |
| <iframe scrolling="no" src="https://tube.geogebra.org/material/iframe/id/35876/width/1382/height/574/border/888888/rc/false/ai/false/sdz/true/smb/false/stb/false/stbh/true/ld/false/sri/true/at/auto" width="1382px" height="574px" style="border:0px;"> </iframe>
| |
| </html>
| |
| | |
| === Exempel 1 i boken ===
| |
| | |
| <html>
| |
| <iframe scrolling="no" src="https://tube.geogebra.org/material/iframe/id/666167/width/909/height/503/border/888888/rc/false/ai/false/sdz/true/smb/false/stb/false/stbh/true/ld/false/sri/true/at/auto" width="909px" height="503px" style="border:0px;"> </iframe>
| |
| </html>
| |
| | |
| === Hemuppgift - Normalfördelning ===
| |
| [[Fil:D-kursprov-ht03-uppg10.png|600px | miniatyr|Är detta en normalförelning?]]
| |
| | |
| Lös uppgiften till höger.
| |
| | |
| Är det en normalfördelning och hur vet du det?
| |
| | |
| Använd datorn till att redovisa ditt svar.
| |
| | |
| Var beredd att presentera din lösning med projektor.
| |
| | |
| GeoGebra-förslag till lösning - [[NP Ma D Normalfödelning]]
| |
| | |
| ==== Bedömningsanvisning från NP ====
| |
| | |
| Redovisad godtagbar förklaring, t ex integralens värde anger den totala ökningen av antalet bin under 24 veckor
| |
| : http://www5.edusci.umu.se/np/np-prov/D-kursprov-ht03.pdf
| |
| {{clear}}
| |
| | |
| == Exponentialfördelningen ==
| |
| | |
| {{lm4| Exponentialfördelningen |172-173}}
| |
| [[Image:exponential pdf.svg|340px|miniatyr|Täthetsfunktion]]
| |
| | |
| {{defruta | '''Exponentialfördelningen'''
| |
| | |
| Exponentialfördelningen är kontinuerlig sannolikhetsfördelning med täthetsfunktionen
| |
| | |
| :<math> f(x;\lambda) = \begin{cases}
| |
| \lambda e^{-\lambda x} & x \ge 0, \\
| |
| 0 & x < 0.
| |
| \end{cases}</math>
| |
| }}
| |
| | |
| Exempel på variabler som är approximativt exponentialfördelade är
| |
| | |
| * Tiden tills någon råkar ut för sin nästa bilolycka
| |
| * Tiden tills någon får sitt nästa telefonsamtal
| |
| * Avståndet mellan mutationer på en DNA-sträng
| |
| | |
| En viktig egenskap hos exponentialfördelningen är att den "saknar minne". Med andra ord, chansen att tillståndet kommer att förändras inom de nästa s sekunderna påverkas inte av den tid som redan förflutit.
| |
| | |
| === Hemuppgift ===
| |
| | |
| {{uppgruta| '''Vad är <math> \lambda</math>?'''
| |
| | |
| Läs vad {{svwp| Exponentialfördelning}} och ta reda på hur <math> \lambda</math> förhåller sig till:
| |
| # medelvärdet
| |
| # standardavvikelsen
| |
| | |
| '''Fundera''' över frågorna under GeoGebran nedan.
| |
| }}
| |
| Exponentialfördelningen kan användas för att bestämma en glödlampas livslängd. Lambda är 0.05 och x är antalet månader.
| |
| | |
| Lambda är 1 / medellivslängden för en glödlampa.
| |
| | |
| <html>
| |
| <iframe scrolling="no" src="https://tube.geogebra.org/material/iframe/id/670541/width/800/height/503/border/888888/rc/false/ai/false/sdz/true/smb/false/stb/false/stbh/true/ld/false/sri/true/at/auto" width="800px" height="503px" style="border:0px;"> </iframe>
| |
| </html>
| |
| | |
| ==== Frågor ====
| |
| Vad innebär frekvensfunktionens skärning med y-axeln?
| |
| | |
| Vad är innebörden av linjen "hälften"?
| |
| | |
| [http://www.geogebratube.org/material/show/id/670541 GeoGebran]
| |
| {{clear}}
| |
|
| |
|
| == Repetera integraler == | | == Repetera integraler == |
|
| |
|
| Det finns ett litet antal självrättande uppgifter på [http://www.matteboken.se/ovningsuppgifter Matteboken.se] | | Det finns ett litet antal självrättande uppgifter på [http://www.matteboken.se/ovningsuppgifter Matteboken.se] |
