Gränsvärden

Här kommer text om gränsvärden.

Upplägget.

Motivering.

Omgivningar.

Intervall

Om vi tänker oss alla tal mellan två tal a och b så kallas det ett intervall. Det finns intervall av tre typer. Öppna intervall, slutna intervall och halvöppna intervall (se figurer).

Plats för figur

Alltså

Definition
Ett öppet intervall ]a,b[ består av alla tal x mellan a och b utom a och b ; a<x<b Ett slutet intervall [a,b] består av alla tal x mellan a och b samt a och b ; a≤x≤b

Uppgift
Rita tallinjer i figuren nedan och lägg in intervallen 2<x≤3 ; 4<x<6 ; 1≤x≤1.1

plats för figur papper

Uppgift
lägg också in intervallet på en ytterligare tallinje [math]\displaystyle{ \pi\leq x }[/math].

Inre punkt i ett intervall

Om en punkt A finns inne i ett intervall kallas den inre punkt i till intervallet.

plats för figur

Definition
En punkt A som ligger ligger helt inne i ett intervall kallas inre punkt till intervallet.

Uppgift
Vilket eller vilka av talen [math]\displaystyle{ 1 ; 1.414 ; \sqrt{2} ; 3 ; \pi }[/math] är inre punkter till intervallen [math]\displaystyle{ ] 1.414 , \pi ] }[/math] [math]\displaystyle{ [ \sqrt{2} , \sqrt{10} ] }[/math]

Omgivning

Definition
Om en punkt A är inre punkt till ett öppet intervall U kallas U en omgivning till A

Ofta kommer vi att använda symmetriska omgivningar till en punkt som [math]\displaystyle{ A-\epsilon\lt A\lt A+\epsilon }[/math]

där [math]\displaystyle{ \epsilon }[/math] är ett godtyckligt positivt tal > 0 (ofta litet) tal. Det kan också skrivas [math]\displaystyle{ ]A-\epsilon, A+\epsilon[ }[/math].

Uppgift
Uppgifter på omgivningar

Punkterade omgivningar

Ibland undantar man A från själva omgivningen till A då kallas det en punkterad.

Definition
De sammanslagna intervallen [math]\displaystyle{ P_-= \rm{A-a\lt x\lt A} }[/math] och [math]\displaystyle{ P_+=\rm{A\lt x\lt A+b} }[/math] kallas en punkterad omgivning P till A Det kan också skrivas så här: P är alla x som uppfyller [math]\displaystyle{ ]a,A[ och ]A,b[ }[/math] där a<A och b>A

plats för figur

Uppgift
uppgifter punkterade omgivningar

Vänster och höger omgivningar

Oegentliga gränsvärden

Gränsvärden.

Alternativa definitioner.

Facit till vissa uppgifter