Gränsvärden: Skillnad mellan sidversioner

Från Wikiskola
Hoppa till navigering Hoppa till sök
Rad 37: Rad 37:
}}
}}


{{uppgruta|Vilket eller vilka av talen 1 ; 1.414 ; <math>\sqrt{2}</math> ; 3 ; <math>\pi</math> är inre punkter till intervallen  
{{uppgruta|Vilket eller vilka av talen <math>1 ; 1.414 ; \sqrt{2} ; 3 ; \pi</math> är inre punkter till intervallen  
# ] 1.414 , <math>\pi</math> ]
# <math>] 1.414 , \pi ]</math>
# [ <math>\sqrt{2} , \sqrt{10}</math> ]
# <math>[ \sqrt{2} , \sqrt{10} ]</math>  
}}
}}
===Omgivning===
{{defruta|Om en punkt A är inre punkt till ett '''öppet intervall''' ''O'' kallas ''O'' en omgivning till A}}
Ofta kommer vi att använda symmetriska omgivningar till en punkt som <math>A-\epsilon<A<A+\epsilon</math> där <math>\epsilon</math> är ett godtyckligt (ofta litet) tal. Det kan också skrivas <math>]A-\epsilon, A+\epsilon[</math>.


== Oegentliga gränsvärden ==
== Oegentliga gränsvärden ==

Versionen från 29 augusti 2012 kl. 07.23

Här kommer text om gränsvärden.

Upplägget.

Motivering.

Omgivningar.

Intervall

Om vi tänker oss alla tal mellan två tal a och b så kallas det ett intervall. Det finns intervall av tre typer. Öppna intervall, slutna intervall och halvöppna intervall (se figurer).

Plats för figur

Alltså

Definition
Ett öppet intervall ]a,b[ består av alla tal x mellan a och b utom a och b ; a<x<b

Ett slutet intervall [a,b] består av alla tal x mellan a och b samt a och b ; a≤x≤b


Uppgift
Rita tallinjer i figuren nedan och lägg in intervallen 2<x≤3 ; 4<x<6 ; 1≤x≤1.1

plats för figur papper

Uppgift
lägg också in intervallet på en ytterligare tallinje
[math]\displaystyle{ \pi\leq x }[/math].

Tänk! Detta är ett halvöppet intervall som man också kan skriva ::[math]\displaystyle{ \pi\leq\ x\lt \infty }[/math]



Inre punkt i ett intervall

Om en punkt A finns inne i ett intervall kallas den inre punkt i till intervallet.

plats för figur

Definition
En punkt A som ligger ligger helt inne i ett intervall kallas inre punkt till intervallet.


Tänk! Bara punkter A som uppfyller [math]\displaystyle{ a\lt A\lt b }[/math] är inre punkter till intervallet [math]\displaystyle{ a\leq A\leq b }[/math]



Uppgift
Vilket eller vilka av talen [math]\displaystyle{ 1 ; 1.414 ; \sqrt{2} ; 3 ; \pi }[/math] är inre punkter till intervallen
  1. [math]\displaystyle{ ] 1.414 , \pi ] }[/math]
  2. [math]\displaystyle{ [ \sqrt{2} , \sqrt{10} ] }[/math]


Omgivning

Definition
Om en punkt A är inre punkt till ett öppet intervall O kallas O en omgivning till A

Ofta kommer vi att använda symmetriska omgivningar till en punkt som [math]\displaystyle{ A-\epsilon\lt A\lt A+\epsilon }[/math] där [math]\displaystyle{ \epsilon }[/math] är ett godtyckligt (ofta litet) tal. Det kan också skrivas [math]\displaystyle{ ]A-\epsilon, A+\epsilon[ }[/math].

Oegentliga gränsvärden

Gränsvärden.

Alternativa definitioner.

Facit till vissa uppgifter