Funktioner 2C: Skillnad mellan sidversioner

Från Wikiskola
Hoppa till navigering Hoppa till sök
 
(7 mellanliggande sidversioner av samma användare visas inte)
Rad 16: Rad 16:
= Andragradsfunktioner =
= Andragradsfunktioner =


här visas andragradsfunktionen på formen
== [[Parabelns ekvation]] ==


: <math>y = ax^2 + bx +c </math>
<html><iframe src="http://phet.colorado.edu/sims/equation-grapher/equation-grapher_en.html" width="800" height="600"></iframe></html>


I denna interaktiva bild från Wolfrm Alpha visas andragradsfunktione på formen
== [[Fyra sätt att beskriva andragradaren]] ==


: <math> y = a ( x - b)^2 +c </math>
== [[Andragradsfunktionens graf]] ==


i båda fallen förändrar du utseendet på grafen men det beter sig på olika sätt. Fundera på varför.
== [[Testa dina kunskaper om andragradsfunktioner]] ==
 
<html>
<script type='text/javascript' src='http://demonstrations.wolfram.com/javascript/embed.js' ></script><script type='text/javascript'>var demoObj = new DEMOEMBED(); demoObj.run('QuadraticInVertexFormOrTurningPointForm', '', '513', '545');</script><div id='DEMO_QuadraticInVertexFormOrTurningPointForm'><a class='demonstrationHyperlink' href='http://demonstrations.wolfram.com/QuadraticInVertexFormOrTurningPointForm/' target='_blank'>Quadratic in Vertex Form (or Turning Point Form)</a> from the <a class='demonstrationHyperlink' href='http://demonstrations.wolfram.com/' target='_blank'>Wolfram Demonstrations Project</a> by Rod Bate</div>
 
</html>
 
== Fyra sätt att beskriva andragradaren ==
 
Vi kommer att arbeta med fyra representationer, fyra sätt att beskriva andragradsfunktionen. Alla sätt beskrivs mer ingående senare men här kommer en snabb sammanställning i några rader och eventuell bild.
{{clear}}
 
==== Generell algebraisk form ====
 
Andragradsfunktionen på allmänn form <math>f(x) = ax^2 + bx + c</math>.
 
'''Exempel''': Andragradsfunktionen <math>f(x) = 2x^2 - 4</math>.
{{clear}}
 
==== Vertex och nollställe ====
 
[[Fil:Andragradare_nollställen.ggb.png|thumb]]
Varje parabel har en extrempunkt där den antar sitt högsta eller lägsta värde. Dessutom kan den ha ett eller två nollställen men det är inte alltid så.
 
[[Funktioner_2C#Begrepp_och_egenskaper_hos_andragradsfunktionern|Läs mer]]
{{clear}}
 
==== Fokus och styrlinje ====
[[Fil:Andragradare_styrlinnje.ggb.png|thumb]]
 
Andragradsfunktionen beskrivs och ritas upp utifrån en linje och en punkt.
 
[[Funktioner_2C#GeoGebra_som_visar_samma_avst.C3.A5nd|Läs mer]]
{{clear}}
 
==== Värdetabell ====
[[Fil:Värdetabell_exempel1.png|right]]
Som med alla funktioner kan man göra en värdetabell med x- och y-värden. När dessa talpar ritas in i ett koordinatsystem får man funktionens graf.
 
[[Funktioner_2C#Hur_ritar_man_en_parabel_om_man_vet_funktionen.3F|Läs mer]]
{{clear}}
 
== Parabelns ekvation ==
[[File:Parábola con foco y directriz.svg|thumb|Avståndet till styrlinjen är lika med avståndet till fokus]]
 
'''Definitioner'''
Brännpunkt kallas också fokus
Styrlinje är en linje som används för att konstruera parabeln
{{clear}}
 
=== GeoGebra som visar samma avstånd ===
 
En punkt på andragradsfunktionens graf har samma avstånd till styrlinjen som till fokuspunkten. Testa genom att flytta punkten så får du se. Du kan även flytta fokuspunkten och styrlinjen.
 
<html>
<head>
<title>GeoGebra Dynamisk arbetsbok</title>
<meta http-equiv="Content-Type" content="text/html; charset=utf-8" />
<meta name="generator" content="GeoGebra" />
<style type="text/css"><!--body { font-family:Arial,Helvetica,sans-serif; margin-left:40px }--></style>
</head>
<body>
<table border="0" width="926">
<tr><td>
<p>
</p>
 
<script type="text/javascript" language="javascript" src="
http://www.geogebra.org/web/4.2/web/web.nocache.js"></script><article class="geogebraweb" data-param-width="926" data-param-height="435"
data-param-showResetIcon="true" data-param-enableLabelDrags="true" data-param-showMenuBar="false" data-param-showToolBar="false" data-param-showAlgebraInput="false" enableLabelDrags="true" data-param-ggbbase64="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"></article>
 
<p>
</p>
<p><span style="font-size:small">18 Maj 2013, Skapat med <a href="http://www.geogebra.org/" target="_blank" >GeoGebra</a></span></p>
</td></tr>
</table><script type="text/javascript">
var ggbApplet = document.ggbApplet;
function ggbOnInit() {}
 
</script>
</body>
</html>
Länk till filen på Geogebratube: http://www.geogebratube.org/material/show/id/39100
 
=== Parabelns egenskaper i GeoGebra 1 ===
 
Du kan lära dig litet om hur parabeln fungerar och vad den har för egenskaper med denna övning:
 
'''Datorövning:''' [http://www.malinc.se/math/functions/parabolasv.php Malin C GGB-övning] {{clear}}
 
=== GeoGebra med styrlinje och fokus ===
 
{{:andragradsfunktion med styrlinje och fokus}}
 
=== Övning - hitta funktionen om du vet fokus och styrlinje ===
 
[[Fil:Parabel_m_styrlinje_o_fokus.png|300px|right|Övningsuppgift: hitta funktionen]]
 
Detta är en '''viktig uppgift'''. Se även Exemplet på sid 152 i Matematik 2C.
 
Den här uppgiften utgår ifrån att du vet styrlinjen och fokuspunkten men ska ta fram funktionen. Se figuren till höger.
 
# Börja med att markera '''en punkt (x,y)''' på grafen i första kvadranten.
# Skriv ett uttryck för avståndet '''från (x, y) till linjen'''.
# Skriv ett uttryck för avståndet '''från (x, y) fokus'''.
# Det gäller för en parabel att avståndet från (x, y) till fokus är samma som avståndet från (x, y) till linjen. Visa detta genom att sätta de två '''uttrycken lika'''.
# '''Lös ut y''' ur ekvationen ovan. Det gör du genom att kvadrera båda sidorna så att roten går bort. Du behöver utveckla kvadraterna med hjälp av kvadreringsregeln.
 
Nu är du klar. Ekvationen du fick beskriver parabeln.
 
== Andragradsfunktionens graf ==
 
{{:andragradsfunktionens graf}}
 
== Testa dina kunskaper om andragradsfunktioner ==
 
{{uppgruta|Gör denna diagnos på ekvationssystem
 
[[Media:Veckodiagnos_19.pdf| Veckodiagnos 19 om andragradsfunktioner ]]
 
[[Media:Veckodiagnos_21.pdf| Veckodiagnos 21 om andragradsfunktioners egenskaper ]]
}}


== Digitala rutan ==
== Digitala rutan ==
Rad 155: Rad 31:
Gör den i GeoGebra.
Gör den i GeoGebra.


== Kvadratiska modeller ==
== [[Kvadratiska modeller]] ==
[[File:Square root.svg|thumb|Square root]]
 
Så här ser andragradsfunktionen ut på allmän form:
 
y(x) = ax<sup>2</sup> + bx + c
 
c anger var grafen skär y-axeln. a gör bland annat parabeln smalare eller bredare. bx-termen ger en diagonal förflyttning av hela kurvan (något förenklat uttryckt).
 
=== Exempel 1 ===
[[File:ParabolicWaterTrajectory.jpg|thumb|ParabolicWaterTrajectory]]
 
Exempel 1 handlar om att man har  en måttsatt bild och ska anpassa den allmänna funktionen y(x) = ax<sup>2</sup> + bx + c till dessa mått.
 
Här är det smart att placera origo symmetriskt i bilden och att kika på ställena där grafen skär x-axeln och där den skär y-axeln.
 
==== Övning 1 - Skapa parabelns funktion utifrån en bild med mått ====
Anpassa den allmänna funktionen till vattenstrålen i bilden. Strålen når 2 m långt och är 1.5 m hög.
 
==== Övning 2 - Skapa parabelns funktion utifrån vertex och nollställen ====
 
Detta är en '''viktig uppgift'''. Se även Exempel 1 på sid 161 i Matematik 2C.
 
Andragradsfunktionen kan skrivas y = ax2+bx+c  på allmänn form:
 
Grafen går genom punkterna (-16, 0) och har vertex i  (0,-14).
 
# Vilket är det andra nollstället?                 
# Rita grafen.                         
# Bestäm b.                         
# Bestäm c.                         
# Bestäm a.                           
# Skriv ett uttryck för funktionen.                 
{{clear}}
 
=== Exempel 2 ===
 
Exempel 2 (s 162) i boken handlar om att titta på nollställena för en funktion för att hitta vertex mitt emellan nollställena och sätta in x-värdet och räkna ut y-värdet (högsta punkten i detta fall).
 
=== Parabelns egenskaper i GeoGebra 2 ===
 
I Malins övning skriv kurvan på annan form (x-k)<sup>2</sup>, osv. Nyttigt men vi hinner inte göra den på lektionstid. Gör den gärna hemma!
 
Digitala rutan samt detta avsnitt sid 160-164 ersätts av en [http://www.malinc.se/math/functions/vertexformsv.php Övning i Geogebra på Vertex och faktorform av Malin C].
 
'''Överkurs:''' [http://www.malinc.se/math/functions/otherconicssv.php Andra kägelsnitt] Av Malin C. Pröva själv att konsttruera med hjälp av mittpunktsnormaler.
{{clear}}
 
=== Överbliven provupgift (svår) ===
[[File:Parabolic trajectory.svg|thumb|Parabolic trajectory]]
 
Bilden visar en kastparabel.
 
Tänk dig att kastbanans högsta punkt är 35 m.
 
Längden på kastet är 110 m.
 
Utgå från formen för andragradsfunktionen
<math>y(x) = a\cdot x^2 + b \cdot x + c </math>
 
Gör en matematisk modell av kastbanan.
 
[[Tips: Parabelns bana]]
 
{{print|[http://wikiskola.se/images/Kastparabel.png Uppgift kastparabel]}}
{{clear}}


== Kortdiagnos 4 ==
== Kortdiagnos 4 ==

Nuvarande version från 14 november 2016 kl. 12.37

Funktion och graf

Celler de Sant Cugat lateral

s 146

Teori funktionen f(x)

Vad står f(x) för? Funktionen f med variabeln x.

Lösa ekvationer med grafer

Definitionsmängd = x-värdena

Värdemängd = y-värdena

Andragradsfunktioner

Parabelns ekvation

Fyra sätt att beskriva andragradaren

Andragradsfunktionens graf

Testa dina kunskaper om andragradsfunktioner

Digitala rutan

Sidan 159.

Gör den i GeoGebra.

Kvadratiska modeller

Kortdiagnos 4

Du kan printa denna! Kortdiagnos4


Utmaning

Klarar du denna övning?