Deriveringsregler för exponentialfunktioner

Från Wikiskola
Hoppa till navigering Hoppa till sök
Ma3C: Integraler , sidan 189-192


Teori

Naturliga logaritmen

Mål för undervisningen

Denna lektion kommer du att lära dig om naturliga logaritmer.

Definitionen av den naturliga logaritmen.
Logaritmlagarna gäller även för naturliga logaritmer.


Om vi har talet 3 och vill skriva om det som en potens med basen 10 gör vi på följande sätt:

[math]\displaystyle{ 3 = 10^{lg3} }[/math]

På samma sätt kan vi skriva om ett tal som en potens med basen e, där logaritmen för talet e betecknas som ln och kallas den naturliga logaritmen. För att skriva om talet 3 som en potens med basen e gör vi på följande sätt:

[math]\displaystyle{ 3 = e^{ln3} }[/math]

Om vi har ett tal a som vi vill skriva om till basen e så gör vi på följande sätt:

[math]\displaystyle{ a = e^^{lna} }[/math]

Källa: Matteboken.se

Definition
Naturliga logaritmer



Derivatan av 2x

Ma3C: Integraler , sidan 193-195
Mål för undervisningen

Denna lektion kommer du att lära dig hur man deriverar exempelvis [math]\displaystyle{ y = 2^x }[/math].


Vi skriver om 2 till [math]\displaystyle{ e^{ln 2} }[/math] för att få det på basen e och kunna använda potenslagarna och deriveringsreglerna som vi har med oss sedan tidigare.

[math]\displaystyle{ y = 2^x = (e^{ln 2})^x =e^{ln 2 \cdot x} }[/math]

Nu är det en funktion på formen [math]\displaystyle{ e^{k x} }[/math] och vi kan derivera (med [math]\displaystyle{ k = ln 2 }[/math]) som vanligt.

[math]\displaystyle{ y' = ln 2 \cdot e^{ln 2 \cdot x} = ln 2 \cdot (e^{ln 2} )^x = ln 2 \cdot 2^x }[/math]

Definition
Derivatan av [math]\displaystyle{ y = a^x }[/math]


a är ett positivt tal.
Om [math]\displaystyle{ f(x) = a^x }[/math] så är [math]\displaystyle{ f'(x) = ln \, a \cdot a^x }[/math] (a > 0)


Exempel

Härledning med derivatans definition

Vid derivering av funktionen [math]\displaystyle{ a^x }[/math] där [math]\displaystyle{ a }[/math] är en konstant:

[math]\displaystyle{ a }[/math] kan skrivas som [math]\displaystyle{ e^{\ln a} }[/math] (se naturliga logaritmen]]) vilket innebär att [math]\displaystyle{ a^x }[/math] även kan substitueras med [math]\displaystyle{ e^{\ln a x} }[/math].

[math]\displaystyle{ f(x)= e^{\ln a x} }[/math]

[math]\displaystyle{ f^\prime(x) =\lim_{h\to 0}\frac{e^{\ln a (x+h)}-e^{\ln a x}}{h} }[/math]

[math]\displaystyle{ f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{e^{\ln a h}\cdot(e^{\ln a x}-1)}{h} }[/math]

[math]\displaystyle{ f'(x)=\lim_{h\to 0}e^{\ln a x} \cdot\frac{e^{\ln a h}-1}{h} }[/math]

Om [math]\displaystyle{ \ln a }[/math] nu tillsätts med ett värde, exempelvis 6 blir derivatan :

[math]\displaystyle{ f(x)= e^{6x} }[/math]

[math]\displaystyle{ f'(x)=\lim_{h\to 0}e^{6x} \cdot\frac{e^{6h}-1}{h} }[/math]

[math]\displaystyle{ f'(x)=6\cdot e^{6x} }[/math]

Detta innebär att denna allmänna formel för exponentialfunktioner av typen [math]\displaystyle{ e^{kx} }[/math], där [math]\displaystyle{ k }[/math] är en konstant lyder:

[math]\displaystyle{ f(x)=e^{kx} }[/math]

[math]\displaystyle{ f'(x)=k \cdot e^{kx} }[/math]

Om [math]\displaystyle{ k }[/math] substitueras med [math]\displaystyle{ \ln a }[/math] blir derivatan av exponentialfunktionen [math]\displaystyle{ a^x }[/math] följande, om [math]\displaystyle{ a^x=e^{\ln a x} }[/math]:

[math]\displaystyle{ f(x)=a^x }[/math]

[math]\displaystyle{ f'(x)=\ln a \cdot a^x }[/math]

Uppgifter

Lär mer

Repetera gärna Logaritmer från Ma2c.