Deriveringsregler för exponentialfunktioner: Skillnad mellan sidversioner

Från Wikiskola
Hoppa till navigering Hoppa till sök
Rad 35: Rad 35:
Nu ser vi att vår funktion har formen <math>f(x)=e^{kx} </math>, vilket vi i tidigare avsnitt har sett derivatan för. Vi får enligt deriveringsregeln för <math>f(x) = e^{kx} </math>:
Nu ser vi att vår funktion har formen <math>f(x)=e^{kx} </math>, vilket vi i tidigare avsnitt har sett derivatan för. Vi får enligt deriveringsregeln för <math>f(x) = e^{kx} </math>:


: <math> f′(x)=lna⋅e^{x~lna} </math>
: <math> f′(x)=lna⋅e^x~lna} </math>


På samma sätt som vi skrev om talet som en potens med basen e kan vi backa och skriva tillbaka talet i sin ursprungliga form:
På samma sätt som vi skrev om talet som en potens med basen e kan vi backa och skriva tillbaka talet i sin ursprungliga form:


: <math> f′(x) = ln \cdot e^{x~lna} = lna \cdot e^{lna^{x}} = lna \cdot a^x </math>
: <math> f′(x) = ln~a \cdot e^{x~lna} = lna \cdot e^{lna^{x}} = lna \cdot a^x </math>


Vi kan sammanfatta detta och får då deriveringsregeln:
Vi kan sammanfatta detta och får då deriveringsregeln:
Rad 45: Rad 45:
''Texten ovan (båda styckena) kommer från Matteboken.se''
''Texten ovan (båda styckena) kommer från Matteboken.se''


{{defruta | '''Derivatan av <math> f(x) = a^x </math> är <math> f'(x) = ln~a~a^x </math> '''
{{defruta | '''Om derivatan av <math> f(x) = a^x </math> är <math> f'(x) = ln~a \cdot a^x </math> '''
}}
}}



Versionen från 24 oktober 2018 kl. 22.25

Ma3C: Integraler , sidan 189-192


Teori

Naturliga logaritmen

Mål för undervisningen

Denna lektion kommer du att lära dig om naturliga logaritmer.

Definitionen av den naturliga logaritmen.
Logaritmlagarna gäller även för naturliga logaritmer.


Naturliga logaritmer bygger på basen e

Om vi har talet 3 och vill skriva om det som en potens med basen 10 gör vi på följande sätt:

[math]\displaystyle{ 3 = 10^{lg3} }[/math]

På samma sätt kan vi skriva om ett tal som en potens med basen e, där logaritmen för talet e betecknas som ln och kallas den naturliga logaritmen. För att skriva om talet 3 som en potens med basen e gör vi på följande sätt:

[math]\displaystyle{ 3 = e^{ln3} }[/math]

Om vi har ett tal a som vi vill skriva om till basen e så gör vi på följande sätt:

[math]\displaystyle{ a = e^{lna} }[/math]

Derivatan av f(x) = ax

För att kunna derivera en allmän exponentialfunktion behöver vi först skriva om funktionen som en potens med basen e, vilket vi lärde oss i förra avsnittet när vi gick igenom den naturliga logaritmen. Då kan vi nämligen använda oss av deriveringsregeln för [math]\displaystyle{ f(x) = e^{kx} }[/math].

Vi skriver om exponentialfunktionen på följande sätt:

[math]\displaystyle{ f(x) = a^x = e^{lna^{x}} = e^{x~lna} }[/math]

Nu ser vi att vår funktion har formen [math]\displaystyle{ f(x)=e^{kx} }[/math], vilket vi i tidigare avsnitt har sett derivatan för. Vi får enligt deriveringsregeln för [math]\displaystyle{ f(x) = e^{kx} }[/math]:

[math]\displaystyle{ f′(x)=lna⋅e^x~lna} }[/math]

På samma sätt som vi skrev om talet som en potens med basen e kan vi backa och skriva tillbaka talet i sin ursprungliga form:

[math]\displaystyle{ f′(x) = ln~a \cdot e^{x~lna} = lna \cdot e^{lna^{x}} = lna \cdot a^x }[/math]

Vi kan sammanfatta detta och får då deriveringsregeln:

Texten ovan (båda styckena) kommer från Matteboken.se

Definition
Om derivatan av [math]\displaystyle{ f(x) = a^x }[/math] är [math]\displaystyle{ f'(x) = ln~a \cdot a^x }[/math]


Derivatan av 2x

Ma3C: Integraler , sidan 193-195
Mål för undervisningen

Denna lektion kommer du att lära dig hur man deriverar exempelvis [math]\displaystyle{ y = 2^x }[/math].


Vi skriver om 2 till [math]\displaystyle{ e^{ln 2} }[/math] för att få det på basen e och kunna använda potenslagarna och deriveringsreglerna som vi har med oss sedan tidigare.

[math]\displaystyle{ y = 2^x = (e^{ln 2})^x =e^{ln 2 \cdot x} }[/math]

Nu är det en funktion på formen [math]\displaystyle{ e^{k x} }[/math] och vi kan derivera (med [math]\displaystyle{ k = ln 2 }[/math]) som vanligt.

[math]\displaystyle{ y' = ln 2 \cdot e^{ln 2 \cdot x} = ln 2 \cdot (e^{ln 2} )^x = ln 2 \cdot 2^x }[/math]

Definition
Derivatan av [math]\displaystyle{ y = a^x }[/math]


a är ett positivt tal.
Om [math]\displaystyle{ f(x) = a^x }[/math] så är [math]\displaystyle{ f'(x) = ln \, a \cdot a^x }[/math] (a > 0)


Exempel

Härledning med derivatans definition

Vid derivering av funktionen [math]\displaystyle{ a^x }[/math] där [math]\displaystyle{ a }[/math] är en konstant:

[math]\displaystyle{ a }[/math] kan skrivas som [math]\displaystyle{ e^{\ln a} }[/math] (se naturliga logaritmen]]) vilket innebär att [math]\displaystyle{ a^x }[/math] även kan substitueras med [math]\displaystyle{ e^{\ln a x} }[/math].

[math]\displaystyle{ f(x)= e^{\ln a x} }[/math]

[math]\displaystyle{ f^\prime(x) =\lim_{h\to 0}\frac{e^{\ln a (x+h)}-e^{\ln a x}}{h} }[/math]

[math]\displaystyle{ f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{e^{\ln a h}\cdot(e^{\ln a x}-1)}{h} }[/math]

[math]\displaystyle{ f'(x)=\lim_{h\to 0}e^{\ln a x} \cdot\frac{e^{\ln a h}-1}{h} }[/math]

Om [math]\displaystyle{ \ln a }[/math] nu tillsätts med ett värde, exempelvis 6 blir derivatan :

[math]\displaystyle{ f(x)= e^{6x} }[/math]

[math]\displaystyle{ f'(x)=\lim_{h\to 0}e^{6x} \cdot\frac{e^{6h}-1}{h} }[/math]

[math]\displaystyle{ f'(x)=6\cdot e^{6x} }[/math]

Detta innebär att denna allmänna formel för exponentialfunktioner av typen [math]\displaystyle{ e^{kx} }[/math], där [math]\displaystyle{ k }[/math] är en konstant lyder:

[math]\displaystyle{ f(x)=e^{kx} }[/math]

[math]\displaystyle{ f'(x)=k \cdot e^{kx} }[/math]

Om [math]\displaystyle{ k }[/math] substitueras med [math]\displaystyle{ \ln a }[/math] blir derivatan av exponentialfunktionen [math]\displaystyle{ a^x }[/math] följande, om [math]\displaystyle{ a^x=e^{\ln a x} }[/math]:

[math]\displaystyle{ f(x)=a^x }[/math]

[math]\displaystyle{ f'(x)=\ln a \cdot a^x }[/math]

Uppgifter

Lär mer

Repetera gärna Logaritmer från Ma2c.