Derivator: Skillnad mellan sidversioner

Från Wikiskola
Hoppa till navigering Hoppa till sök
Ingen redigeringssammanfattning
 
(48 mellanliggande sidversioner av 2 användare visas inte)
Rad 1: Rad 1:
== Uppläggget ==
__NOTOC__
{{Embed}}
== [[Problemlösning med derivatan]] ==


Du ska få lära dig derivator ett effektivt sätt:
Detta är en sammanfattning som introduktion till avsnittet om derivator. Den innehåller ett fysikproblem med en måsjägare.
# Först en frågeställning
# Sedan ser vi hur derivatan hjälper oss lösa problemet
# Därefter lär vi oss derivera
# Slutligen kommer derivatans definition


Alltså inte begreppen först och tillämpningen sen utan frågeställningen som leder till behov av verktyg. '''Sätt igång!'''
'''3.2 Derivator'''


{{uppgruta|[[Fil:Weihrauch hw77.jpg|miniatyr|Luftgevär]]
== [[Använda derivatans definition]] ==
Luftgevär används främst för sportskytte, i viss utsträckning även för skyddsjakt på skadedjur som råttor och vissa fågelarter. För att få användas för jakt i Sverige måste kalibern vara minst 5,5 mm och utgångshastigheten minst 180 m/s.
{{wp}}
 
En jägare vill skjuta mot en skrattmås som befinner sig 35 meter upp i luften.
 
'''Fråga 1.''' Vilken hastighet har kulan då den når den höjden?
 
'''''Tips 1:''''' Kulans läge kan beskrivas med fuinktionen:
: <math> y = v_ot + \frac{gt^2}{2}</math>   
 
: där g är tyngdaccelerationen
 
'''''Tips 2.''''' Derivera funktionen. Derivatan av läget <math>y(t)</math> är nämligen hastigheten vid tiden <math>t</math>. Alltså: <math>y'(t)= </math> hastigheten.
 
'''Fråga 2.''' Hur högt kan kulan nå?
 
'''Fråga 3.''' Rita graferna för  <math>y(t)</math> och <math>y'(t) </math> i GeoGebra. (använd x i stället för t)
 
'''Fråga 4.''' Surfa lite och föreslå en modifierad funktion som tar hänsyn till luftmotståndet.
}}
 
== Deriveringsregler ==
 
Varför inte börja med de enkla deriveringsreglerna. Det är enkelt och gör att vi snabbt kan göra något nyttigt.
 
=== Deriveringsregler: ===
 
:Derivatan av funktionen <math>f(x) = x\,</math> är funktionen <math>f^\prime(x) = 1</math>.
:Derivatan av funktionen <math>f(x) = x^2,</math> är funktionen <math>f^\prime(x) = 2x</math>.
:Det kan generaliseras till att funktionen <math>f(x) = x^n</math> har derivatan <math>(f^\prime(x) = n \cdot x^{n-1}</math>.
:Derivatan av <math>e^{kx}\</math> är <math>ke^{kx}</math>.
:Derivatan av <math>a^x\,</math> är <math>a^x \ln(a)</math>
:Derivatan av <math>\ln(x) \ </math> är <math>\frac{1}{x}\</math>
 
{{uppgruta|Derivera följande funktioner:
# <math>f(x) = 5x^2 + 3x +7</math>
# <math>f(x) = \ln(x) + 2x^7 </math>}}
 
=== Additionsregeln ===
 
Derivatan av en summa av två funktioner som båda är deriverbara:
:<math>(f + g)^\prime = f^\prime + g^\prime.</math>
 
=== Produktregeln ===
 
Produkten av två deriverbara funktioner är deriverbar, och derivatan ges av följande formel.
:<math>(f \cdot g)^\prime = f^\prime \cdot g + g ^\prime \cdot f.</math>


=== Kvotregeln ===
== [[Deriveringsregler för polynom]] ==
 
Derivatan av kvoten <math>\frac{f}{g}</math> ges av följande funktion:
:<math>\frac{f^\prime \cdot g - g^\prime \cdot f}{g^2}</math>
<br>
{{lm3c|1|21}}


=== Derivata av sammansatt funktion (kedjeregeln) ===
== Tillämpningar på derivata ==
En '''sammansatt funktion''' ''f''(''g''(''x'')) är en funktion ''f(x)'' som har en annan funktion ''g(x)'' som sitt argument, istället för en variabel som ''x''. Detta kan även skrivas <math>(f \circ g)(x)</math> för att förtydliga att ''g'' inte är en variabel utan själv är en funktion av variabeln ''x''. Derivatan av en sammansatt funktion går under namnet '''kedjeregeln''':
:<math>(f(g))^\prime = f^\prime(g)\cdot g^\prime.</math>


<br>
'''3.3 Derivator och grafer'''
{{lnkruta|Dessa och fler deriveringsregler hittar du på [http://sv.wikipedia.org/wiki/Derivata#De_element.C3.A4ra_funktionernas_derivator wikipedia]}}


=== En widget som deriverar ===
== [[Rita kurvor med hjälp av derivatan]] ==


{| width="100%" cellpadding="4"
== [[Största och minsta värde]] ==
|- valign="TOP"
| width="40%" |
Här är en widget som deriverar åt dig. Pröva den gärna.
<br>
<br>
{{tnkruta|Försök fundera ut vad en andraderivata är}}


|{{#widget:WolframAlpha|id=c44e503833b64e9f27197a484f4257c0}}
== [[Derivatans graf]] ==
|}


== Introduktion till derivatan ==
== [[Andraderivatan]] ==


{{#ev:youtube|_L0P47R3agc|250|right|Introduktion till derivatan}}
== [[Maximi- och minimiproblem]] ==


Vi har jobbat med ett konkret exempel om ett luftgevär. Vi har lärt oss derviera funktioner.
'''3.4 Merom derivator'''


Nu är det dags att förklara vad derivatan är:
== [[Lite Algebra]] ==
* lutningen i en punkt
* sätt att beskriva hur grafen för en funktion förändras
* sätt att hitta extrempunkter
* Derivatan av <math>f(x)</math> skrivs <math>f'(x)</math>
* Derivatan av <math>y(x)</math> skrivs <math>y'(x)</math>


{{clear}}
== [[Derivatan av potensfunktioner]] ==


== Derivatan lika med noll ==
== [[Diskontinuerliga funktioner]] ==


{{#ev:youtube|dhqdVGk_bNw|250|right|Extrempunkter}}
== [[Diskreta funktioner]] ==


Fiffigt sätt att hitta extrempunkter:
== [[Inflexionspunkt och derivata]] ==


# derivera funktionen
== Tillämpningar (ej i Liber) ==
# sätt derivatan lika med noll
# lösningens x-värde ger max- eller minpunkten
 
{{exruta|För att finna det största värdet som antages av funktionen definierad av <math>f(x) = x^3 - 2 x^2 + x - 3</math> för <math>0\leq x\leq 2 </math> beräknar vi derivatan och bestämmer dess nollställen.
 
:<math>f'(x) = 3 x^2 - 4 x + 1 = 0 \Leftrightarrow x \in \{1/3, 1\}</math>
 
Eftersom andraderivatan är
 
:<math>f''(x) = 6 x - 4\,</math>
 
så är
 
:<math>f''(1/3) = -2 < 0\,</math> och <math>f''(1) = 2 > 0\,</math>.
 
Värdena i randpunkterna är <math>f(0) = -3</math> respektive <math>f(2) = -1</math>.
 
Följaktligen har funktionen ''f'' en lokal maximipunkt för <math>x = 1/3</math> och en lokal minimipunkt för <math>x = 1</math>. Respektive extremvärden är <math>f(1/3) = -77/27</math> och <math>f(1) = -3</math>. Det minsta respektive största värde som antas i intervallet är alltså -3 (ändpunkt och lokal minimipunkt) och -1 (ändpunkt).}}
 
== Lutning och tangent ==
 
{| 
| valign="top" |Tänk dig en fix punkt på en kurva och en rörlig punkt med koordinaterna . Linjen genom de två punkterna har lutningen:
: <math>k = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(x) - f(3)}{x-3}</math>
 
Låt sedan <math>x</math> minska så att <math>x</math> närmar sig 3. Då kommer linjen att tangera kurvan i punkten <math>(x,f(x))</math>. Den linjen kallas för tangent.
 
{{lm3c|2|19}}
|
<ggb_applet width="300" height="208"  version="4.0"
ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />
|}
 
== Derivatan är lutningen i en punkt ==
 
{{#ev:youtube|8of_svLfcjk|250|right|Derivatans definition}}
 
Om du ska räkna ut lutningen i en punkt får du problem. <math>k = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{0}{0}</math> och det går ju inte. Här behövs formell matematik.
 
Nu utgår vi från en punkt <math>(x,f(x))</math> och så kallar vid punktensom närmar sig för <math>(x+h,f(x+h))</math>. När <math>h</math> krymper kommer den andra punkten att närma sig den första. Man säger att h går mot noll och det skrivs
:<math> \lim_{h \to 0}</math>
Detta kan sammanfattas på matematisk form och kallas derivata.
 
{{defruta|
Derivatan av funktionen <math>f</math> i punkten <math>x_0</math>'' definieras som gränsvärdet
: <math>f'(x_0)= \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h}</math>
}}
{{lm3c|1|4}}
 
== Geometrisk tolkning ==
 
[[Fil:Derivata.svg|miniatyr|260 px|Derivatan är tangentens lutning i ''(x, f(x))'']]
Om en funktion ''f'' åskådliggörs av en graf ''y'' = ''f''(''x'') så anger derivatan av ''f'' grafens lutning (förändring av ''y'' per förändring av ''x'') för varje värde ''x''. Derivatan i en punkt är således lika med riktningskoefficienten för kurvans tangent i den valda punkten (''x'', ''f''(''x'')).
<br>
{{khanruta|
* [http://www.khanacademy.org/exercise/derivative_intuition Jättebra intuitiv förståelse av hur derivatans graf ser ut]
* [http://www.khanacademy.org/exercise/derivatives_1 Öva derviering 1 på Khan]}}
{{clear}}
 
== Tillämpningar ==


Derivator kommer till användning på många områden inom naturvetenskap, ekonomi, mm. Här kommer ett exempel från fysiken.
Derivator kommer till användning på många områden inom naturvetenskap, ekonomi, mm. Här kommer ett exempel från fysiken.
Rad 213: Rad 84:
# [http://matmin.kevius.com/derivata.php Bruno Kevius om derivatan]
# [http://matmin.kevius.com/derivata.php Bruno Kevius om derivatan]
# [http://www.matteboken.se/lektioner/matte-c Matteboken Matte C] har innehåll om derivator
# [http://www.matteboken.se/lektioner/matte-c Matteboken Matte C] har innehåll om derivator
# [http://www.matteboken.se/lektioner/matte-d Matteboken Matte D]}}
# [http://www.matteboken.se/lektioner/matte-d Matteboken Matte D]
# [http://webspace.ship.edu/msrenault/GeoGebraCalculus/GeoGebraCalculusApplets.html GGB-övningar i mängder. A-nivå]
}}

Nuvarande version från 12 februari 2021 kl. 12.43

Embed:

<a href="https://wikiskola.se/index.php/Derivator">Click to open the embedded page at Wikiskola.se</a><iframe src="https://wikiskola.se/index.php/Derivator" style="width:1200px;height:800px;border:0px;" frameborder="0" scrolling="yes"></iframe>


Problemlösning med derivatan

Detta är en sammanfattning som introduktion till avsnittet om derivator. Den innehåller ett fysikproblem med en måsjägare.

3.2 Derivator

Använda derivatans definition

Deriveringsregler för polynom

Tillämpningar på derivata

3.3 Derivator och grafer

Rita kurvor med hjälp av derivatan

Största och minsta värde

Derivatans graf

Andraderivatan

Maximi- och minimiproblem

3.4 Merom derivator

Lite Algebra

Derivatan av potensfunktioner

Diskontinuerliga funktioner

Diskreta funktioner

Inflexionspunkt och derivata

Tillämpningar (ej i Liber)

Derivator kommer till användning på många områden inom naturvetenskap, ekonomi, mm. Här kommer ett exempel från fysiken.

Exempel
Tryck

Antag att [math]\displaystyle{ p(h) }[/math] betyder lufttrycket (i pascal) vid höjden [math]\displaystyle{ h }[/math] (i meter) över havsnivån. Då kommer derivatan [math]\displaystyle{ p'(h) }[/math] att ange hur mycket trycket ökar per meter i höjdled. Derivatan får alltså den fysikaliska enheten pascal per meter. Eftersom trycket i själva verket avtar med höjden, kommer alltså derivatan att bli negativ.

Texten i ovanstående avsnitt kommer från Wikipedia.se


Derivataquiz

1 Derivatan av 2x3 är:

x2
3x2
6x2
x3/3

2 Derivatan beskriver hur något förändras.

Sannt.
Falskt.

3 Derivatan anger hur krokig en kurva är.

Sannt.
Falskt.

4  

Den svarta kurvan illustrerar en godtyckligt vald funktion.
Vad kallas den röda linjen?

5 Förändringen mellan två punkter ges av att [math]\displaystyle{ {\Delta y = 200} }[/math] och [math]\displaystyle{ {\Delta x = 3} }[/math]. Vad blir lutningen?