Andraderivatan

Ma3C: Andraderivatan , sidan 156 - 158

Sid 156-158 - Andra derivatan och bestämning av max- och minpunkter

Mål för undervisningen Idag ska du lära dig att:

bestämma vilken typ av extrempunkt det är med hjälp av andraderivatan

Kluring För vilket värde på x har

$f (x) = x (x - 2) (x + 1)$

sin maximipunkt?

Definition

Om förstaderivatan är noll i en punkt och andraderivatan

är negativ är det ett lokalt maximum

är positiv är det ett lokalt minimum

Om andraderivatan är noll så vet vi inte utan behöver göra teckenstudium.

Exempel

För att finna det största värdet som antages av funktionen definierad av

f (x) = x^{3} - 2 x^{2} + x - 3

för

0 \leq x \leq 2

beräknar vi derivatan och bestämmer dess nollställen.

f^{'} (x) = 3 x^{2} - 4 x + 1 = 0 \Leftrightarrow x \in {1 / 3, 1}

Eftersom andraderivatan är

f^{″} (x) = 6 x - 4

så är

f^{″} (1 / 3) = - 2 < 0

och

f^{″} (1) = 2 > 0

.

Värdena i randpunkterna är $f (0) = - 3$ respektive $f (2) = - 1$ .

Följaktligen har funktionen f en lokal maximipunkt för $x = 1 / 3$ och en lokal minimipunkt för $x = 1$ . Respektive extremvärden är $f (1 / 3) = - 77 / 27$ och $f (1) = - 3$ . Det minsta respektive största värde som antas i intervallet är alltså -3 (ändpunkt och lokal minimipunkt) och -1 (ändpunkt).

Flippa = Gör detta till nästa lektion!

Lös uppgifterna på detta avsnitt till nästa gång. Förbered dig genom att läsa på Maximi- och minimiproblem

Andraderivatan

Navigeringsmeny

Sök