Derivator: Skillnad mellan sidversioner

Från Wikiskola
Hoppa till navigering Hoppa till sök
Ingen redigeringssammanfattning
 
(116 mellanliggande sidversioner av 2 användare visas inte)
Rad 1: Rad 1:
== Deriveringsregler ==
__NOTOC__
{{Embed}}
== [[Problemlösning med derivatan]] ==


Varför inte börja med de enkla deriveringsreglerna. Det är enkelt och gör att vi snabbt kan göra något nyttigt.
Detta är en sammanfattning som introduktion till avsnittet om derivator. Den innehåller ett fysikproblem med en måsjägare.


=== Deriveringsregler: ===
'''3.2 Derivator'''


:Derivatan av funktionen <math>f(x) = x\,</math> är funktionen <math>f^\prime(x) = 1</math>.
== [[Använda derivatans definition]] ==
:Derivatan av funktionen <math>f(x) = x^2,</math> är funktionen <math>f^\prime(x) = 2x</math>.
:Det kan generaliseras till att funktionen <math>f(x) = x^n</math> har derivatan <math>(f^\prime(x) = n \cdot x^{n-1}</math>.
:Derivatan av <math>e^{kx}\</math> är <math>ke^{kx}</math>.
:Derivatan av <math>a^x\,</math> är <math>a^x \ln(a)</math>
:Derivatan av <math>\ln(x) \ </math> är <math>\frac{1}{x}\</math>


=== Additionsregeln ===
== [[Deriveringsregler för polynom]] ==


Derivatan av en summa av två funktioner som båda är deriverbara:
== Tillämpningar på derivata ==
:<math>(f + g)^\prime = f^\prime + g^\prime.</math>


=== Produktregeln ===
'''3.3 Derivator och grafer'''


Produkten av två deriverbara funktioner är deriverbar, och derivatan ges av följande formel.
== [[Rita kurvor med hjälp av derivatan]] ==
:<math>(f \cdot g)^\prime = f^\prime \cdot g + g ^\prime \cdot f.</math>


=== Kvotregeln ===
== [[Största och minsta värde]] ==


Derivatan av kvoten <math>\frac{f}{g}</math> ges av följande funktion:
== [[Derivatans graf]] ==
:<math>\frac{f^\prime \cdot g - g^\prime \cdot f}{g^2}</math>


''Dessa och fler deriveringsregler hittar du på [http://sv.wikipedia.org/wiki/Derivata#De_element.C3.A4ra_funktionernas_derivator wikipedia]''
== [[Andraderivatan]] ==


Här är en widget som deriverar åt dig. Pröva gärna.
== [[Maximi- och minimiproblem]] ==


{{#widget:WolframAlpha|id=c44e503833b64e9f27197a484f4257c0}}
'''3.4 Merom derivator'''


== Derivatan lika med noll ==
== [[Lite Algebra]] ==


Fiffigt sätt att hitta extrempunkter:
== [[Derivatan av potensfunktioner]] ==


# derivera funktionen
== [[Diskontinuerliga funktioner]] ==
# sätt derivatan lika med noll
# lösningens x-värde ger max- eller minpunkten


== Introduktion till derivatan ==
== [[Diskreta funktioner]] ==


{{#ev:youtube|_L0P47R3agc|250|right|Introduktion till derivatan}}
== [[Inflexionspunkt och derivata]] ==


'''Fler filmer:'''
== Tillämpningar (ej i Liber) ==
* [http://www.youtube.com/watch?v=dhqdVGk_bNw Extrempunkter]
* [http://www.youtube.com/watch?v=8of_svLfcjk&feature=related Derivatans definition]
{{clear}}
 
== Lutning och tangent ==
 
{| 
| valign="top" |Tänk dig en fix punkt på en kurva och en rörlig punkt med koordinaterna . Linjen genom de två punkterna har lutningen:
: <math>k = \frac{f(x) - f(3)}{x-3}</math>
 
Låt sedan <math>x</math> minska så att <math>x</math> närmar sig 3. Då kommer linjen att tangera kurvan i punkten <math>(x,f(x))</math>. Den linjen kallas för tangent.
|
<ggb_applet width="300" height="208"  version="4.0"
ggbBase64="UEsDBBQACAAIAHm94UAAAAAAAAAAAAAAAAAWAAAAZ2VvZ2VicmFfamF2YXNjcmlwdC5qc0srzUsuyczPU0hPT/LP88zLLNHQVKiuBQBQSwcI1je9uRkAAAAXAAAAUEsDBBQACAAIAHm94UAAAAAAAAAAAAAAAAAMAAAAZ2VvZ2VicmEueG1szVjrb9s2EP/c/hUHfWq32Cb1slw4LZoBxQqk7YB0w7APA2iJttnoNZHyo+gfvztSsuWkMfrCsCQ2SfHe/N0dlfmLXZHDRjZaVeWlx8fMA1mmVabK1aXXmuUo8V48fzxfyWolF42AZdUUwlx6IVGqDCdZ7KdsloxCyfxRGOBXkrLlaCZDIRfSn/ki8QB2Wj0rq7eikLoWqbxJ17IQ11UqjFW8NqZ+Nplst9txr2pcNavJarUY73TmAZpZ6kuvmzxDcSdM28CS+4zxyZ9vrp34kSq1EWUqPSAXWvX88aP5VpVZtYWtysz60gsYGreWarVGn4KIezAhohoDUsvUqI3UyDpYWp9NUXuWTJS0/8jNID+440GmNiqTzaXHxnE0Y4Nf1FE1Spamo+11Tnpp842SWyeWZi7KHpiqyheCJMKnT+Azn8EFDdwNPg5x7LaYe8YCN/huCN0QOZrQsYeONHQ0oaMJAw82SqtFLi+9pcg1RlCVywZP77DWZp9La0/34Og9v0CftPqIxDyaeeBCjgvGLugT4ydkzPk9cJIPtJqm/UqlvcqAJH+pSv+7HA16nT4L7uv0owfcjM8odX5/iZ88GviJquyf/dzTGJxz865Gt/4+hXH4n7g4n/SpMu+yA/SaaDv0GFloypdgBtGMYM8hwtyIp4jyCPgMh6kPmA3AIwgjXPIEYhqnEExxI4QAEiA6HoBNjijBr3BqhcUQoTB6OsWcBI6KQogC4DanQsBMApuXmKN+gBRRBBEykXruk4gghjDGVZBAiDZSSk45EgbIiGtU70PAISBmPgU/hpjk8ZBSPU7IdBTpQ8wg5iQQsxoz2mUz0icQkDdxFy5V1q05CVFaZP3UVPXhLJAa69Gx6rn6dFIUH81zsZA59okbOkmAjcgpI6yiZVUa6A8xds9WjajXKtU30hjk0vBBbMS1MHL3Cql1r9vSplWpf2sq80uVt0WpAdIqZwebq5wP5v7BalwEg41wuBENNuLBfPpZvRXuQKsl6q8a3ZOLLHtNFMfSgJF8V+b7q0aK27pSp27MJ7blzGWb5ipTovwDwUpaKC5w7EDs2IF4wnpDqia72WtEMOz+kk116Y386Xg2/Imxde3dns/90z3MP50Kyr5wdocLmR7YSpxuuTkckdjJo7erhlJ7sHitr6r8+MgG4BdRm7axtwcsiQ259bJc5dKCxKY2tub0dlHtbhw6Aifr/b7GVef9YmUDD1gc/ChCAqqw6NKCSkIHMTLtQMUsDbMUrIebyu5JIe4TKYhfZ1rnKu/d5KxXo7QtaczrEqcvV4R+6vRtqcx1vzAqvT26Sgxv22IhDxg6lcl/lMz55A7I5reyKWXeYRoPs61a7VJ0APdMpqrApdvwO+vouH5HA9zTTK4a2Rue25uZC5jdPYHrvcdW1KumKl6Xm/eIhTsGzCe9lXOdNqomzMEC+8CtPKIqU1pgG8mGfJSE6HpK7QLDYyg0mJ6tWVeNvXxhVcHRUhaFKDMobed51ZaWxzsWQ8HoisbhJ9j9/cR/Cj8DxlhwG2qBpSVynlSt6amXzvROMuV3Lgu8zoGxEF72OvrTXFptdGxQLT5g/Ty02G7/eB64/wCkQeT1WpCpXWhzsZfNSbCtuDdVdnoER4AbLL63eMPU7jbZ5Zud/KqyTNrG67DkHCLXdnWDHBTmztqX+H6ww0bxJLiA5ZPg6dNelM1+1zlOA9JtHPjPR+OYJQ8Fw1aCbw2HBaqGHVYneoHZ0ysP3lA/ulcfd/cne6k4OcZo+PQOwk9CdeJ02RayUenBrbV1Gznbjp+PA8ad6O8JxhAZ/Gwo3i2XWhryHBuJ9XzE/c+GqjcrpxcYKFRp48ywIkIhdmQ6Nh6x0NibDb7IYXUojy9yzv6ut+EtmKJMPEkX7iimyVLt5OHigUmrPmKREicefxa4/jngUr3BcmaLAjbO2sUE8M4iXa09sNYYI9uiBqXoHOivDqDH+rC2wKfJV4P/6v8C/tCij87DHyfhLIlp9QOS4LTcXuMR3im1L11xvbpXVcX5qkpoOIRJfFtFtc3/R9TUYxxHbDzrw7fvkpoNfnwbVTYOptM4YX5/0ZpGZzAence4/Kd0LNpdCVRR5ypV5u5RTIZN0l5Gu/+rPP8XUEsHCGX5/xc8BgAA9BEAAFBLAQIUABQACAAIAHm94UDWN725GQAAABcAAAAWAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAABnZW9nZWJyYV9qYXZhc2NyaXB0LmpzUEsBAhQAFAAIAAgAeb3hQGX5/xc8BgAA9BEAAAwAAAAAAAAAAAAAAAAAXQAAAGdlb2dlYnJhLnhtbFBLBQYAAAAAAgACAH4AAADTBgAAAAA=" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />
|}
 
== En mer allmänn form för lutningen i en punkt ==
 
Nu utgår vi från en punkt <math>(x,f(x))</math> och så kallar vid punktensom närmar sig för <math>(x+h,f(x+h))</math>. När <math>h</math> krymper kommer den andra punkten att närma sig den första. Man säger att h går mot noll och det skrivs
:<math> \lim_{h \to 0}</math>
Detta kan sammanfattas på matematisk form och kallas derivata.
 
{{defruta|
Derivatan av funktionen <math>f</math> i punkten <math>x_0</math>'' definieras som gränsvärdet
: <math>f'(x_0)= \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h}</math>
}}
 
== Deriveringsregler ==
 
Derivatan av en funktion...
 
{{exruta|För att finna det största värdet som antages av funktionen definierad av <math>f(x) = x^3 - 2 x^2 + x - 3</math> för <math>0\leq x\leq 2 </math> beräknar vi derivatan och bestämmer dess nollställen.
 
:<math>f'(x) = 3 x^2 - 4 x + 1 = 0 \Leftrightarrow x \in \{1/3, 1\}</math>
 
Eftersom andraderivatan är
 
:<math>f''(x) = 6 x - 4\,</math>
 
så är
 
:<math>f''(1/3) = -2 < 0\,</math> och <math>f''(1) = 2 > 0\,</math>.
 
Värdena i randpunkterna är <math>f(0) = -3</math> respektive <math>f(2) = -1</math>.
 
Följaktligen har funktionen ''f'' en lokal maximipunkt för <math>x = 1/3</math> och en lokal minimipunkt för <math>x = 1</math>. Respektive extremvärden är <math>f(1/3) = -77/27</math> och <math>f(1) = -3</math>. Det minsta respektive största värde som antas i intervallet är alltså -3 (ändpunkt och lokal minimipunkt) och -1 (ändpunkt).}}
 
 
 
== Geometrisk tolkning ==
 
[[Fil:Derivata.svg|miniatyr|260 px|Derivatan är tangentens lutning i ''(x, f(x))'']]
Om en funktion ''f'' åskådliggörs av en graf ''y'' = ''f''(''x'') så anger derivatan av ''f'' grafens lutning (förändring av ''y'' per förändring av ''x'') för varje värde ''x''. Derivatan i en punkt är således lika med riktningskoefficienten för kurvans tangent i den valda punkten (''x'', ''f''(''x'')).
{{clear}}
 
== Tillämpningar ==


Derivator kommer till användning på många områden inom naturvetenskap, ekonomi, mm. Här kommer ett exempel från fysiken.
Derivator kommer till användning på många områden inom naturvetenskap, ekonomi, mm. Här kommer ett exempel från fysiken.
Rad 107: Rad 43:
{{exruta|'''Tryck'''
{{exruta|'''Tryck'''


Antag att p(h) betyder lufttrycket (i pascal) vid höjden h (i meter) över havsnivån. Då kommer derivatan p′(h) att ange hur mycket trycket ökar per meter i höjdled. Derivatan får alltså den fysikaliska enheten pascal per meter. Eftersom trycket i själva verket avtar med höjden, kommer alltså derivatan att bli negativ.
Antag att <math>p(h)</math> betyder lufttrycket (i pascal) vid höjden <math>h</math> (i meter) över havsnivån. Då kommer derivatan <math>p'(h)</math> att ange hur mycket trycket ökar per meter i höjdled. Derivatan får alltså den fysikaliska enheten pascal per meter. Eftersom trycket i själva verket avtar med höjden, kommer alltså derivatan att bli negativ.  
{{wp}}
}}
}}
== Khan-övningar ==
* [http://www.khanacademy.org/exercise/derivative_intuition Jättebra intuitiv förståelse av hur derivatans graf ser ut]
* [http://www.khanacademy.org/exercise/derivatives_1 Öva derviering 1 på Khan]


== Derivataquiz ==
== Derivataquiz ==
Rad 148: Rad 80:
</quiz>
</quiz>


== Widget ==
<br>
 
{{lnkruta|
{{#widget:WolframAlpha|id=3863698288630ffc1878729993ad7b6d}}
 
'''Länkar'''
 
# [http://matmin.kevius.com/derivata.php Bruno Kevius om derivatan]
# [http://matmin.kevius.com/derivata.php Bruno Kevius om derivatan]
# [http://www.matteboken.se/lektioner/matte-c Matteboken Matte C] har innehåll om derivator
# [http://www.matteboken.se/lektioner/matte-c Matteboken Matte C] har innehåll om derivator
# [http://www.matteboken.se/lektioner/matte-d Matteboken Matte D]
# [http://www.matteboken.se/lektioner/matte-d Matteboken Matte D]
# [http://webspace.ship.edu/msrenault/GeoGebraCalculus/GeoGebraCalculusApplets.html GGB-övningar i mängder. A-nivå]
}}

Nuvarande version från 12 februari 2021 kl. 12.43

Embed:

<a href="https://wikiskola.se/index.php/Derivator">Click to open the embedded page at Wikiskola.se</a><iframe src="https://wikiskola.se/index.php/Derivator" style="width:1200px;height:800px;border:0px;" frameborder="0" scrolling="yes"></iframe>


Problemlösning med derivatan

Detta är en sammanfattning som introduktion till avsnittet om derivator. Den innehåller ett fysikproblem med en måsjägare.

3.2 Derivator

Använda derivatans definition

Deriveringsregler för polynom

Tillämpningar på derivata

3.3 Derivator och grafer

Rita kurvor med hjälp av derivatan

Största och minsta värde

Derivatans graf

Andraderivatan

Maximi- och minimiproblem

3.4 Merom derivator

Lite Algebra

Derivatan av potensfunktioner

Diskontinuerliga funktioner

Diskreta funktioner

Inflexionspunkt och derivata

Tillämpningar (ej i Liber)

Derivator kommer till användning på många områden inom naturvetenskap, ekonomi, mm. Här kommer ett exempel från fysiken.

Exempel
Tryck

Antag att [math]\displaystyle{ p(h) }[/math] betyder lufttrycket (i pascal) vid höjden [math]\displaystyle{ h }[/math] (i meter) över havsnivån. Då kommer derivatan [math]\displaystyle{ p'(h) }[/math] att ange hur mycket trycket ökar per meter i höjdled. Derivatan får alltså den fysikaliska enheten pascal per meter. Eftersom trycket i själva verket avtar med höjden, kommer alltså derivatan att bli negativ.

Texten i ovanstående avsnitt kommer från Wikipedia.se


Derivataquiz

1 Derivatan av 2x3 är:

x2
3x2
6x2
x3/3

2 Derivatan beskriver hur något förändras.

Sannt.
Falskt.

3 Derivatan anger hur krokig en kurva är.

Sannt.
Falskt.

4  

Den svarta kurvan illustrerar en godtyckligt vald funktion.
Vad kallas den röda linjen?

5 Förändringen mellan två punkter ges av att [math]\displaystyle{ {\Delta y = 200} }[/math] och [math]\displaystyle{ {\Delta x = 3} }[/math]. Vad blir lutningen?