Derivatan av logaritmfunktionen

Från Wikiskola
Version från den 4 oktober 2016 kl. 10.14 av Hakan (diskussion | bidrag)
Hoppa till navigering Hoppa till sök


Flippa = Se denna till nästa lektion!

Derivatan av logaritmfunktionen, av Mattias Danielsson. CC By (på Youtube) -->


Definition
Derivatan av ln x

Om [math]\displaystyle{ f(x) = \ln x }[/math] så är [math]\displaystyle{ f'(x)= \frac{1}{ x} }[/math]

Bevis


[math]\displaystyle{ y= \ln x }[/math]
är liktydigt med att
[math]\displaystyle{ e^y = x }[/math]


Derivera nu [math]\displaystyle{ e^y = x }[/math] på båda sidorna med avseende på x. I vänster led får vi en inre derivata och höger led blir = 1.
[math]\displaystyle{ y' \cdot e^y = 1 }[/math]


Stuva om i ekvationen så får vi:
[math]\displaystyle{ y' = \frac{1}{e^y} }[/math]


Men [math]\displaystyle{ e^y = x }[/math]
[math]\displaystyle{ y' = \frac{1}{x} }[/math]

V.S.B.
Definition
Derivatan av lg x

Om [math]\displaystyle{ f(x) = \lg x }[/math] så är [math]\displaystyle{ f'(x)= \frac{1}{ x ln x} }[/math]