Derivatan av logaritmfunktionen: Skillnad mellan sidversioner

Från Wikiskola
Hoppa till navigering Hoppa till sök
(Gör version 37356 av Hakan (diskussion) ogjord)
Rad 10: Rad 10:
: är liktydigt med att  
: är liktydigt med att  


: <math> \e^y = x</math>
: <math> e^y = x</math>
<br />
<br />
: Derivera nu  <math> \e^y = x</math> på båda sidorna med avseende på x.  I vänster led får vi en inre derivata och höger led blir = 1.
: Derivera nu  <math> e^y = x</math> på båda sidorna med avseende på x.  I vänster led får vi en inre derivata och höger led blir = 1.


: <math> y' \cdot \e^y = 1 </math>
: <math> y' \cdot e^y = 1 </math>
<br />
<br />
: Stuva om i ekvationen så får vi:
: Stuva om i ekvationen så får vi:
Rad 20: Rad 20:
: <math> y' = \frac{1}{e^y} </math>
: <math> y' = \frac{1}{e^y} </math>
<br />
<br />
: Men <math> \e^y = x </math> så
: Men <math> e^y = x </math> så


: <math> y' = \frac{1}{x} </math>
: <math> y' = \frac{1}{x} </math>
:<br />
:<br />
: V.S.B.
: V.S.B.

Versionen från 4 oktober 2016 kl. 10.10


Flippa = Se denna till nästa lektion!

Derivatan av logaritmfunktionen, av Mattias Danielsson. CC By (på Youtube) -->


Bevis


[math]\displaystyle{ y= \ln x }[/math]
är liktydigt med att
[math]\displaystyle{ e^y = x }[/math]


Derivera nu [math]\displaystyle{ e^y = x }[/math] på båda sidorna med avseende på x. I vänster led får vi en inre derivata och höger led blir = 1.
[math]\displaystyle{ y' \cdot e^y = 1 }[/math]


Stuva om i ekvationen så får vi:
[math]\displaystyle{ y' = \frac{1}{e^y} }[/math]


Men [math]\displaystyle{ e^y = x }[/math]
[math]\displaystyle{ y' = \frac{1}{x} }[/math]

V.S.B.