Derivatan av logaritmfunktionen: Skillnad mellan sidversioner
Hoppa till navigering
Hoppa till sök
Hakan (diskussion | bidrag) (→Bevis) |
Hakan (diskussion | bidrag) (→Bevis) |
||
| Rad 7: | Rad 7: | ||
: <math>y= ln x </math> är liktydigt med att <math> e^y = x</math> | : <math>y= ln x </math> är liktydigt med att <math> e^y = x</math> | ||
<br /> | |||
: Derivera nu <math> e^y = x</math> på båda sidorna med avseende på x. I vänster led får vi en inre derivata och höger led blir = 1. | : Derivera nu <math> e^y = x</math> på båda sidorna med avseende på x. I vänster led får vi en inre derivata och höger led blir = 1. | ||
<br /> | |||
: <math> y' \cdot e^y = 1 </math> | : <math> y' \cdot e^y = 1 </math> | ||
<br /> | |||
: Stuva om i ekvationen så får vi: | : Stuva om i ekvationen så får vi: | ||
<br /> | |||
: <math> y' = \frac{1}{e^y} </math> | : <math> y' = \frac{1}{e^y} </math> | ||
<br /> | |||
: Men <math> e^y = x </math> så | : Men <math> e^y = x </math> så | ||
<br /> | |||
: <math> y' = \frac{1}{x} </math> | : <math> y' = \frac{1}{x} </math> | ||
: | :<br /> | ||
: V.S.B. | : V.S.B. | ||
Versionen från 24 november 2014 kl. 22.49
Bevis
- [math]\displaystyle{ y= ln x }[/math] är liktydigt med att [math]\displaystyle{ e^y = x }[/math]
- Derivera nu [math]\displaystyle{ e^y = x }[/math] på båda sidorna med avseende på x. I vänster led får vi en inre derivata och höger led blir = 1.
- [math]\displaystyle{ y' \cdot e^y = 1 }[/math]
- Stuva om i ekvationen så får vi:
- [math]\displaystyle{ y' = \frac{1}{e^y} }[/math]
- Men [math]\displaystyle{ e^y = x }[/math] så
- [math]\displaystyle{ y' = \frac{1}{x} }[/math]
- V.S.B.