Derivatan av en produkt: Skillnad mellan sidversioner
Hoppa till navigering
Hoppa till sök
Hakan (diskussion | bidrag) |
Hakan (diskussion | bidrag) |
||
| Rad 6: | Rad 6: | ||
<math> | <math> | ||
y' = \lim_{h\rightarrow0}\frac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)}{h} = \\ | y' = \lim_{h\rightarrow0}\frac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)}{h} = \\ </math> | ||
<math> | |||
= \lim_{h\rightarrow0}\frac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)-f(x)g(x+h)+f(x)g(x+h)}{h}= \\ = | = \lim_{h\rightarrow0}\frac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)-f(x)g(x+h)+f(x)g(x+h)}{h}= \\ = | ||
\lim_{h\rightarrow0}\frac{(f(x+h)-f(x))\cdot g(x+h)+(g(x+h)-g(x))\cdot f(x)}{h} = \\ | \lim_{h\rightarrow0}\frac{(f(x+h)-f(x))\cdot g(x+h)+(g(x+h)-g(x))\cdot f(x)}{h} = \\ | ||
Versionen från 1 december 2014 kl. 12.02
Bevis av produktregeln
[math]\displaystyle{ y' = \lim_{h\rightarrow0}\frac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)}{h} = \\ }[/math] [math]\displaystyle{ = \lim_{h\rightarrow0}\frac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)-f(x)g(x+h)+f(x)g(x+h)}{h}= \\ = \lim_{h\rightarrow0}\frac{(f(x+h)-f(x))\cdot g(x+h)+(g(x+h)-g(x))\cdot f(x)}{h} = \\ = \lim_{h\rightarrow0}(\underbrace {\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}_{\rightarrow f'(x)}\cdot \underbrace{g(x+h)}_{\rightarrow g(x)}+\underbrace{\frac{g(x+h)-g(x)}{h}}_{\rightarrow g'(x)}\cdot f(x)) = \\ = f'(x)\cdot g(x)+g'(x)\cdot f(x) }[/math]
Frågor