Derivatan av en produkt

Bevis av produktregeln

$y=f(x)\cdot g(x)$

$$\begin{gathered} y^{\prime }=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)}{h}= \\ =\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)-f(x)g(x+h)+f(x)g(x+h)}{h}= \\ =\underset{h\to 0}{lim}\frac{(f(x+h)-f(x))\cdot g(x+h)+(g(x+h)-g(x))\cdot f(x)}{h}= \\ =\underset{h\to 0}{lim}(\underset{\to f^{\prime }(x)}{\underbrace{\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}}\cdot \underset{\to g(x)}{\underbrace{g(x+h)}}+\underset{\to g^{\prime }(x)}{\underbrace{\frac{g(x+h)-g(x)}{h}}}\cdot f(x))= \\ =f^{\prime }(x)\cdot g(x)+g^{\prime }(x)\cdot f(x) \end{gathered}$$

Frågor

Visa

Lista: (klicka expandera till höger)