Derivatan av en produkt: Skillnad mellan sidversioner
Hoppa till navigering
Hoppa till sök
Hakan (diskussion | bidrag) Ingen redigeringssammanfattning |
Hakan (diskussion | bidrag) |
||
| Rad 2: | Rad 2: | ||
== Bevis av produktregeln == | == Bevis av produktregeln == | ||
: | |||
: | |||
<math> | <math> | ||
y'=\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)}{h}=\\=\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)-f(x)g(x+h)+f(x)g(x+h)}{h}=\\=\lim_{h\rightarrow0}\frac{(f(x+h)-f(x))\cdot g(x+h)+(g(x+h)-g(x))\cdot f(x)}{h}=\\=\lim_{h\rightarrow0}(\underbrace {\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}_{\rightarrow f'(x)}\cdot \underbrace{g(x+h)}_{\rightarrow g(x)}+\underbrace{\frac{g(x+h)-g(x)}{h}}_{\rightarrow g'(x)}\cdot f(x))=\\=f'(x)\cdot g(x)+g'(x)\cdot f(x) | y'=\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)}{h}=\\=\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)-f(x)g(x+h)+f(x)g(x+h)}{h}=\\=\lim_{h\rightarrow0}\frac{(f(x+h)-f(x))\cdot g(x+h)+(g(x+h)-g(x))\cdot f(x)}{h}=\\=\lim_{h\rightarrow0}(\underbrace {\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}_{\rightarrow f'(x)}\cdot \underbrace{g(x+h)}_{\rightarrow g(x)}+\underbrace{\frac{g(x+h)-g(x)}{h}}_{\rightarrow g'(x)}\cdot f(x))=\\=f'(x)\cdot g(x)+g'(x)\cdot f(x) | ||
Versionen från 24 november 2014 kl. 22.14
Bevis av produktregeln
[math]\displaystyle{ y'=\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)}{h}=\\=\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)-f(x)g(x+h)+f(x)g(x+h)}{h}=\\=\lim_{h\rightarrow0}\frac{(f(x+h)-f(x))\cdot g(x+h)+(g(x+h)-g(x))\cdot f(x)}{h}=\\=\lim_{h\rightarrow0}(\underbrace {\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}_{\rightarrow f'(x)}\cdot \underbrace{g(x+h)}_{\rightarrow g(x)}+\underbrace{\frac{g(x+h)-g(x)}{h}}_{\rightarrow g'(x)}\cdot f(x))=\\=f'(x)\cdot g(x)+g'(x)\cdot f(x) }[/math]
Frågor