Derivatan av en kvot: Skillnad mellan sidversioner

Från Wikiskola
Hoppa till navigering Hoppa till sök
Ingen redigeringssammanfattning
Rad 2: Rad 2:


== Bevis ==
== Bevis ==
Vi ska derivera kvoten av två funktioner:
<math>
y = \frac{f(x)}{g(x)} </math>


Börja med att beräkna derivatan av funktionen ''1/g''. Derivatan av en sammansatt funktion, och vetskapen att derivatan av 1/''x'' är -1/''x''<sup>2</sup>, ger att  
Börja med att beräkna derivatan av funktionen ''1/g''. Derivatan av en sammansatt funktion, och vetskapen att derivatan av 1/''x'' är -1/''x''<sup>2</sup>, ger att  

Versionen från 7 december 2014 kl. 12.12

Flippa = Se denna till nästa lektion!

Kvotregeln av Mattias Danielsson. CC-licens.


Bevis

Vi ska derivera kvoten av två funktioner:

[math]\displaystyle{ y = \frac{f(x)}{g(x)} }[/math]

Börja med att beräkna derivatan av funktionen 1/g. Derivatan av en sammansatt funktion, och vetskapen att derivatan av 1/x är -1/x2, ger att

[math]\displaystyle{ \left( \frac{1}{g}\right)^\prime =-\frac{g^\prime}{g^2} }[/math]

Därmed kan produktregeln användas för att räkna ut derivatan av f(x)/g(x):

[math]\displaystyle{ \left(\frac{f}{g}\right)^\prime =\left(f \cdot \frac{1}{g}\right)^\prime = f^\prime \cdot \frac{1}{g} + \left(\frac{1}{g}\right)^\prime \cdot f =\frac{f^\prime g}{g^2}-\frac{f\cdot g^\prime}{g^2}=\frac{f^\prime \cdot g - g^\prime \cdot f}{g^2} }[/math]

Wikipedia skriver om derivata

Frågor