Derivatan av en kvot: Skillnad mellan sidversioner

Från Wikiskola
Hoppa till navigering Hoppa till sök
(Skapade sidan med '{{flipped2 | w34pX7xvgWQ |Kvotregeln av Mattias Danielsson. CC-licens. }}')
 
 
(7 mellanliggande sidversioner av samma användare visas inte)
Rad 1: Rad 1:
[[Category:Matematik]] [[Category:Ma4]]  [[Category:Samband och förändring]]  [[Category:Derivator]]
{{flipped2 | w34pX7xvgWQ |Kvotregeln av Mattias Danielsson. CC-licens. }}
{{flipped2 | w34pX7xvgWQ |Kvotregeln av Mattias Danielsson. CC-licens. }}
== Bevis ==
Vi ska derivera kvoten av två funktioner:
<math>
y = \frac{f(x)}{g(x)} </math>
Börja med att beräkna derivatan av funktionen ''1/g''. Derivatan av en sammansatt funktion, och vetskapen att derivatan av 1/''x'' är -1/''x''<sup>2</sup>, ger att
:<math>\left( \frac{1}{g}\right)^\prime =-\frac{g^\prime}{g^2}</math>
Därmed kan produktregeln användas för att räkna ut derivatan av ''f''(''x'')/''g''(''x''):
:<math>\left(\frac{f}{g}\right)^\prime =\left(f \cdot \frac{1}{g}\right)^\prime = f^\prime \cdot \frac{1}{g} + \left(\frac{1}{g}\right)^\prime \cdot f =\frac{f^\prime g}{g^2}-\frac{f\cdot g^\prime}{g^2}=\frac{f^\prime \cdot g - g^\prime \cdot f}{g^2}</math>
{{svwp|derivata}}
== Frågor ==
{{Lista |
<html>
<iframe src="https://docs.google.com/forms/d/19UUpVFqYkhBRgkbBL2HR_nEjS68T3PswAnw5FAZ7Uz0/viewform?embedded=true" width="760" height="500" frameborder="0" marginheight="0" marginwidth="0">Loading...</iframe>
</html>
}}

Nuvarande version från 4 oktober 2016 kl. 13.46


Flippa = Se denna till nästa lektion!

Kvotregeln av Mattias Danielsson. CC-licens.


Bevis

Vi ska derivera kvoten av två funktioner:

[math]\displaystyle{ y = \frac{f(x)}{g(x)} }[/math]

Börja med att beräkna derivatan av funktionen 1/g. Derivatan av en sammansatt funktion, och vetskapen att derivatan av 1/x är -1/x2, ger att

[math]\displaystyle{ \left( \frac{1}{g}\right)^\prime =-\frac{g^\prime}{g^2} }[/math]

Därmed kan produktregeln användas för att räkna ut derivatan av f(x)/g(x):

[math]\displaystyle{ \left(\frac{f}{g}\right)^\prime =\left(f \cdot \frac{1}{g}\right)^\prime = f^\prime \cdot \frac{1}{g} + \left(\frac{1}{g}\right)^\prime \cdot f =\frac{f^\prime g}{g^2}-\frac{f\cdot g^\prime}{g^2}=\frac{f^\prime \cdot g - g^\prime \cdot f}{g^2} }[/math]

Wikipedia skriver om derivata

Frågor

Lista: (klicka expandera till höger)