Andraderivatan: Skillnad mellan sidversioner

Från Wikiskola
Hoppa till navigering Hoppa till sök
Ingen redigeringssammanfattning
Ingen redigeringssammanfattning
 
(11 mellanliggande sidversioner av samma användare visas inte)
Rad 1: Rad 1:
{{lm3c| Andraderivatan | 156 - 158}}
{{lm3c| Andraderivatan | 156 - 158}}
{{#ev:youtube| 6xziqPSIs | 340 | right |Sid 156-158 - Andra derivatan och bestämning av max- och minpunkter}}
{{#ev:youtube| 6xziqPSIs-k | 340 | right |Sid 156-158 - Andra derivatan och bestämning av max- och minpunkter}}
{{malruta | Idag ska du lära dig att:
* bestämma vilken typ av extrempunkt det är med hjälp av andraderivatan
}}
 
{{kluring |
För vilket värde på x har
 
<math> f(x) = x (x - 2) (x + 1) </math>
 
sin maximipunkt?
}}
{{clear}}
{{defruta | Om förstaderivatan är noll i en punkt och '''andraderivatan'''
: är '''negativ''' är det ett lokalt '''maximum'''
: är '''positiv'''  är det ett lokalt '''minimum'''
Om andraderivatan är noll så vet vi inte utan behöver göra teckenstudium.
}}
 
{{exruta|För att finna det största värdet som antages av funktionen definierad av <math> f(x) = x^3 - 2 x^2 + x - 3 </math> för <math> 0\leq x\leq 2 </math> beräknar vi derivatan och bestämmer dess nollställen.
 
:<math>f'(x) = 3 x^2 - 4 x + 1 = 0 \Leftrightarrow x \in \{1/3, 1\}</math>
 
Eftersom andraderivatan är
 
:<math>f''(x) = 6 x - 4\,</math>
 
så är
 
:<math>f''(1/3) = -2 < 0\,</math> och <math>f''(1) = 2 > 0\,</math>.
 
Värdena i randpunkterna är <math>f(0) = -3</math> respektive <math>f(2) = -1</math>.
 
Följaktligen har funktionen ''f'' en lokal maximipunkt för <math>x = 1/3</math> och en lokal minimipunkt för <math>x = 1</math>. Respektive extremvärden är <math>f(1/3) = -77/27</math> och <math>f(1) = -3</math>. Det minsta respektive största värde som antas i intervallet är alltså -3 (ändpunkt och lokal minimipunkt) och -1 (ändpunkt).}}
 
<html>
<iframe scrolling="no" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/2681275/width/672/height/503/border/888888/rc/false/ai/false/sdz/true/smb/false/stb/false/stbh/true/ld/false/sri/true/at/auto" width="672px" height="503px" style="border:0px;"> </iframe>
</html>
 
{{flipped | Lös uppgifterna på detta avsnitt till nästa gång. Förbered dig genom att läsa på  [[Maximi- och minimiproblem]]}}

Nuvarande version från 18 februari 2016 kl. 09.29

Ma3C: Andraderivatan , sidan 156 - 158
Sid 156-158 - Andra derivatan och bestämning av max- och minpunkter
Mål för undervisningen Idag ska du lära dig att:
  • bestämma vilken typ av extrempunkt det är med hjälp av andraderivatan


Kluring För vilket värde på x har

[math]\displaystyle{ f(x) = x (x - 2) (x + 1) }[/math]

sin maximipunkt?

Definition
Om förstaderivatan är noll i en punkt och andraderivatan
är negativ är det ett lokalt maximum
är positiv är det ett lokalt minimum

Om andraderivatan är noll så vet vi inte utan behöver göra teckenstudium.


Exempel
För att finna det största värdet som antages av funktionen definierad av [math]\displaystyle{ f(x) = x^3 - 2 x^2 + x - 3 }[/math] för [math]\displaystyle{ 0\leq x\leq 2 }[/math] beräknar vi derivatan och bestämmer dess nollställen.
[math]\displaystyle{ f'(x) = 3 x^2 - 4 x + 1 = 0 \Leftrightarrow x \in \{1/3, 1\} }[/math]

Eftersom andraderivatan är

[math]\displaystyle{ f''(x) = 6 x - 4\, }[/math]

så är

[math]\displaystyle{ f''(1/3) = -2 \lt 0\, }[/math] och [math]\displaystyle{ f''(1) = 2 \gt 0\, }[/math].

Värdena i randpunkterna är [math]\displaystyle{ f(0) = -3 }[/math] respektive [math]\displaystyle{ f(2) = -1 }[/math].

Följaktligen har funktionen f en lokal maximipunkt för [math]\displaystyle{ x = 1/3 }[/math] och en lokal minimipunkt för [math]\displaystyle{ x = 1 }[/math]. Respektive extremvärden är [math]\displaystyle{ f(1/3) = -77/27 }[/math] och [math]\displaystyle{ f(1) = -3 }[/math]. Det minsta respektive största värde som antas i intervallet är alltså -3 (ändpunkt och lokal minimipunkt) och -1 (ändpunkt).


Flippa = Gör detta till nästa lektion!

Lös uppgifterna på detta avsnitt till nästa gång. Förbered dig genom att läsa på Maximi- och minimiproblem