Algebra 2C

Från Wikiskola
Hoppa till navigering Hoppa till sök

Intro Algebra Ma2C

Förenkling av uttryck

Ekvationer Ma2C

Kvadrerings- och konjugatregler

Flipped lesson: arbeta igenom innehållet till nästa lektion innan lektionen. Det vinner du på!

Parentesmultiplikation

Kvadreringsregeln Ma2C

En första läxa

Det är viktigt att vi kommer igång med att lära oss Geogebra.

Första naturliga ingången är egentligen räta linjen där det blir en tydlig koppling mellan funktion och utseende.

GGB-uppgift 1

Ladda ner programmet.

Skriv in en valfri räta linjens funktion.

Ändra färg och tjocklek på grafen.

Ändra så att grafens egenskap syns.

Mejla filen till din lärare.

Konjugatregeln Ma2C

Ekvationer med x2-term

Flipped lesson: arbeta igenom innehållet till nästa lektion innan lektionen. Det vinner du på!
Ma2C: Ekvationer, sidan 25-29

Lektion 4

Repetition

Gör Khan-uppgiften från förra avsnittet om du inte redan gjort det.

Intro

Detta avsnitt handlar om ingenting kan man säga. Det handlar nämligen om ekvationer med x2-termer som försvinner vid förenklingen.

Räkna uppgifterna: 1245-1258

Läxa! Gör dessa uppgifter i GeoGebra

  • Uppgift 1251: Här gör du skissen i GeoGebra.
  • Uppgift 1257: Läs om en Ellips på Wikipedia.
    • Pröva att göra en ellips i GeoGebra. Ledining skriv in ekvationen (x/a)^2+(y/b)^2=1. Välj själv värden på a och b.
    • Sök på Ellipse på GeoGebraTube.org. Inte ett facit till ellipsen.
    • Titta på en ellips i Wolfram


En laborativ datorövning på pascals triangel

Aktivitet

Ta ett papper och en penna och utför följande:

  1. Utveckla [math]\displaystyle{ (x+y)^2 }[/math]
  2. Utför nu [math]\displaystyle{ (x+y)(x+y)^2 }[/math]
  3. Summera de termer som är lika.
  4. Nästa steg blir förstås [math]\displaystyle{ (x+y)(x+y)^3 }[/math]
  5. Studera polynomen ovan genom att skriva dem under varandra. Vad ser du för mönster gällande antalet termer och gradtalen för termerna
  6. Läs på om Pascals triangel och skriv polynomet för [math]\displaystyle{ (x+y)^4 }[/math] och [math]\displaystyle{ (x+y)^5 }[/math]
  7. Skriv en förklaring med egna ord hur Pascals triangel hänger ihop med koefficienterna till polynomen av [math]\displaystyle{ (x+y)^n }[/math]
  8. Hur ser polynomet för [math]\displaystyle{ (x+y)^{11} }[/math] ut?
  9. Hur ser polynomen för [math]\displaystyle{ (x-y)^2 }[/math], [math]\displaystyle{ (x-y)^3 }[/math], ... ut?

Lär mer

Wikipedia Pascals triangel


En triangel som är förvånansvärt mångsidig - NCM
Okända skrymslen i Pascals triangel - NCM



Andragradsekvationer

Enkla andragradsekvationer

Flipped lesson: arbeta igenom innehållet till nästa lektion innan lektionen. Det vinner du på!
Ma2C: pq-formeln, sidan 30-32 och 35-38

Lektion 5


Av Daniel Barker.

Den här behöver man fundera på en stund. Quadratic equations in early Baghdad

Även nu har vi att göra med andragradsekvationer som är enkla fall av den fullständiga ekvationen.

Antingen förkortas x-termerna bort så att man får kvadrattermer kvar att ta roten ur

eller

så har man ett kvadraten på ett binom (ett parentesuttryck upphöjt till två) som man tar roten ur.

I båda fallen blir det en positiv och en negativ rot som svar (eller cdel av svaret men det blir inga imaginära tal eller komplexa rötter i detta avsnitt.

Fullständiga andragradsekvationer

pq-formeln - Förklaring

Mål för undervisningen Du ska lära dig pq-formeln. Det är mycket viktigt.


En generell beskrivning av en andragradsekvation ser ut så här:

[math]\displaystyle{ x^2 + px + q = 0 }[/math]

där p och q är tal (siffror) i den speciella ekvationen.

Den allmänna ekvationen har lösningen:

[math]\displaystyle{ x=-p/2 \pm \sqrt{(p/2)^2-q} }[/math]

Om du vill lösa en ekvation behöver du bara ta reda på vad p och q motsvaras av i din ekvation och sedan sätter du in dessa siffror i formeln ovan.

Tänk på att det inte ska stå någor framför [math]\displaystyle{ x^2 }[/math]-termen

Flipp: Se två filmer med Michael Bondestam:



Räkna själv

Lösning: 1339 har jag gjort i ggb och den finns på hårddisken.

Mario om nytan med andragradsekvationer:


Kvadratkomplettering

Flipped lesson: arbeta igenom innehållet till nästa lektion innan lektionen. Det vinner du på!
Ma2C: Kvadratkomplettering, sidan 33-34

Lektion 6


Man kan börja med kvadratkomplettering som en inledande förklaring till pq-formeln men det är lika bra att ge sig på pq-formeln direkt. Sedan kan man gå tillbaks till kvadratkompletteringen för att få ett bevis för att pq-formeln fungerar.


Uppgift:

Öva på Khan: Solving Quadratics by facoring

Lös dessa Khan, relativt enkla andragradsekvationer. De kan lösas genom att gissa eller faktorisera.

Möjligen kan det vara svårt att veta hur de menar att man ska göra på vissa uppgifter. Ta reda på rötterna och faktorisera så går et bra.


Diagnos 2 med pq-formeln

Du kan printa denna! Snabbdiagnos 2


Andragradsekvationer och rötter

Flipped lesson: arbeta igenom innehållet till nästa lektion innan lektionen. Det vinner du på!
Ma2C: Diverse, sidan 39-44

Lektion 7


Exempel
Lös ekvationen:
[math]\displaystyle{ x^2-8x+16=0 }[/math]

Vad händer?

Pröva nu ekvationen:

[math]\displaystyle{ x^2-8x+17=0 }[/math]

här har vi en ekvation som saknar reella lösningar.


CC By --hakan 3 februari 2012 kl. 17.50 (UTC)
CC By --hakan 3 februari 2012 kl. 17.50 (UTC)


Definition
En andragradsekvation kan ha 
två reella rötter eller
en dubbelrot eller
två komplexa rötter



Uppgift
Lös uppgifterna i denna gamla Diagnos 12
Genomgång av diagnosen: Facit till Diagnos 12


Komplexa tal

Teori

Definition
Komplexa tal


[math]\displaystyle{ \sqrt{-1} = i }[/math]
[math]\displaystyle{ i^2 = -1 }[/math]


Ett komplext tal består av en realdel [math]\displaystyle{ a }[/math] och en imaginärdel [math]\displaystyle{ b }[/math].

[math]\displaystyle{ z = a + bi }[/math]


Läs mer: Komplexa tal på wikipedia

Vad ska man ha komplexa tal till?

komplexa tal

Komplexa rötter

x2 = -16 har ingen reell rot men däremot två komplexa. Det beror på att lösningen är roten ut ett negativt tal. Roten ur -16 är +4i respektive -4i.

x2+3x+16=0 har också två komplexa rötter fast här beror varje rot av både en realdel och en imaginärdel.

Rotekvationer

Flipped lesson: arbeta igenom innehållet till nästa lektion innan lektionen. Det vinner du på!
Ma2C: Diverse, sidan 45-49

Lektion 8

Rotekvationen

Teori

Rotekvationer innehåller x-termer och roten ur x-termer. Man löser dem genom att kvadrera båda leden.

[math]\displaystyle{ \sqrt{x+2} = x }[/math]

Kvadrera båda sidorna:

[math]\displaystyle{ x+2 = x^2 }[/math]
[math]\displaystyle{ x^2 - x - 2 = 0 }[/math]
[math]\displaystyle{ x = \frac{1}{2} \pm \sqrt{\frac{1}{4} + 2} }[/math]
[math]\displaystyle{ x = \frac{1}{2} \pm \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{8}{4}} }[/math]
[math]\displaystyle{ x = \frac{1}{2} \pm \sqrt{\frac{9}{4}} }[/math]
[math]\displaystyle{ x = \frac{1}{2} \pm \frac{3}{2} }[/math]
[math]\displaystyle{ x_1 = - 1, x_2 = 2 }[/math]

Viktigt att kolla om man har falska rötter.

[math]\displaystyle{ -1 }[/math] är en falsk rot eftersom den inte gör att vänster led och höger led blir lika i ursprungsekvationen.

Svaret är alltså [math]\displaystyle{ x = 2 }[/math]

Problemlösning med ekvationer

Professionell matte

Har ni tänkt på att det är ett tag sedan vi gjorde matte som man har nytta av i vardagen? Kvadreingsregeln, konjugatregeln, kvadratkompletteringen och pq-formel hör inte till vardagsmatten. De hör till den professionella matten. Sådan matte som ingenjörer använder.

Vad ska man ha andragradsekvationer till?

De används i spel till exempel.

PhET




En idé kan vara att ta en screenshot på en projektilbana från PhET-simuleringen ovan och klistra in i GeoGebra. Sedan sätter man tre eller fler punkter på kurvan och anpassar till en andragradsekvation. Det visar om inte annat bakvägen att fysiken innehåller andragradsfunktioner. Om man är osäker på hur man anpassar punkter till en funktion så har jag gjort det med mätvärdena från laborationen på tyngdacceleration.

Ekvationslösning med faktorisering

Flipped lesson: arbeta igenom innehållet till nästa lektion innan lektionen. Det vinner du på!
Ma2C: Faktorisering, sidan 50-56

Lektion 9-10


Diagnosen blir läxa att göra om hemma och denna gång ska den ha alla rätt. Det gäller alla. Facit kommer upp på tisdag så kan alla rätta själva.

På tisdag som är en lång lektion kommer vi att göra uppdelning i faktorer både med konjugatregeln och kvadreringsreglerna om det går.

Uppdelning i faktorer med konjugatregeln

Uppgift

Först ska vi repetera konjugatregeln med ett lösblad där det är rad snabba uppgifter. Dessa uppgifter bör klaras av på mindre än tre minuter.


Uppdelning i faktorer med kvadreringsreglerna

Uppgift

Här ska vi också repetera kvadreringsreglerna med ett lösblad.


Faktorisering och ekvationer

Onsdag

Repetera lösbladet från förra lektionen en gång till. I övrigt struntar vi i beting på faktorisering med kvadreringsregelerna.

Dagens beting: 1426-1430

Dataövning - konsekutiva tal

Flipped lesson: arbeta igenom innehållet till nästa lektion innan lektionen. Det vinner du på!
Ma2C: Konsekutiva tal, sidan 57
Fredriks lösning.
Fredriks lösning.

Del ett (n-1)(n+1)+1

Del två

Del tv är svårare. Det handlar om fyra konsekutiva tal. Addera ett till produkten av de fyra talen och ta roten ur. Detta ska bli ett heltal.

  • Wolfram|Alpha har en lösning men ingen förklaring.
  • Med hjälp av den ledtråden från Wolfram ser min lösning ut så här.
  • Tanja löser uppgiften genom att pröva.
  • Fredrik använder kvadratkomplettering och substitution för att lösa uppgiften. Lösningen syns i bilden till höger.
  • Charlie i NV11 löser det genom att hitta mönster i de tal han prövar med och ...

Prov onsdag vecka 6

Lektion 11-12


Uppgift
Diagnos 14


Repetition på fredag och måndag

Uppgift: Khan Academy

Öva på Khan:
  1. Khan om hur man multiplicerar binom ska du verkligen öva på.


Uppgifter

  • Läs sammanfattningen på sidan 54.
  • Gör Test 1 på sidan 55.

pappersövningar

  1. Öva ekvationer (= Extrablad ekvationer): finns bara på papper
  2. Faktorisering: finns bara på papper
  3. Öva enkla andragradsekvationer: finns bara på papper
Du kan printa denna!

Nöt in detta som du måste kunna!

  1. Öva konjugatregeln
  2. Öva kvadreringsreglerna
  3. Öva pq-formeln


Provet skall vara tisdag vecka 7 (ligger på SchoolSoft).

Facit och bedömning

Christers bedömningsmall från mellandagen bör finnas här. Lösningen är till Prov 1 ver 4 (2013)