Addition och subtraktion av vektorer

Teori

Exempel

Aktiviteter

GeoGebra Addition

GeoGebra 2

Uppgifter

Lär mer

[redigera]

Komposanter

Definition
Termerna i en vektoraddition kallas för komposanter och summan av komposanterna kallas resultant.

I en figur kan man åskådliggöra summan av två vektorer som diagonalen i det parallellogram som bildas av de två vektorerna (resultanten har markerats med en blå pil i figuren till höger):

Texten från matteboken.se

Addition av vektorer

Sats	Kommutativa lagen för vektorer Kommutativa lagen gäller för vektorer. Det spelar alltså ingen roll i vilken ordning de adderas det resulterar i samma vektor. [math]\displaystyle{ \mathbf{a} + \mathbf{b} = \mathbf{b} + \mathbf{a} }[/math]

Addition av vektorer med komposanterna utritade

Subtraktion av vektorer

Definition
Subtraktion av en vektor är ekvivalent med additionen av den motsatta vektorn. [math]\displaystyle{ \mathbf{a} -\mathbf{b} = \mathbf{a} + (-\mathbf{b}) }[/math]

Multiplikation av en skalär och en vektor

Definition
En skalärprodukt är en serie additioner. Exempelvis är [math]\displaystyle{ 3 \cdot \mathbf{a} = \mathbf{a} + \mathbf{a} + \mathbf{a} }[/math] Skalärprodukten går att generalisera till multiplikation av ett reellt tal med en vektor. [math]\displaystyle{ (-1) \cdot \mathbf{a} = -\mathbf{a} }[/math] En enhetsvektor är en vektor med längden 1.

I GeoGebra kan du multiplicera en glidare med en vektor.

Enhetsvektorer parallella med axlarna i ett koordinatsystem är användbara.

Vektorer och trigonometri

Definition
En vektor [math]\displaystyle{ \mathbf{u} }[/math] (från origo) i ett koordinatsystem och vinkel v mot x-axeln kan delas upp i komposanter på x-axeln och y-axeln. [math]\displaystyle{ \mathbf{u}_x = \mathbf{u} ~cos(v) }[/math] [math]\displaystyle{ \mathbf{u}_y = \mathbf{u} ~sin(v) }[/math]

Beräkningar med vektorer i koordinatform

En vektor [math]\displaystyle{ \mathbf{u} }[/math] kan skrivas med hjälp av komposanterna utefter koordinatsystemets axlar och även uttryckas med hjälp av enhetsvektorerna.

[math]\displaystyle{ \mathbf{ u} = \mathbf{ u_x} + \mathbf{u_y} = u_x\mathbf{ e}_x + u_y{\mathbf e}_y }[/math]

Addition

[math]\displaystyle{ \mathbf{u}~+~\mathbf{v} = (u_x, u_y) + (v_x, v_y) = (u_x + v_x, u_y + v_y) }[/math]

Subtraktion

[math]\displaystyle{ \mathbf{u}~ - ~\mathbf{v} = (u_x, u_y) - (v_x, v_y) = (u_x - v_x, u_y - v_y) }[/math]

Multiplikation med skalär

[math]\displaystyle{ n \cdot \mathbf{u}~ = n \cdot (u_x, u_y) = (n \cdot u_x, n \cdot u_y) }[/math]

[redigera]

Facit: (klicka expandera till höger)

Man kan lösa uppgiften på tre sätt:

1) Rita vektorerna i koordinatsystemet. Se på bilden till höger (den går att förstora).

2) Räkna fram vektorerna:

[math]\displaystyle{ \overline{u} = (1,3) }[/math] och [math]\displaystyle{ \overline{v} = (2,-1) }[/math]

Då är:

[math]\displaystyle{ 2 \overline{u} - 3 \overline{v}= 2 \cdot (1,3) - 3 \cdot (2,-1) = (2 \cdot 1 - 3 \cdot 2, 2 \cdot 3 - 3\cdot (-1) = (-4, 9) }[/math]

3) Det finns en GeoGebra med konstruktionen 2u - 3v. GeoGebra är oerhört kraftfullt. Du kan rita vektorerna eller skriva in deras koordinater. Sedan matar du in 2u - 3v. Klart!

[redigera]

Geogebraövning

GeoGebra med tillämpning i fysik

Här har vi fällt in en GGB som är lite för stor.

Lista: (klicka expandera till höger)

Du kan behöva trycka ctrl- för att se hela GGB:n.

Tillämpningar av vektorer (och trigonometri)

Kloss på lutande plan

Kaströrelse

[redigera]

[redigera]

https://www.geogebra.org/m/Cy8bxaKS

Hitta en GGB med avdrift för ett plan eller en båt

Länk till worksheet: https://www.geogebra.org/m/ty53wFpP

Ovanstående GGB är skapad av Håkan Elderstig fria att använda enligt Creative Commons. Den finns att laddas ner från GeoGebratube.

[redigera]

Uppgift 1

Rita ut och beräkna längden av vektorn [math]\displaystyle{ \mathbf{w} = 2 \mathbf{u} - 3 \mathbf{v} }[/math] om [math]\displaystyle{ \mathbf{u} = (4, 3) }[/math] och [math]\displaystyle{ \mathbf{v} }[/math] är vektorn som börjar i punkten [math]\displaystyle{ (3, 2) }[/math] och slutar i punkten [math]\displaystyle{ (4, 5) }[/math].

Uppgift 2

Bestäm enhetsvektorn för [math]\displaystyle{ \mathbf{w} = \mathbf{u} - 3 \mathbf{v} }[/math] om [math]\displaystyle{ \mathbf{u} = (-1, 4) }[/math] och [math]\displaystyle{ \mathbf{v} = (0, 2) }[/math].

Uppgift 3

Dela upp [math]\displaystyle{ \mathbf{w} = 5 \mathbf{u} - 2 \mathbf{v} }[/math] i dess x- och y-komposanter om [math]\displaystyle{ \mathbf{u} = (2, 5) }[/math] och [math]\displaystyle{ \mathbf{v} = (-4, 1) }[/math]

Uppgift 4

En båt åker för motor med kurs rakt norrut med farten 7 knop men en kraftig vind från väster ger en avdrift med hastigheten 2 knop. Vilken verklig kurs har båten?

Ett uppgiftsblad som repetition

Här finns uppgifter: Diagnos 7 finns här med repetition av trigonomatri samt nummer 7 och 8 om vektoorer.

[redigera]

GeoGebra - Addition av vektorer

En dynamisk GeoGebra med förklaringar och film.

Fördjupning

Osäkert om detta passar in här. kanske i en Sway.

TEDEd om Pixar och matematik Sub Division borde göra sig fint i GeoGebra. Testa.

Exit ticket

Exit ticket: operationer på vektorer