Addition och subtraktion av vektorer

Från Wikiskola
Hoppa till navigering Hoppa till sök
[redigera]
Target 10 points.svg
Mål för undervisningen Operationer på vektorer

Du lär dig addition, subtraktion och skalär multiplikatin med vektorer.


Komposanter

Definition

Termerna i en vektoraddition kallas för komposanter och summan av komposanterna kallas resultant.


I en figur kan man åskådliggöra summan av två vektorer som diagonalen i det parallellogram som bildas av de två vektorerna (resultanten har markerats med en blå pil i figuren till höger):

Texten från matteboken.se

Addition av vektorer

Digital resurs Wikipedia skriver om Vektorer på ett utmärkt sätt. Läs den!:

Sats


Kommutativa lagen för vektorer

Kommutativa lagen gäller för vektorer. Det spelar alltså ingen roll i vilken ordning de adderas det resulterar i samma vektor.

[math]\mathbf{a} + \mathbf{b} = \mathbf{b} + \mathbf{a} [/math]


Exempel addition av vektorer

En båt åker för motor med kurs rakt norrut med farten 7 knop men en kraftig vind från väster ger en avdrift med hastigheten 2 knop. Vilken verklig kurs har båten?

Subtraktion av vektorer

Definition
Subtraktion av en vektor är ekvivalent med additionen av den motsatta vektorn.
[math]\mathbf{a} -\mathbf{b} = \mathbf{a} + (-\mathbf{b}) [/math]


Multiplikation av en skalär och en vektor

Definition

En skalärprodukt är en serie additioner. Exempelvis är

[math]3 \cdot \mathbf{a} = \mathbf{a} + \mathbf{a} + \mathbf{a} [/math]

Skalärprodukten går att generalisera till multiplikation av ett reellt tal med en vektor.

[math](-1) \cdot \mathbf{a} = -\mathbf{a} [/math]

En enhetsvektor är en vektor med längden 1.


I GeoGebra kan du multiplicera en glidare med en vektor.

Enhetsvektorer parallella med axlarna i ett koordinatsystem är användbara.

Vektorer och trigonometri

Digital resurs Denna GeoGebra förklarar vektorer och trigonometri mm.:


Definition

En vektor [math]\mathbf{a} [/math] (från origo) i ett koordinatsystem och vinkel v mot x-axeln kan delas upp i komposanter på x-axeln och y-axeln.

[math]\mathbf{a}_x = \mathbf{a} cos(v) [/math]
[math]\mathbf{a}_y = \mathbf{a} sin(v) [/math]


20px-Tango style Wikipedia Icon.svg.png
Uppgift:
Vektor 2u-3v.JPG

Konstruera vektorn [math] 2 \overline{u} - 3 \overline{v} = [/math]

Klicka för att förstora bilden.








Facit: (klicka expandera till höger)

2u-3v skapad.JPG

Man kan lösa uppgiften på tre sätt:

1) Rita vektorerna i koordinatsystemet. Se på bilden till höger (den går att förstora).

2) Räkna fram vektorerna:

[math] \overline{u} = (1,3) [/math] och [math] \overline{v} = (2,-1) [/math]

Då är:

[math] 2 \overline{u} - 3 \overline{v}= 2 \cdot (1,3) - 3 \cdot (2,-1) = (2 \cdot 1 - 3 \cdot 2, 2 \cdot 3 - 3\cdot (-1) = (-4, 9)[/math]

3) Det finns en GeoGebra med konstruktionen 2u - 3v. GeoGebra är oerhört kraftfullt. Du kan rita vektorerna eller skriva in deras koordinater. Sedan matar du in 2u - 3v. Klart!



Geogebraövning

GeoGebra med tillämpning i fysik

Här har vi fällt in en GGB som är lite för stor.

Lista: (klicka expandera till höger)

Du kan behöva trycka ctrl- för att se hela GGB:n.



Tillämpningar av vektorer (och trigonometri)

Kloss på lutande plan
Kaströrelse

https://www.geogebra.org/m/Cy8bxaKS

Hitta en GGB med avdrift för ett plan eller en båt

Länk till worksheet: https://www.geogebra.org/m/ty53wFpP


Ovanstående GGB är skapad av Håkan Elderstig fria att använda enligt Creative Commons. Den finns att laddas ner från GeoGebratube.

Uppgift 1

Rita ut och beräkna längden av vektorn [math]\mathbf{w} = 2 \mathbf{u} - 3 \mathbf{v} [/math] om [math]\mathbf{u} = (4, 3) [/math] och [math]\mathbf{v}[/math] är vektorn som börjar i punkten [math] (3, 2)[/math] och slutar i punkten [math](4, 5)[/math].

Uppgift 2

Bestäm enhetsvektorn för [math]\mathbf{w} = \mathbf{u} - 3 \mathbf{v} [/math] om [math]\mathbf{u} = (-1, 4) [/math] och [math]\mathbf{v} = (0, 2) [/math].

Uppgift 3

Dela upp [math]\mathbf{w} = 5 \mathbf{u} - 2 \mathbf{v} [/math] i dess x- och y-komposanter om [math]\mathbf{u} = (2, 5) [/math] och [math]\mathbf{v} = (-4, 1) [/math]


Ett uppgiftsblad som repetition

Här finns uppgifter: Diagnos 7 finns här med repetition av trigonomatri samt nummer 7 och 8 om vektoorer.

Sway logo.svg
Swayen till detta avsnitt: Operationer med vektor


Rls6vbnpndynmieps27hdw.jpg
läromedel: Räkna med vektorer



GeoGebra - Addition av vektorer

En dynamisk GeoGebra med förklaringar och film.

Fördjupning

Osäkert om detta passar in här. kanske i en Sway.

TEDEd om Pixar och matematik Sub Division borde göra sig fint i GeoGebra. Testa.

Exit ticket

Exit ticket: operationer på vektorer