Multiplikation och division i polär form
Repetition
- [math]\displaystyle{ \cos (u+v) = \cos u \cos v - \sin u \sin v }[/math]
- [math]\displaystyle{ \sin (u+v) = \sin u \cos v + \cos u \sin v }[/math]
- [math]\displaystyle{ \cos (u-v) =\ cos u\ cos v + \sin u \sin v }[/math]
- [math]\displaystyle{ \sin (u-v) = \sin u \cos v - \cos u \sin v }[/math]
Multiplikation
Vi kommer använda:
- [math]\displaystyle{ \cos (u+v) = \cos u \cos v - \sin u \sin v }[/math]
- [math]\displaystyle{ \sin (u+v) = \sin u \cos v + \cos u \sin v }[/math]
Två komplexa tal
- [math]\displaystyle{ z = r (\cos u + i \sin u) }[/math]
- [math]\displaystyle{ w = s (\cos v + i \sin v) }[/math]
Då blir:
- [math]\displaystyle{ z \cdot w = r (\cos u + i \sin u) \cdot s (\cos v + i \sin v) = }[/math]
- [math]\displaystyle{ = r \cdot s (\cos u \cos v + i \cos u \sin v + i \sin u \cos v + i^2 \sin u \sin v) = }[/math]
- [math]\displaystyle{ = r s ((\cos u \cos v - \sin u \sin v ) + i (\cos u \sin v + \sin u \cos v )) = }[/math]
- [math]\displaystyle{ = r s ( cos (u+v) + i \sin (u+v) ) }[/math]
Det innebär alltså att vid multiplikation av komplexa tal så multipliceras absolutbeloppen och adderas argumenten.
Division med komplexa tal på polär form
Vid division av två komplexa tal dividerar men längderna på vektorerna:
- [math]\displaystyle{ | \frac{z}{w} | = \frac{|z|}{|w|} }[/math]
I analogi med multiplikationen så ska man subtrahera argumenten vid division av komplexa tal:
- [math]\displaystyle{ arg \frac{z}{w} = arg z - arg w }[/math]
NP-uppgift
![](/images/thumb/NP_MaE_vt_2000_uppg_5.png/600px-NP_MaE_vt_2000_uppg_5.png)
![](/images/thumb/Np_MaE_ht_1999_uppg_8.png/600px-Np_MaE_ht_1999_uppg_8.png)
Uppgiften från Provbanken.