Problemlösning med derivatan
Du ska få lära dig derivator på ett effektivt sätt:
- Först en frågeställning
- Sedan ser vi hur derivatan hjälper oss lösa problemet
- Därefter lär vi oss derivera
- Slutligen kommer derivatans definition
Alltså inte begreppen först och tillämpningen sen utan frågeställningen som leder till behov av verktyg. Sätt igång!
Uppgift |
---|
![]() Luftgevär används främst för sportskytte, i viss utsträckning även för skyddsjakt på skadedjur som råttor och vissa fågelarter. För att få användas för jakt i Sverige måste kalibern vara minst 5,5 mm och utgångshastigheten minst 180 m/s. Texten i ovanstående avsnitt kommer från Wikipedia.se En jägare vill skjuta mot en skrattmås som befinner sig 35 meter upp i luften. Fråga 1. Vilken hastighet har kulan då den når den höjden? Tips 1: Kulans läge kan beskrivas med fuinktionen:
Tips 2. Derivera funktionen. Derivatan av läget [math]\displaystyle{ y(t) }[/math] är nämligen hastigheten vid tiden [math]\displaystyle{ t }[/math]. Alltså: [math]\displaystyle{ y'(t)= }[/math] hastigheten. Fråga 2. Hur högt kan kulan nå? Fråga 3. Rita graferna för [math]\displaystyle{ y(t) }[/math] och [math]\displaystyle{ y'(t) }[/math] i GeoGebra. (använd x i stället för t) Fråga 4. Surfa lite och föreslå en modifierad funktion som tar hänsyn till luftmotståndet. Kontroll: Titta i formelsamlingen för fysik om du kan bekräfta att du fick fram rätt formel när du deriverade uttrycket ovan. |
Läs om en av upphovsmännen tillderivatan
Deriveringsregler
Varför inte börja med de enkla deriveringsreglerna. Det är enkelt och gör att vi snabbt kan göra något nyttigt.
Deriveringsregler:
- Derivatan av funktionen [math]\displaystyle{ f(x) = x\, }[/math] är funktionen [math]\displaystyle{ f^\prime(x) = 1 }[/math].
- Derivatan av funktionen [math]\displaystyle{ f(x) = x^2, }[/math] är funktionen [math]\displaystyle{ f^\prime(x) = 2x }[/math].
- Det kan generaliseras till att funktionen [math]\displaystyle{ f(x) = x^n }[/math] har derivatan [math]\displaystyle{ (f^\prime(x) = n \cdot x^{n-1} }[/math].
- Derivatan av [math]\displaystyle{ e^{kx}\ }[/math] är [math]\displaystyle{ ke^{kx} }[/math].
- Derivatan av [math]\displaystyle{ a^x\, }[/math] är [math]\displaystyle{ a^x \ln(a) }[/math]
- Derivatan av [math]\displaystyle{ \ln(x) }[/math] är [math]\displaystyle{ \frac{1}{x}\ }[/math]
- Derivatan av [math]\displaystyle{ \sin(x) }[/math] = [math]\displaystyle{ \cos(x)\ }[/math]
- Derivatan av [math]\displaystyle{ \cos(x) }[/math] = [math]\displaystyle{ -\sin(x)\ }[/math]
Uppgift |
---|
Derivera följande funktioner:
|
Additionsregeln
Derivatan av en summa av två funktioner som båda är deriverbara:
- [math]\displaystyle{ (f + g)^\prime = f^\prime + g^\prime. }[/math]
Linjäritet
En konstant (c) kan flyttas ut ur deriveringen:
- [math]\displaystyle{ (c \cdot f)^\prime = c \cdot f^\prime. }[/math]
Produktregeln
Produkten av två deriverbara funktioner är deriverbar, och derivatan ges av följande formel.
- [math]\displaystyle{ (f \cdot g)^\prime = f^\prime \cdot g + g ^\prime \cdot f. }[/math]
Kvotregeln
Derivatan av kvoten [math]\displaystyle{ \frac{f}{g} }[/math] ges av följande funktion:
- [math]\displaystyle{ \frac{f^\prime \cdot g - g^\prime \cdot f}{g^2} }[/math]
Derivata av sammansatt funktion (kedjeregeln)
En sammansatt funktion f(g(x)) är en funktion f(x) som har en annan funktion g(x) som sitt argument, istället för en variabel som x. Detta kan även skrivas [math]\displaystyle{ (f \circ g)(x) }[/math] för att förtydliga att g inte är en variabel utan själv är en funktion av variabeln x. Derivatan av en sammansatt funktion går under namnet kedjeregeln:
- [math]\displaystyle{ (f(g))^\prime = f^\prime(g)\cdot g^\prime. }[/math]
En widget som deriverar
Här är en widget som deriverar åt dig. Pröva den gärna.
|
id=c44e503833b64e9f27197a484f4257c0}} |