Likformighet och kongruens

Mål för undervisningen Likformighet och kongruens

Vi ska bekanta oss med begreppen likformighet och kongruens vilket ger oss flera verktyg för att lösa geometriska problem med trianglar. I nästa lektion kommer vi att få tillgång till topptriangelsatsen och transversalsatsen som bygger på likformighet.
Centralt Innehåll:

Användning av grundläggande klassiska satser i geometri om likformighet, kongruens och vinklar.

Teori

Likformighet

Ma2C: Likformighet 71 -74, sidan {{{2}}}

Khan Academy: likformiga trianglar

Alla figurer av samma färg är likformiga.

Definition

likformighet

Likfromighet är två objekter som har exakt samma form, men är inte lika stora (se bild ⇒⇒).

Två trianglar är likformiga om något av följande är uppfyllt:

VVV: Motsvarande vinklar är lika.
SSS: Förhållandet mellan de tre sidparen är lika
SVS: Förhållandet mellan två sidpar är lika och mellanliggande vinkel är samma

Exempel (Uppgift)

ADE bas/ABC bas betyder att vi tar måtten på sträcken DE från den lilla triangeln och dela den med måtten på sträcken BC från den stora triangeln samt ADE sida/ABC sida betyder att vi tar måtten på sträcken AE från den lilla triangeln och dela den med sträcken AC från den stora triangeln, och det blir alltså summan på AE och EC. Man kan också använda formeln genom att dela den stora triangeln med den lilla istället, och svaret blir detsamma.

Användningsområden

Man kan tex. använda likformighet i avbildningar när man ska rita kartor och jorden på olika skalor, dvs. 1:2, exempelvis:-

Hund i längdskala 1:1

Hund i längdskala 1:2. Areaskalan är 1:4

Kongruens

Definition

Kongruens

Två figurer är kongruenta om de har samma form och samma storlek.

Två trianglar är kongruenta om något av följande tre fall gäller:

Två sidor och mellanliggande vinkel (SVS = Sida-Vinkel-Sida)
De tre sidorna (SSS = Sida-Sida-Sida)
Två vinklar och mellanliggande sida (VSV = Vinkel-Sida-Vinkel)

Termen kongruens används för geometriska figurer som har samma storlek och form, men kan vara olika orienterade.

Två geometriska figurer är kongruenta, om och endast om, de kan fås att sammanfalla genom translation, rotation och spegling. Detta kan jämföras med den inom geometrin använda termen likformighet, vilken används om figurer av samma form men inte nödvändigtvis samma storlek. För bevarad likformighet är således även skalning tillåten.

Två plangeometriska figurer som kan fås att sammanfalla genom spegling, rotation och translation
Spegling
Rotation
Translation

Wikipedia skriver om Kongruens_(geometri)

Aktivitet

Uppgift

Likformighet och kongruens i GeoGebra

Rita två trianglar i Geogebra.
Sträckorna heter förmodligen a b c, respektive d e f.
skapa kvoterna a/d, b/e, c/f.
Dra ut kvoterna på arbetsytan.
Jämka trianglarna så att kvoterna blir ett. Då har du två kongruenta trianglar.
Jämka nu så att kvoten blir lika för alla tre paren av sträckor. Då har du två trianglar som (blott) är likformiga.

Skala

Lär mer

Swayen till detta avsnitt: [https xxx]

läromedel: Likformighet och kongruens

Läs om Likformighet och kongruens

Länkar

Bilder

Exit ticket