Intro - Harmonisk svängning
Digital bok | Pappersbok | Navigering |
---|---|---|
Upp till Harmonisk_svängning |
Fysikalisk förklaring
Vi använder Newtons andra lag för den svängande tyngden:
- F = ma = m d²y/dt² (1)
För fjäderkraften gäller enligt Hookes lag att:
- F = - k y (2)
Sätter man (2) = (1) får man en differentialekvation
- -k y = m y (3)
Lösningen är en sinusvåg som funktion av tid.
- [math]\displaystyle{ y(t) = \sin(\omega t),\ \omega }[/math]
Jämförelse med (3) ger att
- [math]\displaystyle{ = \sqrt\frac{k}{m}, }[/math]
Den allmänna lösningen kan skrivas som
- [math]\displaystyle{ y(t) = A \sin(\omega t + \phi),\ \omega = \sqrt\frac{k}{m}, }[/math]
där A och φ är integrationskonstanter. Oscillationsfrekvensen f = ω/2π är alltså högre för större kraftkonstant och lägre massa.
- I vändpunkterna är den potentiella energin och accelerationen maximal, medan hastigheten och kinetiska energin är noll.
- I punkten med lägst potentiell energi är den kinetiska energin maximal.
- Energin växlar mellan två olika former.
Wikipedia skriver om Harmonisk oscillator
Matematisk förklaring
![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/74/Simple_harmonic_motion_animation.gif/300px-Simple_harmonic_motion_animation.gif)
Harmonisk rörelse är en rätlinjig fysisk rörelse, en svängning med ett sinusoidalt tidsberoende. Den kan beskriva rörelsen av en harmonisk oscillator som till exempel en gungande tyngd i en fjäder.
En enkel harmonisk rörelse kan beskrivas med endast en sinusterm.
Ekvationer
För en enkel harmonisk rörelse med svängningsperioden T kan positionen [math]\displaystyle{ x(t) }[/math] som funktion av tiden skrivas som
- [math]\displaystyle{ x(t) = x_0 + A\sin \left( \frac{2 \pi t}{T} +\phi\right) = x_0 + A\sin ( \omega t +\phi ) , }[/math]
där [math]\displaystyle{ \omega = 2 \pi/T }[/math] är vinkelfrekvensen och [math]\displaystyle{ \phi }[/math] är vågrörelsens fas.
Partikelns hastighet ges av positionens derivata med avseende på tid:
- [math]\displaystyle{ v(t) = {\dot x} = \frac{\mathrm{d}x(t)}{\mathrm{d}t} = A\omega \cos ( \omega t+\phi ). }[/math]
Partikelns acceleration är hastighetens derivata eller positionens andraderivata:
- [math]\displaystyle{ a(t) = {\ddot x} = \frac{\mathrm{d}^2x(t)}{\mathrm{d} t^2} = - A \omega^2 \sin ( \omega t+\phi ). }[/math]
Accelerationen är således proportionell mot avvikelsen från positionens medelvärde. Harmonisk rörelse är därför lösningen till differentialekvationer för vilka andraderivatan är proportionell mot funktionen med motsatt tecken:
- [math]\displaystyle{ f'' = - c f, \, }[/math]
ett samband som förekommer i den harmoniska oscillatorn och i vågekvationen.
Massa-fjäder-system
Den enkla harmoniska rörelsen kan illustreras av en massa m som är fäst vid en fjäder som har fjäderkonstanten k.
Periodtiden
- [math]\displaystyle{ T = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}} }[/math]
är oberoende av såväl amplitud som av gravitation.
Texten ovan kommer från sidan där Wikipedia skriver om Harmonisk rörelse.
Aktivitet
Observation
![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/2/25/Animated-mass-spring.gif)
Definition |
---|
Harmonisk rörelse
Om en sträckt eller sammanpressad fjäders fria ända kopplas till en massa, som kan röra sig utan friktion i fjäderns längdriktning, erhålls en harmonisk rörelse, där oscillationens frekvens ökar med ökande styvhet hos fjädern (högre k). |
Uppgift |
---|
Jämför denna definition med vad vi observerat i våra experiment. |
Lär mer
PhET - tyngd i fjäder
GeoGebra
Från GeoGebraTube.