Intro - Harmonisk svängning
| Digital bok | Pappersbok | Navigering |
|---|---|---|
| Upp till Harmonisk_svängning |
Fysikalisk förklaring
Vi använder Newtons andra lag för den (i y-led) svängande tyngden:
- [math]\displaystyle{ F = ma = m \frac{d^2y}{dt^2} = = m y'' \qquad (1) }[/math]
För fjäderkraften gäller enligt Hookes lag att:
- [math]\displaystyle{ F = - k y \qquad (2) }[/math]
Sätter man (2) = (1) får man en differentialekvation
- [math]\displaystyle{ -k y = m y'' \qquad (3) }[/math]
Lösningen är en sinusvåg som funktion av tid.
- [math]\displaystyle{ y(t) = \sin(\omega t),\ }[/math]
Jämförelse med (3) ger att
- [math]\displaystyle{ \omega = \sqrt\frac{k}{m}, }[/math]
Den allmänna lösningen kan skrivas som
- [math]\displaystyle{ y(t) = A \sin(\omega t + \phi),\ \omega = \sqrt\frac{k}{m}, }[/math]
där A och φ är integrationskonstanter.
Fysikalisk beskrivning
Oscillationsfrekvensen f = ω/2π är alltså högre för större kraftkonstant och lägre massa.
- I vändpunkterna är den potentiella energin och accelerationen maximal, medan hastigheten och kinetiska energin är noll.
- I punkten med lägst potentiell energi är den kinetiska energin maximal.
- Energin växlar mellan två olika former.
Wikipedia skriver om Harmonisk oscillator
Matematisk förklaring
Harmonisk rörelse är en rätlinjig fysisk rörelse, en svängning med ett sinusoidalt tidsberoende. Den kan beskriva rörelsen av en harmonisk oscillator som till exempel en gungande tyngd i en fjäder.
En enkel harmonisk rörelse kan beskrivas med endast en sinusterm.
Ekvationer
För en enkel harmonisk rörelse med svängningsperioden T kan positionen [math]\displaystyle{ x(t) }[/math] som funktion av tiden skrivas som
- [math]\displaystyle{ x(t) = x_0 + A\sin \left( \frac{2 \pi t}{T} +\phi\right) = x_0 + A\sin ( \omega t +\phi ) , }[/math]
där [math]\displaystyle{ \omega = 2 \pi/T }[/math] är vinkelfrekvensen och [math]\displaystyle{ \phi }[/math] är vågrörelsens fas.
Partikelns hastighet ges av positionens derivata med avseende på tid:
- [math]\displaystyle{ v(t) = {\dot x} = \frac{\mathrm{d}x(t)}{\mathrm{d}t} = A\omega \cos ( \omega t+\phi ). }[/math]
Partikelns acceleration är hastighetens derivata eller positionens andraderivata:
- [math]\displaystyle{ a(t) = {\ddot x} = \frac{\mathrm{d}^2x(t)}{\mathrm{d} t^2} = - A \omega^2 \sin ( \omega t+\phi ). }[/math]
Accelerationen är således proportionell mot avvikelsen från positionens medelvärde. Harmonisk rörelse är därför lösningen till differentialekvationer för vilka andraderivatan är proportionell mot funktionen med motsatt tecken:
- [math]\displaystyle{ f'' = - c f, \, }[/math]
ett samband som förekommer i den harmoniska oscillatorn och i vågekvationen.
Massa-fjäder-system
Den enkla harmoniska rörelsen kan illustreras av en massa m som är fäst vid en fjäder som har fjäderkonstanten k.
Periodtiden
- [math]\displaystyle{ T = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}} }[/math]
är oberoende av såväl amplitud som av gravitation.
Texten ovan kommer från sidan där Wikipedia skriver om Harmonisk rörelse.
Aktivitet
Observation
| Definition |
|---|
| Harmonisk rörelse
Om en sträckt eller sammanpressad fjäders fria ända kopplas till en massa, som kan röra sig utan friktion i fjäderns längdriktning, erhålls en harmonisk rörelse, där oscillationens frekvens ökar med ökande styvhet hos fjädern (högre k). |
| Uppgift |
|---|
|
Jämför denna definition med vad vi observerat i våra experiment. |
Lär mer
PhET - tyngd i fjäder
GeoGebra
Från GeoGebraTube.