Diskussion:Primtal
Intro
Alla står upp Läraren säger ett tal till första eleven som svarar ja eller nej på frågan om det är ett primtal. Fel svar betyder man får sätta sig ner.
Text att klippa in på sidan
När vi tittar på våra naturliga tal (alla heltal från 1, dvs. n = 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...) så kan vi dela in dem i två grupper; Primtal, och sammansatta tal.
Våra sammansatta tal är alla tal vi kan skriva som en produkt av flera primtal. 12 = 2 ⋅ 2 ⋅ 3 15 = 3 ⋅ 5 Primtalen kan vi dock endast skriva med hjälp av primtalet självt och med 1. 3 = 1 ⋅ 3 7 = 1 ⋅ 7
1 är varken ett sammansatt tal eller ett primtal, utan är något som vi kallar för enhetselement (mer om det kommer inom den diskreta matematiken, framförallt på universitetet). Kort så är det ett tal som lämnar andra tal oförändrade under multiplikation.
De naturliga talen kan alltså delas in i: Enhetselementet: 1 Primtal: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, ... Sammansatta tal: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, ...
Ordet prim kommer från latinets primus och betyder 'först'. Primtalen kan alltså ses som våra första tal, talen vi bygger upp alla andra tal med hjälp utav. Det finns oändligt många primtal, något som den grekiske matematikerna Euklides visade redan 300-talet fvt (före vår tideräkning).
Vi vill nu primtalsfaktorisera talet 1092. Vi vill alltså skriva om talet i faktorer, tills dess att vi endast har primtal kvar.
Stega genom våra primtal och kontrollera om det ingår i vårt tal, 1092. För att ta reda på det, måste vi kontrollera om 1092 är delbart med primtalet.
Börjar med vårt minsta primtal, 2.
Delbart med 2? Ja, talet är jämnt.
1092 / 2 = 546
Vi kan alltså utföra faktoriseringen 1092 = 2 ⋅ 542
Kan vi faktorisera 546? Börjar med vårt minsta primtal, 2. Delbart med 2? Ja, talet är jämnt. 546 / 2 = 273 546 = 2 ⋅ 273 Skriver om till 1092 = 2 ⋅ 2 ⋅ 273
Kan vi faktorisera 273? Börjar med vårt minsta primtal, 2. Delbart med 2? Nej, talet är ojämnt. Går vidare till nästa primtal, 3. Delbart med 3? Ja, siffersumman är delbar med 3 (siffersumman för 273 är 2+7+3 = 12, och 12 är delbart med 3) 273 / 3 = 91 273 = 3 ⋅ 91 Skriver om till 1092 = 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 91
Kan vi faktorisera 91? Börjar med vårt minsta primtal, 2. Delbart med 2? Nej, talet är ojämnt. Går vidare till nästa primtal, 3. Delbart med 3? Nej, siffersumman måste vara delbar med 3 (9+1 = 10, 10 / 3 = 3,3333...). Går vidare till nästa primtal, 5. Delbart med 5? Nej, talet måste sluta med en 0:a eller 5:a. Går vidare till nästa primtal, 7. Delbart med 7? Här har vi ingen snabb regel, utan får testa med kortdivision eller liggande stolen (eller miniräknare). 91 / 7 = 13 (Med kortdivision: 7 går i 9 en gång, 2 i rest, 7 går i 21 tre gånger, ingen rest) 91= 7 ⋅ 13 Skriver om till 1092 = 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 7 ⋅ 13
Kan vi faktorisera 13? Nej, 13 är ett primtal.
Vi väljer alltså att skriva om vårt stora tal, 1092, i dess primtalsfaktorer 1092 = 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 7 ⋅ 13 Nu kan vi mycket lättare hantera talet när vi behöver jämföra det med andra tal.
Repetition
Titta gärna på avsnitten om faktorisering och primtal för grundskolan.
Flippat
Primtal.
Erathostenes, primtal och faktorisering.
Svara på frågorna