Exponentialfunktioner och logaritmer

Exponentialfunktioner

Jämför

Jämför med den allmänna formen för andragradsfunktionen:

y = a x^{2} + b x + c

(bortse från de sista termerna)

y = a x^{2}

(a är en konstant, vi kan lika gärna skriva c)

y = C \cdot x^{2}

(tänk nu att vi kastar om x och 2, C är en konstant )

y = C \cdot 2^{x}

(här har vi ett exempel på en exponentialfunktion)

y = C \cdot {1.5}^{x} = C \cdot (\frac{3}{2})^{x}

(Vi kan ha olika tal som höjs upp i x)

y = C \cdot {0.5}^{x} = C \cdot (\frac{1}{2})^{x} = C \cdot (2^{- 1})^{x} = C \cdot 2^{- x}

på generell form:

y = C \cdot a^{x}

talet a kallas basen. x är exponenten

Växande

Tänk på pengar på banken med ränta varje år. Pengarna växer med ränta på ränta. 15 % innebär en tillväxtfaktor om 1.15 (förändringsfaktorn). Antag att man har 2000 kr från början. Tillväxten blir då exponentiell. Det tar bara fem år till en fördubbling.

Avtagande

Diagtrammet visar en avtagande funktion. Det startar på 100. Sedan minskar det med 10 per minut. Förändringsfaktorn är alltså 0.9

<ggb_applet width="557" height="383" version="4.0" ggbBase64="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" framePossible = "true" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

Vatten i termos

Figuren nedan visar temperaturen hos vatten som får svalna i en termos. Mätvärdena har lagts i en lista som heter avsvalning i GeoGebra. Därefter har kommandot RegressionExp[avsvalning] använts för att anpassa en exponentiell funktion till värdena i listan.

Du ser på funktionen f(x) att basen är 0.98 (= förändringsfaktorn)

<ggb_applet width="1007" height="487" version="4.0" ggbBase64="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" framePossible = "true" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

Definitioner

y = Ca^x

växande a > 1

avtagande a < 1

C är skärningspunkt med y-axeln

a ej lika med 1, a > 0

Spegelkurvor

Spegelkurvorna nedan består av y = 4^x och y = (1/4)^x

4 och 1/4 är inverserna till varandra.

y = (1/4)^x kan skrivas som y = (4)^-x

Övning: Pröva att skriva in funktionerna nedan i GeoGebbra:

y = (0.25)^x
y = (1/4)^x
y = (4)^-x

Vilken slutsats drar du?

<ggb_applet width="640" height="379" version="4.0" ggbBase64="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" framePossible = "true" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

Övning - GeoGebra

Rita själv funktionerna i bilden överst på sid 167

Skriv aLLTSÅ IN DESSA FUNKTIONER I ggb:

y = 0.5^x
y = 1^x
y = 1.1^x
y = 2*1.1^x
y = 1.2^x
y = 1.4^x
y = 1.8^x
y = 5^x

Fråga: Vad gör att en kurva ökar snabbare?

Exempel 1

Bestäm exponentialfunktionen där grafen går genom punkterna (0,2) och (5,6)

Sätt in x = 0 så får du C
Sätt in x = 5 och y = 6 i funktionen och räkna ut a

<ggb_applet width="700" height="407" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />

Exempel 2

Lös ekvationen 2^x = 1 + 3x grafiskt.

Lös även olikheten 2^x < 1 + 3x

Linjära och exponentiella modeller

må lektion 2 v 16

I detta avsnitt ska vi öva oss på att skilja på den linjära modellen och den exponentiella.

 linjär: [math]\displaystyle{ y = k\cdot x + m }[/math]

 exponentiell: [math]\displaystyle{ y = y_0\cdot a^x  }[/math]  där [math]\displaystyle{  y_0  }[/math] är samma sak som C i tidigare exempel)

Ibland tex inom fysiken vill man utgående från en del mätvärden hitta en modell. Om mätvärdena verkar bilda en exponentiell funktion brukar man ta logaritmen av y-värdena för att linearisera grafen.

Ofta används antingen naturliga logaritmen (ln=log_e) med Nepers tal e=2.718281828459045... som bas eller logaritmen (log=log₁₀) med 10 som bas.

 lineariserad exponentiell: [math]\displaystyle{ log_{10}(y) = log_{10}(a) \cdot x + log_{10}(y_0) }[/math]

 När man sedan hittat kurvan tex med lineär regression får man höja basen 10 i de funna värdena.

[redigera]

Logaritmfunktioner, ritade för olika baser. Röd graf svarar mot basen e, grön graf mot basen 10, och lila graf mot basen 1.7. Varje ruta på axlarna är en enhet. Samtliga grafer avbildar punkten (1, 0) då alla tal upphöjda till 0 är lika med 1 och dessutom punkten (b, 1) för basen b, då ett tal upphöjt till 1 är lika med talet självt. Graferna har högergränsvärdet -∞ då x -> 0 från höger.

Logaritmen för ett tal a är den exponent x till vilket ett givet tal, basen b, måste upphöjas för att anta värdet a:

a = b^x

Logaritmernas uppfinnare anses skotten John Napier (1600-talet) vara.

Texten i ovanstående avsnitt kommer från Wikipedia.se

Logaritmerna var väldigt användbara genom att man kunde göra om en multiplikation till en addition. Istället för att multiplicera talen logaritmerar man talen adderar dem och tar sedan antilogaritmen av talen. Det låter krångligt men spar mycket tid om det är tal med många siffror som ska multipliceras. Från 1600-talet och framåt tog man fram tabeller med värden för logaritmen av olika tal, exempelvis 1-1000.

Läs mer här: Eng WP Läs stycket Logarithm tables, slide rules, and historical applications

Vad är logaritmer?

Tisdag

Inversen

Det finns en del motsatser, bland våra matematiska operationer, som upphäver varandras verkan.

Tänk bara på addition och subtraktion med plus (+) och minus (-).

Ibland talar man om inversen. Man säger att den additiva inversen till ett tal n är dess inversa element (det motsatta talet -n ) under den binära operationen addition. Det motsatta talet kan beräknas genom multiplikation med −1; det vill säga, −n = (−1) · n.

Multiplikation (*) och division (/) är en annan.

Den (multiplikativa) inversen till $x$ är $\frac{1}{x}$ . Det gäller också att : $x \cdot \frac{1}{x} = 1$

Man talar om inversa funktioner.

Det är på samma sätt med potensfunktionen och logaritmen.

Invers funktion eller bara invers (av ”invertera” och av latinets invertere ”omvända”) är inom matematiken namnet på en funktion som upphäver en annan funktion. Den inversa funktionen $f^{- 1}$ till en funktion $f$ är sådan att $f^{- 1} (f (x)) = x .$

Om vi har en funktion $y = f (x)$ kan vi söka lösa ekvationen med avseenda av x, så att $x = f^{- 1} (y)$ och sedxan

Några inversa funktioner är :

$f (x) = x + a$ och $f^{- 1} (x) = x - a$
$f (x) = x \cdot a$ och $f^{- 1} (x) = \frac{x}{a}, a \neq 0$
$f (x) = \frac{1}{x}$ och $f^{- 1} (x) = \frac{1}{x}, x \neq 0$
$f (x) = s i n x$ och $f^{- 1} (x) = s i n^{- 1} (x) = \arcsin (x), - 1 \leq x \leq 1$

$f (x) = e^{x}$ och $f^{- 1} (x) = l n (x)$ . Det gäller att $e^{l n (x)} = x .$
$f (x) = l n (x)$ och $f^{- 1} (x) = e^{x}$ . Det gäller att $l n (e^{x}) = x .$

Enkla tiopotenser

Du behöver känna till några av de vanligaste tiopotenserna:

1000 kan skrivas som 10³

100 kan skrivas som 10²

10 kan skrivas som 10¹

1 kan skrivas som 10⁰

0.1 kan skrivas som 10^-1

0.01 kan skrivas som 10^-2

Tänk dig nu att det finns oändligt många fler potenser 10^x där x inte är ett heltal.

Potensfunktionen y=10^x

grafen visar y = 10^x

För varje x-värde finns ett y-värde som är 10^x

Omvänt gäller också: För varje y-värde finns ett finns ett x-värde som är log y

<ggb_applet width="482" height="516" version="4.0" ggbBase64="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" framePossible = "true" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

Alla värden är möjliga

Dra i glidare ovan så ser du att det finns ett y-värde för varje x-värde.

Och omvänt ett x-värde för varje y-värde.

Potensfunktionen gäller för både positiva och negativa x-värden men y blir alltid positivt. Y blir väldigt litet för stora negativa x.

Definitioner

Logaritmen av a är den exponent x till vilken man ska upphöja 10 för att få talet a

eller

loga är talet 10 ska höjas med för att få a

eller

a = 10^{x} \Leftrightarrow x = \log_{10} a

.

eller

log10^x = x

eller

10^loga = a

Andra beteckningar

Andra beteckningssätt för log₁₀ a är log a och lg a.

Kopplingen tiopotens - logaritm

Grafen för logaritmerna

Tänk på att potensfunktionen och logaritmen är inversa (motsatser.

Exempelvis kan 10 skrivas som 10¹. Därför är log 10 = 1.

Och 100 kan skrivas som 10². Därför är log 100 = 2.

Log 1 = 0

Man kan inte logaritmera ett negativt värde (utan att ta till komplexa tal).

Diagnos

Kort diagnos: mathcentre Överkurs (limes)

Räkneregler för logaritmer

Sats: Multiplikation

lg(a b) = lg a + lg b

Sats: Division

lg (a/b) = lg a - lg b

Sats: Potensräkning

 lg a^p = p lg a

Något att klura på:

Vad är log(Googolplex)

Vad är sjätteroten av en centiljon 10⁶⁰⁰ och hur många miljoner är det ?

Om stora tal

Hur många siffror har primtalet 2^57885161-1 ?

Tips: log₁₀(1234)=3,09..

Repetition - Potenser

[redigera]

Mål för undervisningen Potenser

Du kommer att lära dig vad potenser är och de räkneregler som gäller för potenser.

Grundpotensform
Potenser
Rötter

En potens är ett uttryck som består av en bas och en exponent.

I sin enklaste form definierar vi potenser som resultatet av upprepad multiplikation.

Exempel
4³ (utläses 4 upphöjt till 3) blir 4 · 4 · 4 = 64.

Potenser underlättar hanteringen (bland annat multiplikation och division) av stora tal. Primtalsfaktorisering är en stor del i det, men när vi väl har våra faktorer ser vi att de har en tendens att återkomma, då snyggar potenser upp vårt uttryck.

När basen är 10 och exponenten är ett heltal kallar vi potensen för en tiopotens. Med tiopotenser kan vi beskriva storleksordningen av reella tal.

Potenser kommer även senare att bli vår koppling till logaritmer.

Potenslagarna

Följande potenslagar gäller för potenser med reella exponenter.

Några förklaringar ("bevis")

Viktigt

Vi kan förklara negativa exponenter (tredje exponentieringsregeln), $a^{- n} = \frac{1}{a^{n}}$

med ett exempel (inte ett formellt bevis)

$\frac{1}{a^{3}} = \frac{a^{2}}{a^{5}} = a^{2 - 5} = a^{- 3}$

Man kan även visa nollregeln:

$1 = \frac{a^{n}}{a^{n}} = a^{n - n} = a^{0}$

Grundpotensform

Definition

Grundpotensform

Ett tal är skrivet på grundpotensform om:

$a \cdot 10^{n}, d ä r 1 \leq a < 10$

Grundpotensform är ett kompakt sätt att skriva tal som heltalsexponenter med 10 som bas. Formen används framför allt för att skriva tal som är mycket stora eller mycket små.

En regel är om man vill ta ut grundpotensen på 134 000 000, så förminskar vi talet så många gånger så att talet blir mellan 1 och 10. Du behöver nu multiplicera talet med ett tal som motsvarar hur många gånger mindre du gjorde talet, i det här fallet 100 000 000 = 10 upphöjt i 8. Svaret blir alltså 1,34 · 10⁸

10¹ = 10
10² = 100
10³ = 1 000
10⁶ = 1 000 000
10⁹ = 1 000 000 000
10²⁰ = 100 000 000 000 000 000 000

10⁻¹ = 1/10 = 0,1
10⁻³ = 1/1 000 = 0,001
10⁻⁹ = 1/1 000 000 000 = 0,000000001

Genom att använda grundpotensform kan ett stort tal som 156 234 000 000 000 000 000 000 000 000 lättare skrivas som 1,56234·10²⁹, och ett litet tal som 0,0000000000234 kan skrivas som 2,34·10⁻¹¹.

Ett tal skrivet i grundpotensform kan delas upp i två delar, först siffervärdet, därefter tiopotensen. För att talet ska vara skrivet i grundpotensform krävs att siffervärdet är ett tal som är större än eller lika med 1 och mindre än 10.

De flesta kalkylatorer (miniräknare) och vissa datorprogram utelämnar bas-siffran 10 och använder bokstaven E (som i Exponent) istället, till exempel 1,56234 E29. Detta E ska inte förväxlas med talet e. Det finns även datorprogram (till exempel programmeringsspråket QBasic) som använder bokstaven D istället då man anger tal på dubbelprecisionsformat.

Wikipedia skriver om Grundpotensform

[redigera]

Kopiera texten till din dator och skriv rätt regel på strecket.

Förenkling	Skriv regeln
${(x^{3})}^{4} = x^{12}$	_______________________
$x^{0} = 1$	_______________________
2 + 3 * 4 = 14	_______________________
${(\frac{x}{y})}^{7} = \frac{x^{7}}{y^{7}}$	_______________________
$x^{2} \cdot x^{5} = x^{7}$	_______________________
${(x \cdot y)}^{19} = x^{19} \cdot y^{19}$	_______________________
$\frac{x^{5}}{x^{3}} = x^{2}$	_______________________

[redigera]

Programmeringsuppgift

Python-hjälp Fler uppgifter

Mål för undervisningen Kom igång med programmering i matematiken.

Målet är att du ska köra ditt första program för att utföra matematiska beräkningar. Du bör testa att modifiera algoritmen så att dina beräkningar blir mer effektiva.

Målet är inte att du ska lära dig programmering på matematiklektionen men det är oundvikligt att du ändå lär dig lite Python-kod.

Gissa talet

Gissa talet är en programmeringsuppgift som passar perfekt in på detta område.

Uppgift

Gissa ett tal

Kör programmet tillsammans med en kompis.
Kör det flera gånger. Turas om att vara den som kör programmet och den som gissar. Notera hur många gissningar som behövs varje gång ni kör programmet.
Vilken strategi ger minst antal gissningar?
Finns det ett maximalt antal gissningar om man följer strategin?
Kan du uttrycka max antal gissningar matematiskt?
Hur kan du uttrycka maximala antalet gissningar som en funktion av intervallet talet ligger i?
Gå igenom programkoden och se om du förstår alla delar. Skriv ner de frågor du har om koden.

Python-koden

# förklarar syftet med spelet
print("Detta spel handlar om att din kamrat ska gissa det tal som du matar in. Skriv in kamratens gissningar och läs upp vad programmet säger. ")

# Ange ett tal
number = input("Ange ett hemligt tal mellan 1 - 100. ")

# använd heltal
number = int(number)

# räknare
guess = 0
count = 0

# räknare
while guess != number:

# gissa talet
    guess = input ("Skriv in talet (mellan 1-100) din kamrat gissar på: ")
    if guess == "exit":
        break
# räkna gissningar
    guess = int(guess)
    count += 1
       
# jämför gissning med tal
    if guess < number:
        print("Talet du angav ar mindre än mitt hemliga tal.")
    elif guess > number:
        print("Talet du angav är större än mitt hemliga tal.")
    else:
        print("Grattis! Du har gissat talet som jag tänkt på  (matat in).")
        print("Talet är:",number,)        
        print("Och det har tagit dig",count,"gissningar.")
        
# visar resultatet så länge vi vill 
input("Tryck Enter för att avsluta programmet")

Uppgiften är inspirerad av Attila Szabo, Utbildningsförvaltningen Stockholm.

Logaritmiska modeller

pH

pH är ett logaritmiskt mått på surhet, det vill säga på aktiviteten av vätejoner (H⁺) i en lösning. Lösningar med låga pH-värden är sura, och de med höga kallas basiska. Lösningar som har pH 7 (vid 25 °C) kallas neutrala. Symbolen p i pH är en operatorbeteckning innebärande att man anger den negativa 10-logaritmen av vätejonaktiviteten; det vill säga

p H = - \log_{10} [H^{+}]

.

pH-skalan infördes av Søren Peder Lauritz Sørensen 1909.

En stark syra med hög koncentration har ett pH-värde nära 0; en stark bas med hög koncentration har pH-värde nära 14. pH-skalan är dock inte begränsad till 0-14 och det finns till exempel riktigt starka syror med negativa pH-värden (under 0). Utifrån definitionen av pH får man:

Vid pH 1 är vätejonaktiviteten {H⁺} = 1·10^-1.
Vid pH 7 är vätejonaktiviteten {H⁺} = 1·10^-7.
Vid pH 14 är vätejonaktiviteten {H⁺} = 1·10^-14.

Texten i ovanstående avsnitt kommer från Wikipedia.se

Läs: Wikipedia om pH.

Räkneövning

1. Bestäm $Extra close brace or missing open brace$ för en lösning med pH = 3.0

2. Vad är pH-värdet om $Extra close brace or missing open brace$ är 8.5 10^-6?

Richterskalan

Richterskalan är en skala som används för att ange styrkan hos jordbävningar. Skalan är en logaritmisk skala där varje steg motsvarar en ökning av magnituden (skakningen) med cirka 10 gånger. Detta motsvarar ca 32 gånger mer energi. En jordbävning på 3–4 är knappt märkbar; en på 8 eller mer kan ödelägga städer om den inträffar i tättbebyggda områden. Jordbävningar på cirka 8,0 inträffar i genomsnitt en gång per år medan jordbävningar på mer än 9 inträffar mer sällan. Skalan kan även anta negativa värden, men så svaga jordbävningar är svåra att detektera.

Skalan togs fram år 1935 av Charles Richter i samarbete med Beno Gutenberg vid California Institute of Technology. Nollpunkten i skalan definierades som ”en jordbävning som på 100 km avstånd registreras på en Wood-Anderson-seismometer med ett utslag på 1 mikrometer”. Nollpunkten är alltså en extremt svag jordbävning, på den tiden i praktiken nästan omätbar. Syftet var att skalan inte skulle behöva anta negativa värden i praktiska fall, även om skalan alltså även innefattar sådana.

Mellan jordbävningens magnitud M och den frigjorda energin E (Joule), finns sambandet $M = \frac{2}{3} \cdot (\log E - K)$ där K är en korrektionskonstant beroende av avståndet till epicentrum.

Texten i ovanstående avsnitt kommer från Wikipedia.se Läs: Wikipedia om Richterskalan .

decibel

$L_{dB} = 10 \log_{10} (\frac{P_{1}}{P_{0}})$

Läs: Wikipedia om Decibel .

Ekvationen 2^x = 3

Dessa och liknade ekvationer löser man genom att logaritmera båda sidorna.

Varför är det så?

Om 10^2a+3b = 10^y så innebär det att 2a+3b = y

Om log(2a+3b) = log y så innebär det att 2a+3b = y

Om log 10^x = log 27 så innebär det att 10^x = 27

Om man går åt andra hållet kan man säga att om 10^x = 27 så innebär det att log 10^x = log 27

Nu har vi hittat en metod att lösa ekvationer med exponentialfunktioner. Den kallas att logaritmera.

Exempel

Lös ekvationen 10^2x = 200

Logaritmering av båda sidorna ger

log 10^2x = log 200

2x = log 200

x = log (200) /2

Tillämpningar på exponentiell förändring

Lektion 2, måndag v 17

Här räknar vi på radioaktivt sönderfall, kol-14-metoden och liknande uppgifter.

Halveringstid

Halveringstid är den tid efter vilken hälften av en given mängd av ett radioaktivt grundämne har sönderfallit. För en enskild instabil partikel kan halveringstiden tolkas som den tid efter vilken sannolikheten är 50% för att partikeln skall ha sönderfallit. Begreppet halveringstid används ofta i samband med radioaktivt sönderfall men kan även beskriva andra former av sönderfall eller nedbrytning, speciellt sådana processer som avtar exponentiellt.

Orsaken till att man definierar begreppet halveringstid är att denna, för ett visst ämne eller partikel, blir konstant (oberoende av tiden och mängden av ett ämnet). Till exempel så återstår hälften av en given mängd av den radioaktiva isotopen kol-14 efter ungefär 5730 år (halveringstiden) oavsett hur stor mängd man startar med. Efter ytterligare en halveringstid återstår således en fjärdedel av den ursprungliga mängden och efter tre halveringstider en åttondel. Rent matematiskt kommer alltså en viss, ständigt minskande, mängd alltid att finnas kvar.

Mängden (antalet atomer eller partiklar), N(t) som återstår vid tiden t kan beräknas enligt formeln

N (t) = N (0) \cdot 2^{- t / T_{1 / 2}}

,

där $T_{1 / 2}$ betecknar halveringstiden.

Texten i ovanstående avsnitt kommer från Wikipedia.se

Ekonomiska modeller

Uppgifter

Antag att du köper en bil. Du räknar med att den sjunker i värde med 12 % om året. Vad är den värd om x år?

Din kompis lånar pengar av ett kreditinstitut. Den effektiva räntan verkar inte så farligt hög säger hen. Gå in på nätet och se vad de erbjuder för räntor och räkan ut vad det kostar på fem år med ränta på ränta. Kolla om långivarens uträkningar stämmer.

Din svåger har köpt en andelslägenhet i fjälen och ska hyra ut sin andel genom en förmedling. De erbjuder ett kontrakt där ersättningen ska vara 20 000 per år med en uppräkning på 3.5 procent per år. Ge ett motförslag som baserar sig på en lägre ersättning första året men ger mer pengar i slutändan. vad innebär det att tjäna mer pengar totalt sett?

Kol-14-metoden

C14-metoden (kol-14-metoden eller radiokolmetoden) är en radiometrisk dateringsmetod som utvecklades i slutet av 1940-talet av professor Willard Frank Libby. Libby fick Nobelpriset 1960 för denna upptäckt. Metoden ledde till en mindre revolution inom arkeologin. Den gör det möjligt att datera fornlämningar och fossil innehållande organiskt material, vanligen träkol och ben, på ett sätt som man inte kunde göra tidigare. Tekniken är enbart tillförlitlig för material som varit levande för mindre än omkring 60 000 år sedan[1].

Metoden bygger på att ett antal olika sorters kol finns i allt levande. Växter tar ständigt upp ett nytillskott av kol från luften i form av koldioxid, och det blir sedan del av vävnader hos djur som äter växter eller andra djur. Kolisotopen kol-14 (¹⁴C, utläses ”kol fjorton”) genomgår radioaktivt sönderfall med en halveringstid på 5730 år. Isotopen ¹²C är däremot stabil. Fördelningen mellan dessa två isotoper i levande materia är vanligen densamma som i atmosfären, men vid samma tidpunkt som en organism slutar ta upp kol (d.v.s. dör) börjar andelen ¹⁴C att sjunka. Genom att mäta mängdförhållandet mellan kolisotoperna i ett prov kan man beräkna när organismen i fråga dog.

Texten i ovanstående avsnitt kommer från Wikipedia.se

Fysikalisk bakgrund

Organiska föreningar är kemiska föreningar vilka innehåller kol. De i naturen vanligast förekommande kol-isotoperna är ¹²C och ¹³C. Dessa isotoper är stabila och sönderfaller inte inom mätningshorisonten. Men det finns även en liten andel |¹⁴C som genom betasönderfall övergår till kväve. ¹⁴C har en halveringstid på 5 730 år, vilket betyder att hälften av isotopen har ”försvunnit” efter cirka 6 000 år.

Man antar att den kosmiska strålningen har varit relativt oförändrad under historiens gång. Därmed nyproduceras ¹⁴C-atomer i jämn takt uppe i jordens atmosfär. Detta sker genom reaktionen

n +_{7}^{14} N \to_{6}^{14} C + p

som är relativt vanlig eftersom jordens atmosfär består av 78 % kväve (N). ¹⁴C nyproduceras ständigt i jordens atmosfär genom den kosmiska strålningen, vilken består av neutroner. Den kosmiska strålningen träffar kväve-14-atomen på 9 000 till 10 000 meters höjd och därefter förenas den nyproducerade ¹⁴C-atomen med syre för att bilda atmosfärisk koldioxid (CO₂). Den atmosfäriska koldioxiden sprider sig sedan ner till jorden på två sätt: den regnar ner eller tas upp av växternas fotosyntes. Det betyder att djur ständigt får i sig färskt ¹⁴C genom födan. Men när organismerna dör upphör detta intag och andelen ¹⁴C minskar med åren. Genom att mäta andelen kol-14 i det organiska materialet kan man bestämma hur länge det varit dött.

_{6}^{14} C \to_{7}^{14} N + e^{-} + {\bar{ν}}_{e}

Texten i ovanstående avsnitt kommer från Wikipedia.se

Befolkningstillväxt

Jordens befolkning växer hela tiden. Här kan vi kanske tillämpa en exponentiell modell, men vilken ?

År 2004 hade vi 6.4 miljarder mänskor på jorden och 2010 var det 6.8 miljarder. När överskrider befolkningen 10 miljarder om den tillväxten fortsätter ?

Låt oss sätta 2004 som år 0. På 2010-2004 = 6 år ökade befolkningen med faktorn 6.8/6.4 = 17/16 = 1.0625 eller 6.25%.

   Vår modell kunde se ut så här :

   [math]\displaystyle{  B(t) = 6.4\cdot (\sqrt[6]{\frac{6.8}{6.4}})^t = 6.4\cdot(\sqrt[6]{1.0625})^t  }[/math]

   Då löser vi ekvationen för när denna monotont växande funktions värde blir störrä än 10.

   [math]\displaystyle{  B(10)\gt 10 }[/math]

   Vi tar logaritmen av båda sidorna.

   [math]\displaystyle{  \frac{1}{6} \cdot t \cdot \log_{10}(1.0625) \gt  \log_{10}{(\frac{10}{6.4})}  }[/math]

   [math]\displaystyle{  t \gt  \frac{6\cdot \log_{10}{(\frac{10}{6.4})}}{\log_{10}(1.0625)} \approx 44.17  }[/math]

   Befolkningsmängden på jorden överskrider 10 miljoner under 2048 enligt denna modell.
   Jag antar att befolkningsmätningarna inte anger befolkningsmängden vid sista dagen på året.
   ( för t= 2004 + 44.17 = 2048.17 betyder ca 2 månader efter mätpunkten ).

Testar olika stilar

B(t) = 6.4 (1.0625)^(t/6)

Eftersom jag är ganska ny här: 3 mars 2013 kl. 22.05 (UTC)~

Geobegra

<ggb_applet width="968" height="473" ggbBase64="UEsDBBQACAgIAMazY0IAAAAAAAAAAAAAAAAWAAAAZ2VvZ2VicmFfamF2YXNjcmlwdC5qc0srzUsuyczPU0hPT/LP88zLLNHQVKiuBQBQSwcI1je9uRkAAAAXAAAAUEsDBBQACAgIAMazY0IAAAAAAAAAAAAAAAAMAAAAZ2VvZ2VicmEueG1stVjrb9s2EP+c/hUHfUqGRBb1VmG3SIsVK5Y+sHTDsA8DKIm22ciSJtGPFP3jd0dKtmy3WR6dU/tE8niP3z1IdfxysyhgJZpWVuXEYrZjgSizKpflbGIt1fQitl6+eDaeiWom0obDtGoWXE0s33at3T4c2a5Hm2U+sUKRO4EzjS+4iz++G2cXaZQHF26W+WniRNMgSi2ATSufl9V7vhBtzTNxnc3Fgl9VGVda5lyp+vlotF6v7V67XTWz0WyW2ps2twAtL9uJ1T08R3F7m9aeZncdh43+fHdlxF/IslW8zIQF5NVSvnh2Ml7LMq/WsJa5mk+sJAksmAs5m6OboRNbMCKmGn2tRabkSrS4dTDUPqtFbWk2XtL6iXmCYuuOBblcyVw0E8uxWeInkR9HvhexOEjcxIKqkaJUHTPrlI56ceOVFGsjl560St9JIoyBbGVaiIk15UWLbsly2iCkaFGzxGGrbguR8qYf7wxi5/iHDPKLIFkYO4MDIhB45yxJziPHOQ8Cx9gyVGyBqqpCS3UgSODrV3Ad14FzIswQF0kYmiXHzDmeIa4hviGB4fHNdt+w+obHNzy+d4ef3XjnaDex52nvpzf0k6F/9A3xqwE48DMe+MnIia/AyHpNPCC7mbafiN8NQzOMNGGOIaxbjOlH4xU+0SPvUR6xgVaTDw9R2quMwuT+Kt2nqNx6iQVzrNINvuPlE8HdKg0G0KIu/U9/j1R67kNUHpXiIzSG/lNq/xEKI2ev7PuaN5R19C4YfphR41HfDcedQdDOibfLLyUWLZnoJbo5AYMAizeMsJcEwBIkERWxCywAP8AhiyEkGoFHdeuDBzEQH/NAt6Agxh9f13QIAcqiycgUN3g+BB4w3bh8QBRANz/ExPWQIwggwE2knZFaLwQ/xIEXg48GUtuLqLV4uA/HqNwFj4FHe1kEbgihCxG1TuZTRw1jsh2FuhA6ENJW7J3YN03PxB0xeOQNVkFdtXIL7lwU9TYqGkdZ1ku1h122yPtHVR1w51V28+oAa8Fb1T8jEx5Yu3PRHGB7x+bJuOCpKPBycU1pALDiBVW5lj+tSgV9Crhmbtbwei6z9loohbta+MxX/IorsXmD3G1voFatT/OxWGaFzCUv/8AcIREkEPrDXbeu/nD3g05zVlVNfn3bYuLA5i/RVNi2IjsOhx8st1uzhBcaOxl+MG8zThnPPNsbfhD0227JDe19cZ1qsdq6xjei7bGcNVRyHfo0eNu+qordVF3JUr3mtVo2+qaGjbIhpy7LWSE0tjrkeOfJbtJqc21A9YysT7c1jhxjQDp7XRVVA1iQboA3n1lHU0M1D1m25XI0j6M5nD5KMt+us8TVHJqmhmouDLsxrfOU9W4yp1cjW91qUPgwyXTO0A1qWUp11Q+UzG52nhL/++UixXTrtu2LZD9I5Hh0kGDjG9GUojBpVGIkl9WyNXm9zc2T8bIVH7maX5b5b2KGBfmRU09UKNqw7izORSYXuNHMd9BxCuvvaKqZzcWsEb2Hhb4aG2D1qjNM6qNpLepNUy3elqtPmDMHpo5HvT/jNmtkTakJKTbpG7HLvly2HFt8PtyHzrfoRUbtBoFUBOIrMa2KmxJFWMCXal5hevxs/4oCsIIxaeEdRwBcBxOTKndTN6KlFwoTHkDx2GE21IZON2cwgdD24Sc4De0YRjQ4+/t0Q09n2gJRiAVeoUHp9J4uS23LNtZTfT+noEKVfsaWdJALuxDg8lFN9PkOvKjnnO7wHZ4FvxXNHsJa3ofptBUKNugl9uHbiXURuoPld1UuDiKMUdfYYReq9TsCZmAthMld1ZUs1KhPV/wguXaFpbBX3uAbQ6vvXdtN9PCLzHOhDwKTxQasI9hI1hYS/ijIhg1Cw/dgyLAva8i85P+CTBdHS7rIKlKmX32/oFK2s/PBuGI//6c0W1rTRzB9C5lJdYh6Vi0WvMyh1FejtyW1AgTY2h3L3NH5zxnFAbg7sU5932ZhHCcBvqN6ScICHy8FzlkXgqXqt10abZ2Ooxjrw2MbxMtHBTmMdZSJpIbcM8q7MDqHoTh2z0TG6ULDetHaATrT9u4PZvag4X0f8w8NNqRZVfLiinJ+H/hLA/zmEs+PI3jTu+HdK6H0P9Ad5OT3auj+TecObC9Yl+c9mN8A+x5Jz4J7Zb1cfDvrR8NTQt/Zuv/ZefEvUEsHCJcuL8RmBgAAiRIAAFBLAQIUABQACAgIAMazY0LWN725GQAAABcAAAAWAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAABnZW9nZWJyYV9qYXZhc2NyaXB0LmpzUEsBAhQAFAAICAgAxrNjQpcuL8RmBgAAiRIAAAwAAAAAAAAAAAAAAAAAXQAAAGdlb2dlYnJhLnhtbFBLBQYAAAAAAgACAH4AAAD9BgAAAAA=" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />

Testa själv

Rita dessa funktioner i GGB:

y = 1 / x är diskontinuerlig

y = lg(x)

y = x^0.5 (roten ur x)

y = (x + 2)^0.5 (roten ur x)

Exempel 1

Sök lösningen till 2/x = x + 1 genom att lägga in de två funktionerna i GGB.

Logaritmer på andra baser

Om du tänker på logaritmens definition så inser du kanske att logaritmen kan definieras för andra baser än tio som vi jobbat med. Du ser exempel här bredvid.

Repetition

Sammanfattning av kap 3

Denna sammanfattning innehåller det viktigaste från från Wikiskola som berör kapitel 3.

Sammanfattning av kapitel 3 i Ma2C

Övningar

Du kan printa denna!

Litet test på funktioner och logaritmer

Khan: Logaritms 1
Blandade repetitionsuppgifter funktioner Ma2C
Gör denna övning
Bruno Kevius om logaritmen. Läs även andra sidor som kan vara nyttiga.
Gör testet i boken och sedan blandade uppgifter.

Uppgift

Gör tre egna provuppgifter

Gör tre uppgifter som passar till ett prov på kapitlet. Minst en uppgift ska vara av C-svårighet. Gärna en A-uppgift

Skriv i Pages och använd samma mall i er grupp.

Sedan lägger ni ihop alla era uppgifter inom gruppen och skapa ett prov. Gör en snygg överskrift. Ange era namn. Sortera uppgifterna på lämligt sätt. Vid varje uppgift ska det framgå vilket betyg man kan få på uppgiften.

Mejla mig när ni är klara så publicerar jag och delar med de andra klasserna.

Film

Det finns hur mycket som helst nu. Ett exempel som jag fastnade för därför att det är en enkel sak som vi inte gått in på fast jag vet att några av er använder det.

PolhemsJocke är en ny bekantskap:

Prov

Exponentialfunktioner och logaritmer