Matematik 3C

Från Wikiskola
Hoppa till navigering Hoppa till sök

Länkar

  • Roger Bengtsson har en sajt på wikidot. Den är CC och innehåller mycket bra förklarande texter, mm.
  • Daniel Barker har en sajt med flera kurser på gy 11 och gamla gymnasiet. Här är Ma3c. Daniel är en föregångare på flipped classroom. Det är fritt att läsa och använda men inte full CC (dvs du kan inte själv gå in och ändra).

Trigonometri

Lektion 1 - Algebra repetition

Uppgift
Repetitionstest

Skriv formler eller algebraiska förklaringar för detta:

  • kvadreringsreglerna
  • formelhantering: Vad är [math]\displaystyle{ R }[/math] om [math]\displaystyle{ I=\frac{U}{R} }[/math]
  • pq-formeln
  • Pythagoras sats


Läxa!

  • Räkna uppgifterna på sidan 9.
  • Titta även igenom innehållet till lektion 2 här på wikiskola.


Lektion 2

Load video
YouTube
Load video
YouTube
Load video
YouTube

Trigonometri grundläggande

CC By
CC Wikimedia.org

Andra länkar om trigonometri

Definitioner:

  • Motstående katet
  • Närliggande katet
  • Sin v = motstående katet / hypotenusan
  • Cos v = närliggande katet / hypotenusan
  • Tangens v = motstående katet / närliggande katet

Digitalt

Definition: Ta reda på vinkeln

Om y = roten ur x så är 'y2 = x. Dessa två hänger ihop och den ena kan ses som den omvända av den andre. Detta kallas inversen, den inversa funktionen.

På samma sätt som det finns en invers funktion till kvadraten på ett tal, nämligen roten ur så finns det en invers funktion till sinus och cosinus. 

Om sin v = a/h då är v = arcsin(a/h) eller sin-1(a/h)
Om cos v = b/h då är v = arccos(b/h) eller cos-1(b/h)
0ch på samma sätt för tangens

Den rätvinkliga triangeln

En rätvinklig triangel med hypotenusan c och katetrarna a och b.

En rätvinklig triangel är en triangel där en av vinklarna är 90 grader. Sidan som är motsatt den räta vinkeln kallas hypotenusa och de två övriga sidorna kallas katetrar.

Om ytterligare en vinkel är känd i en rätvinklig triangel är även den tredje vinkeln känd då en triangels vinkelsumma är 180 grader. Trianglar som har samma uppsättning av vinklar är likformighet|likformiga. Detta innebär att om man känner till en vinkel i en rätvinklig triangel är även kvoten mellan sidorna känd. Dessa kvoter ges av de trigonometriska funktionerna för en vinkel A, där a, b och c syftar på sidorna i triangeln i bilden till höger enligt:

  • Sinusfunktionens värde för en vinkel är kvoten mellan motsatta sidan till vinkeln och hypotenusan:
[math]\displaystyle{ \sin A = \frac{a}{c} }[/math]
  • Kosingsfunktionens värde för en vinkel är kvoten mellan närliggande sidan till vinkeln och hypotenusan:
[math]\displaystyle{ \cos A = \frac{b}{c} }[/math]
  • Tangensfunktionens värde för en vinkel är kvoten mellan motstående och närliggande sidas längd:
[math]\displaystyle{ \tan A = \frac{a}{b} = \frac{\sin A}{\cos A} }[/math]

Med dessa funktioner är det möjligt att (givet exempelvis en sida och en vinkel) bestämma alla sidor och vinklar i en rätvinklig triangel.

Texten i ovanstående avsnitt kommer från Wikipedia.se

Ma3C: Trigonometri, sidan 10

Läxa! Lös uppgifterna 1201-1207 och gärna fler.

Flipped lesson: arbeta igenom innehållet till nästa lektion innan lektionen. Det vinner du på!


Lektion 3 - Fasta värden

Load video
YouTube

En halv kvadrat

[math]\displaystyle{ \sin 45 = \frac{1}{\sqrt{2}} }[/math]
[math]\displaystyle{ \cos 45 = \frac{1}{\sqrt{2}} }[/math]

En halv liksidig triangel

[math]\displaystyle{ \sin 60 = \frac{\sqrt{3}}{2} = \cos 30 }[/math]
[math]\displaystyle{ \sin 30 = \frac{1}{2} = \cos 60 }[/math]
[math]\displaystyle{ \tan 30 = \frac{1}{\sqrt{3}} }[/math]
[math]\displaystyle{ \tan 60 = {\sqrt{3} }[/math]


Läxa! Lös uppgifterna 1218-1223 och gärna fler.

Flipped lesson: arbeta igenom innehållet till nästa lektion innan lektionen. Det vinner du på!


Lektion 4 - Enhetscirkeln

Load video
YouTube
Enhetscirkeln intro
Load video
YouTube
Enhetscirkeln del 2
Enhetscirkeln. Koordinaten för en punkt på cirkeln kan beräknas utifrån vinkeln t med hjälp av cosinus och sinus.
Enhetscirkeln. Koordinaten för en punkt på cirkeln kan beräknas utifrån vinkeln t med hjälp av cosinus och sinus.
Ma3C: Enhetscirkeln, sidan 16-21


Det handlar om trigonometri och cirklar.

En enhetscirkel är en cirkel i planet med radie 1. Ofta talar man om enhetscirkeln och avser då en enhetscirkel med mittpunkt i origo. Av Pythagoras sats följer att enhetscirkeln kan beskrivas i kartesiska koordinater som mängden av punkter (x, y) sådana att x2 + y2 = 1. I polära koordinater blir detta den trigonometriska ettan.

För att beräkna de kartesiska koordinaterna (x, y) för en punkt på enhetscirkeln som befinner sig vid vinkeln t mätt från x-axeln kan man använda cosinus och sinus:

[math]\displaystyle{ x = \cos t \qquad y = \sin t }[/math]

Texten i ovanstående avsnitt kommer från Wikipedia.se

Geogebra

Malin C om Enhetscirkeln.

Viktiga samband

<ggb_applet width="494" height="351" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />

[math]\displaystyle{ x = \sin (180-t = \sin t }[/math]
[math]\displaystyle{ \cos (- t) = \cos t }[/math]

Dagens mentala kliv

  1. De trigonometriska funktionerna fungerar för vinklar som är större än 90o. De gäller inom hela enhetscirkeln.
  2. Cos t = x-koordinaten och sin t = y-koordinaten.
  3. Även det omvända gäller. Enhetscirkeln kan hjälpa oss förstå de inversa funktionen sin-1 och cos-1 som att man utgår får ett värde på axeln, går ut till cirkeln och mäter den motsvarande vinkeln.
Animationen visar grafen för funktionen y = sin x. Vinkeln är i radianer (där 2 pi motsvarar 360o

Trigonometriska ekvationer

Det trigonometriska ekvationerna har ofta flera lösningar.

Fördjupning: Här är en lösning till ekvationen sin v = o.5 i Wolfram Alpha. Den visar två lösningar till ekvationen (samt fler om man går ytterligare varv runt enhetscirkeln).

Övrigt

Konstigt facit: Bry er inte om bilden i facit till 1301.

Tänk! Öva matte på Mattecentrums_räknestugor


Javascript och spel Kod: CC By SA spelprogrammering.nu

Intro Javascript_och_spel

Läxa! Lös uppgifterna 1301-1309 och gärna fler.

Flipped lesson: arbeta igenom innehållet till nästa lektion innan lektionen. Det vinner du på!


Lektion 5 - Triangelsatserna

Grader och radianer

360 grader motsvarar 2 pi radianer.

Öva på Khan: Omvandla mellan grader och radianer


Här finns material att hämta... http://en.wikipedia.org/wiki/Trigonometry

Areasatsen

Load video
YouTube
Areasatsen

[math]\displaystyle{ \mbox{Area} = \frac{1}{2}a b\sin C. }[/math]

Flipped lesson: arbeta igenom innehållet till nästa lektion innan lektionen. Det vinner du på!


Lektion 6 Sinussatsen

Load video
YouTube
Sinussatse

[math]\displaystyle{ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} }[/math]

Flipped lesson: arbeta igenom innehållet till nästa lektion innan lektionen. Det vinner du på!


Lektion 7 Cosinussatsen

Load video
YouTube
Cosinussatsen

[math]\displaystyle{ c^2=a^2+b^2-2ab\cos C ,\, }[/math]

Lektion 8 Problemlösning

Flipped lesson: arbeta igenom innehållet till nästa lektion innan lektionen. Det vinner du på!


Lektion 9 Cirkelns ekvation

Load video
YouTube
Cirkelns ekvation
  • Läs första sidan
  • Koden ovan anropar en funktion som heter circle och som finns i ett bibliotek på sajten spelprogrammering.nu. Undersök hur funktionen ser ut.
  • Ritas cirkeln på så sätt som i matteboken?
  • * En cirkelbåge som går 360 grader är praktiskt. Det kallas polära koordinater.
  • Kan vi gå tillväga som i funktionen för triangeln och skapa en cirkel med vår formel från matteboken?

Testa funktionen i GGB.

Javascript och spel Kod: CC By SA spelprogrammering.nu

titta på funktionen cirkel. Sid 5 i boken spelprogramering.nu.

Gränsvärden

Introduktionsföreläsning i två grupper

Vad händer med uttrycket när x närmar sig 4?

Lösning i WolframAlpha: http://www.wolframalpha.com/input/?i=lim+x-%3E4+f%28x%29+%3D+%28x%5E%280.5%29+-+2%29+%2F+%28x²+-+5x+%2B+4%29

Lösning i tabell-GGB

<ggb_applet width="959" height="351" version="4.2" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />

Grafen

<ggb_applet width="730" height="323" version="4.2" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />

Lars Adiels är lärare på Norra Real och har skapat sidor om gränsvärden



Här kommer text om gränsvärden.

Upplägget.

Motivering.

Omgivningar.

Intervall

Om vi tänker oss alla tal mellan två tal a och b så kallas det ett intervall. Det finns intervall av tre typer. Öppna intervall, slutna intervall och halvöppna intervall (se figurer). Här gör man så att man ritar öppna cirklar när punkten inte ingår i intervallet och fyllda cirklar när det ingår. Intervallet [math]\displaystyle{ ]1 ,4[ }[/math] är alltså ett öppet intervall dvs 1<x<4. Det indikeras av att hakparenteserna inte sluter om.

På samma sätt är [math]\displaystyle{ [0.5 , 5] }[/math] slutet.[math]\displaystyle{ ( 0.5\le x\le5 ) }[/math] och de två sista intervallen halvöppna.

Alltså

Definition
Ett öppet intervall ]a,b[ består av alla tal x mellan a och b utom a och b ; a<x<b


Facit: (klicka expandera till höger)

Uppgift

Uppgift
lägg också in intervallet nedan på en ytterligare tallinje
[math]\displaystyle{ \pi\leq x }[/math].

Tänk! Detta är ett halvöppet intervall som man också kan skriva ::[math]\displaystyle{ \pi\leq\ x\lt \infty }[/math]


Oändlikhetsymbolen [math]\displaystyle{ \infty }[/math] kommer att förklaras mer senare.

Inre punkt i ett intervall

Om en punkt A finns inne i ett intervall kallas den inre punkt i till intervallet.

plats för figur

Definition
En punkt A som ligger ligger helt inne i ett intervall kallas inre punkt till intervallet.


Tänk! Bara punkter A som uppfyller [math]\displaystyle{ a\lt A\lt b }[/math] är inre punkter till intervallet [math]\displaystyle{ a\leq A\leq b }[/math]



Uppgift
Vilket eller vilka av talen [math]\displaystyle{ 1 ; 1.414 ; \sqrt{2} ; 3 ; \pi }[/math] är inre punkter till intervallen
  1. [math]\displaystyle{ ] 1.414 , \pi ] }[/math]
  2. [math]\displaystyle{ [ \sqrt{2} , \sqrt{10} ] }[/math]

Facit: (klicka expandera till höger)

Uppgift
1 [math]\displaystyle{ \sqrt{2}, 3 }[/math] därför att 1.414 ingår inte (öppet) och [math]\displaystyle{ \pi }[/math] är inte inre punkt! det är endast en (kant)punkt ett slutet intervall
2 3 och [math]\displaystyle{ \pi }[/math]

Omgivning

Definition
Om en punkt A är inre punkt till ett öppet intervall U kallas U en omgivning till A

Ofta kommer vi att använda symmetriska omgivningar till en punkt som [math]\displaystyle{ A-\epsilon\lt A\lt A+\epsilon }[/math]

där [math]\displaystyle{ \epsilon }[/math] är ett godtyckligt positivt tal > 0 (ofta litet) tal. Det kan också skrivas [math]\displaystyle{ ]A-\epsilon, A+\epsilon[ }[/math].


Uppgift
Uppgifter på omgivningar



Punkterade omgivningar

Ibland undantar man A från själva omgivningen till A då kallas det en punkterad.

Definition
De sammanslagna intervallen [math]\displaystyle{ P_-= \rm{A-a\lt x\lt A} }[/math] och [math]\displaystyle{ P_+=\rm{A\lt x\lt A+b} }[/math] kallas en punkterad omgivning P till A

Det kan också skrivas så här: P är alla x som uppfyller [math]\displaystyle{ ]a,A[ och ]A,b[ }[/math] där a<A och b>A


Tänk! Observera intervallen ovan är öppna

plats för figur

Uppgift
uppgifter punkterade omgivningar


Vänster och höger omgivningar

Oegentliga gränsvärden

Gränsvärden.

Alternativa definitioner.

Facit till vissa uppgifter

GeoGebra

Tangent och sekant

<ggb_applet width="1368" height="621" version="4.0" ggbBase64="UEsDBBQACAAIACutLEEAAAAAAAAAAAAAAAAWAAAAZ2VvZ2VicmFfdGh1bWJuYWlsLnBuZwHiBx34iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAAMgAAABmCAYAAACOTt4AAAAHqUlEQVR42u2dsWsUWRzHF0mZxs5SUoQlZUA0bIpoEUihf0EqsfDAIoKFhYEUgilCkJDCwiKFhYUcsgbWQkgghUWQQAznHuHOvQjnkhThLnd4ukt+53cnL85OZndmd9/Mvvfm+4Fhk/h23Lczn3m/33tv3uQkAY6Pj6VUKjVeCbGZXBI73dvbk+3t7cYrIRQkhJ2dHX67hIJQEEJBKAihIBSEEApCSJqC5HK5xqbI5/MUhFCQoCBqq1QqFIRQkFYUCgUKQigIcxBCQSgIoSAUhBAKQhrMzc3J6uqqbG29O/3bwsJCo4Pl4OCg8fvw8HDzSXLSS+nvjPH/DtR7KQgFsZrl5eXG67ev/zUJMDIyIkNDQ02CbG5uNgly5coVOXfuXKgg6r0UhIJYzW+7v8rB/p9y9NchvwwKQkifBQmOpM/OzlIQgymXy7K+vi6fPn3il5GmIGqrVquNg0BBzGRxcbFxfCoffw9NvINJuT8Bz2Kyrj3EmpycZAtiMMWXP0vt21f595+/zwgRTMoHBgaaEvAsJuvaBSkWixTEEUZHRxli6d5hvV6nIISCREFBCAWhIISCUBBCQSgIIRSEkJQFCQ4yDQ4OUhBCQYKC+LdarUZBCAVhiEUoCAUhFISCEEJBCKEghFAQQigIIRSEEApCCAVpmnZCQeLz+bPIxobI8+dYtwqLu4k8eCAyM+P9fP++yL173s8LCyIrKyJrayK7uyK1Gr8/6wTBRkHC2dryJMBJDwmw4ffXr0XevxeJWmwEayJADAjy9OmPfWB/kAd/Pzri98wQyxI+fhR58uSHEC9eREvQLYeHnmgPH3r/H17fvuUxoCCGgSv8/LwXFkGOfi1BhZYEQio5EcYRCtK3kxEhj5LCtOWhvnwRefnS+3xoWbhuHAVJrbVA8owNOYQNQN7Hjz1ZkLMQCpJIso0TDAm2rUkxesDQqty5472yR4yC9Azi+Fu3vK5Wl04otCQu1ouCpNxiuH4CQRSMv6BFIRQkEgziqcQ7S1fWN288UU6W66UgvTA2Nnb68/j4uBOCQAYMvKHH5zCjz5rBd4CeOXQTO/qEtXQEuXz5srezXE5KpZL1giDMQOL64QNDDIALBCSBLBQkwyEWTgSEU8+eUYowEG7dvp2tCwcFOUGNOGc1lOgk7MIYCmYKZCEny7wgqtVYXeXJ3wloRdCa2DI4SkG6QPXUsNXovjVBRwZaFArikCA4sJgawlxDb26CLnEKYrkgmDuFg4lXog9Mt0Goiun2FMRSQZCIY9o3p1IkB2YaYOzIle84E4LgYEEMTp9IByTuyO1cCLmcFwQHiSFVf0IuSGL7HY3ap5rk83ljBMHBwUHiPdr9Az1cCLsyLYh/qkmlUjFCEPRQYTCL9B90p2MQ1sa8RHuIVSgUtAiyErjs3Lx5UyYmJpr+fSXk0qTyDdd6U2xH9R7aNuZkbA4yNTUl09PTp79DDv/f8DO2YNzLSYZm5yW2HR9jBUHroGSAHNj8fwu2IFhex9XBKpdAC49wC2EXBUkJjORikIrjG/aAG9BsSN6tF+TSpSm5cWOJZ5yFYFzK9I4UqwXBDTzXrt3+HtuyH9dW0BVvcutvrSC48nCKuhughwvJu4nXOesEUd24XEbTLdC5AklM62TRPpI+OzubmCBq+gK7cd1EdQObNC1I+0h6tVqVcrmsXRB8eVjYjN24boMIwaSxEu0h1uTkpPYWxNTmlyQnCW5oMyGM1i5IsVjUKgikQMvBjqrsAUn6vbi2dkHq9bo2QdDMouXgAGB2weLguNHNGUEUvQpCOYgJkhgpCGJPl27bJL2DUXeIknlBIAfGOQgJglYkbUmMEoRyENMkMUYQTH92eQEyog9cSNOa5GiEIP1oOon9kqQRbWifajI4ONiRIJSDmCyJ9qkm2Gq1WixBKAcxXZK+hViUg9ggSV8EoRzEFklSF4RykCQlwQCztYJQDpI0mKKksws4NUEoB7FRklQEwTwarqxObJREuyBqTEQJkpYcw8PDPCuIdkm0C6LGRCBImi0HBSE6Jdnb25Pj42PJ7e/vf8/+NxondJwtbtmZmTVZWvpD6z7Dyl24cKFxm6/OffZSLsv7NLU+r17tyt271Y72ub29LaVSyWtBIElc4pRFq/Ho0S9a99mqHJ5HgoUidO6zl3JZ3qfJ9fG3JHH2edqCYGpI2LI9Z2KxQDk15ypMDmz+JN3/vlY5S7t9Bsu1+oxhZdUDfaLKjY+Pt49FT6bRdFKmVX2C5drVJ1i2VX2C5aLqE/V9h5WJKu//93Z18pdrd3z85eLU5+LFi5Hh1vnz8x3VP+fPG/zL9rTLL/xzrsLkCPZiqfd1s8+wcu0+Y7CseqBPVDk0p3FO/naS+Mu0q0+wTLv6BMu2qk+wXFR91HtqEbdtqjJRxydYNqpOqly74+MvF6c+169fjyxz9epPjZYkTn1Ck3S1bE+nBBPyJJce7eQzqgf6mIxr9emkTv2oTyeJ+xlB1LI9vciRtCDdfEaTca0+NtQJksR5LNwZQdSyPb3IkbQgnX5G03GtPrbUKc7KOT2Ng+AhKK3GOUx6Tjoh3UrStSBRaxVREOKCJLkk5KAgxBVJcknIQUGIK5LkkpCDghBXJPkfc7+2AYbjfKYAAAAASUVORK5CYIJQSwcIPWWxB+cHAADiBwAAUEsDBBQACAAIACutLEEAAAAAAAAAAAAAAAAWAAAAZ2VvZ2VicmFfamF2YXNjcmlwdC5qc0srzUsuyczPU0hPT/LP88zLLNHQVKiuBQBQSwcI1je9uRkAAAAXAAAAUEsDBBQACAAIACutLEEAAAAAAAAAAAAAAAAMAAAAZ2VvZ2VicmEueG1szVlrb9s4Fv3c+RWEBli0QGyLb6njdJAUGGyBzANIdzHYLwtaom1NZEkr0Y49mB+/l6Rsy49k7MQtCiShJF7y8p5zX1KGPy5nOVrousnK4jrA/TBAukjKNCsm18HcjHtR8OOH74YTXU70qFZoXNYzZa4DZiWz9DqQWsWSRrpHaSJ7jOu4F2kW9gRhNIxliKWOAoSWTfa+KH9RM91UKtH3yVTP1F2ZKOMUT42p3g8Gj4+P/bWqfllPBpPJqL9s0gDBMYvmOmgv3sN2O4seqRMnYYgHv/9857fvZUVjVJHoAFkT5tmH794MH7MiLR/RY5aaKRhMBZxuqrPJFIySkgZoYKUqQKTSickWuoG1nVtntJlVgRNThZ1/469QvrEnQGm2yFJdXwdhH9MIcxnFTII2RjAJUFlnujCtMG6VDtbbDReZfvT72iunkgXIlGU+UnZL9NdfiIQkRFd2wH4gMAjhp0L/LKR+IH5gfuBehvnlzIsyL8O8DAMgFlmTjXJ9HYxV3gCGWTGugb/NfWNWuXbnaR9szcdXYFOT/QnCNARH8aDD8zC8sr8CfpmdGOwaiTtaTT0/U+laJcZCnq6TvEYn3eiM4kOVhD9hpngGXX+Gk+zkHWhBlftxvwcaKTlDo79/nULBvoqJw8E6VIZtdKBmamVbJo2eNTZeaIx4bN0eIw6xISR4OUc4hkESBNGAMEeMwy2OkLCjRFTCBEMURcjKYYpccPAI/jDpNhOIw2b2qYSYRBgUMcQpwi6mGIJIQi4uIUYJBQnOEYdFVj0mdgsqEBNwRyPE4Iw2JCUGQQoL4R7UE0QxonYxlogIJOx+mNlQF5E9OmxJkAiRwHZDiGqIaB/NIB8haq0RLVxZUc3NDkTJLF1fmrLacAHSkI+2ac/np52s+GaYq5HOoVLcWyYRWqjcRoRTNC4Lg1oSSeifTWpVTbOkudfGwKoG/aEW6k4ZvfwJpJu1bieblEXzW12aj2U+nxUNQkmZh5szlznuXJPNqeGGdiZYd4J3JkTnWh7VW8IMmjca9Jd1sxZXafrJSmxTAyD5a5GvbmutHqoy2zVjOHBFZ6jnSZ6lmSr+Dc5qtVhc0KYGuXS1rkE8luuTlHV6v2rAhdHyP7oubbUifS4oCSmnJCLCVpKVn+Ik7kseEhrFHEuXv5tE5S4Bsz4PYxxFUopIMA6+sDo+J7xmvdgwpJZ6Y/yktoHdGm5vPjW3Zb595Mz/qCozr133AEeorU03xSTXzkVcYENpTh5G5fLeBzj1e31eVXDXOspo4mBHkBoI5yDQjiM/Ohl7so1U6GRCJ7FxtizdzOOYOAk3jvzopMB7/dFaS/HaTByu1WSNS2hhsBM2zvVtnZ8Xmblb35gsedhaauV/mc9GeuNAu1viC205HOw52PBB14XOW38GJuflvPHh2XH1VCfZDG79RAuIsmT9Cw7gn6Z6Uuv1uXPXl3m43GzY9dSDx26rn+py9qlYfAZP2DvAcLA+5bBJ6qyyDodGUAMe9Nan0qxRUELS7jobgGB6YksFwGNc4QZl0FABu2pupmXtOjDILDC6pq+sH5qp1uazXhqkRuUCZv7xPQ5/cH/AJ3RuiXD762VV68Y2xJ4SBMqhK17a5Ph2+Q5dQ1or4MIL53oGipFx/jueF+5YGzLHTr1lDZWjPyB17pHdoQPmj/qz83yVV1Nle8kW21ytdL2Dttvw5zLd5wAodkBBHqlcMwpOVGnt3c+0UYcq2NAFbedA29gwkLUfoDUFnxOdRfbin1maalexvSN6OBxLs5kqUlS4iv+bzQ3BtgIpyOXLGwiE1va5WT9N/Ebt8gOEXZLZwJf8DbzboHsK3fALY4uPY+tCpkFLu4rFMmaEhTimDEeSQ+e08sdBf/pXMv9KYi23SXOnzvqne7F3CR7MOTyYk3mA4E0zD5otna3w5CmScEi+DZpwn/AYxwIzxiISYhZ9QZbuIPL2SEoAAOh5Vke5Us9zZQN5Q4U6pGrdfp+ckl7BxhbRnvvY0MHwWCQ8nYjIc4kIepj/FX5J42tnNqvyLMnM2cCb54AfnQH86JsF/ohvf2XcPxUGOhrAZA/8sQdfwQBN/tsjHnKF4CE0r9DCYmiJCROSiHcHRN2ck81uXlRV7BvvxA8jP5xI1a/jcaONY8Z+fwJievwok/T02nEAyYuzFOiDlt6mT/fsbXI1fpu8e/cqPkctn4eOZ+mEF5iIMbilMQ8jGR+yeXsOm7eXr02XoJq3VGN6GtdPFqB9uC7GtAGmzUuZVp7p473Fx3P4+/iyFvrFHD2TOZ+Kt95XawNuPKy3B5CmZ1Si9HREz23XrFdfrE7ZNMYI4TSKOKQwEorW5SG3wVOY40xGRBKHPYhjIhknWMaSRJTE5Lk6xr5EHfvsX0OPkzY+IE2fQZp+LWnTQ9LWH1cu2VyE/UhGXEgsIs7CmEnsSMNthNhQgfBhJBZC8EiIOL4cSfCOfgJJ93lZ7cdVesDN7HluivlM11mygX/mNgRM5mtk+oKQmFNsa3AkaNw2sxctRC7egECODxjEJzJ48CHs1F7vPID1IcD/xWdCDAsOQD5wtleCfCRKvhWQd9EZlWWu1fZL02Qfm05C+DofSLbNjSS+uZHk2aTR7TbudaLANlfyzrJ7+g3ajcPns2XX8LZkHLV80P3U6f6d0P5v/MP/AVBLBwgkotXC0gcAALgfAABQSwECFAAUAAgACAArrSxBPWWxB+cHAADiBwAAFgAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAZ2VvZ2VicmFfdGh1bWJuYWlsLnBuZ1BLAQIUABQACAAIACutLEHWN725GQAAABcAAAAWAAAAAAAAAAAAAAAAACsIAABnZW9nZWJyYV9qYXZhc2NyaXB0LmpzUEsBAhQAFAAIAAgAK60sQSSi1cLSBwAAuB8AAAwAAAAAAAAAAAAAAAAAiAgAAGdlb2dlYnJhLnhtbFBLBQYAAAAAAwADAMIAAACUEAAAAAA=" enableRightClick="false" showAlgebraInput="false" enableShiftDragZoom="false" showMenuBar="false" showToolBar="false" showToolBarHelp="true" />

Övning gränsvärden

<ggb_applet width="1368" height="621" version="4.0" ggbBase64="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" enableRightClick="false" showAlgebraInput="false" enableShiftDragZoom="false" showMenuBar="false" showToolBar="false" showToolBarHelp="true" />

Arean mellan kurvorna

<ggb_applet width="872" height="474" version="4.2" ggbBase64="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" enableRightClick="false" showAlgebraInput="false" enableShiftDragZoom="false" showMenuBar="false" showToolBar="false" showToolBarHelp="true" />

Ser fram emot detta. --Håkan Elderstig 28 augusti 2012 kl. 21.15 (UTC)

Derivator

Provkarta

Denna sida är ett slags provkarta på vad wikiskola har att erbjuda och visar olika typer av delar som kan ingå i en sida. Här finns bilder som ligger på wikimedia, formler som kopierats från wikipedia, filmer, GeoGebra, en quiz och en widget från Wolfram Alpha. Det finns mallar för exempel (blå), definitioner (rosa), länkar, (bruna), uppgifter, (gula), bokhänvisningar (lila), tänkare (orange) samt Khanövningar (gröna).


Embed:

<a href="https://wikiskola.se/index.php/Matematik_3C">Click to open the embedded page at Wikiskola.se</a><iframe src="https://wikiskola.se/index.php/Matematik_3C" style="width:1200px;height:800px;border:0px;" frameborder="0" scrolling="yes"></iframe>


Problemlösning med derivatan

Detta är en sammanfattning som introduktion till avsnittet om derivator. Den innehåller ett fysikproblem med en måsjägare.

3.2 Derivator

Använda derivatans definition

Deriveringsregler för polynom

Tillämpningar på derivata

3.3 Derivator och grafer

Rita kurvor med hjälp av derivatan

Största och minsta värde

Derivatans graf

Andraderivatan

Maximi- och minimiproblem

3.4 Merom derivator

Lite Algebra

Derivatan av potensfunktioner

Diskontinuerliga funktioner

Diskreta funktioner

Inflexionspunkt och derivata

Tillämpningar (ej i Liber)

Derivator kommer till användning på många områden inom naturvetenskap, ekonomi, mm. Här kommer ett exempel från fysiken.

Exempel
Tryck

Antag att [math]\displaystyle{ p(h) }[/math] betyder lufttrycket (i pascal) vid höjden [math]\displaystyle{ h }[/math] (i meter) över havsnivån. Då kommer derivatan [math]\displaystyle{ p'(h) }[/math] att ange hur mycket trycket ökar per meter i höjdled. Derivatan får alltså den fysikaliska enheten pascal per meter. Eftersom trycket i själva verket avtar med höjden, kommer alltså derivatan att bli negativ.

Texten i ovanstående avsnitt kommer från Wikipedia.se


Derivataquiz

1 Derivatan av 2x3 är:

x2
3x2
6x2
x3/3

2 Derivatan beskriver hur något förändras.

Sannt.
Falskt.

3 Derivatan anger hur krokig en kurva är.

Sannt.
Falskt.

4  

Den svarta kurvan illustrerar en godtyckligt vald funktion.
Vad kallas den röda linjen?

5 Förändringen mellan två punkter ges av att [math]\displaystyle{ {\Delta y = 200} }[/math] och [math]\displaystyle{ {\Delta x = 3} }[/math]. Vad blir lutningen?



Läs mer:
  1. Bruno Kevius om derivatan
  2. Matteboken Matte C har innehåll om derivator
  3. Matteboken Matte D
  4. GGB-övningar i mängder. A-nivå


Prov

Integraler

Kan man tänka sig någon trevlig frågeställning som ingång till integralerna?

Hämtad från ”https://wikiskola.se/index.php?title=Matematik_3C&oldid=16530”