Gränsvärden
Här kommer text om gränsvärden.
Upplägget.
Motivering.
Omgivningar.
Intervall
Om vi tänker oss alla tal mellan två tal a och b så kallas det ett intervall. Det finns intervall av tre typer. Öppna intervall, slutna intervall och halvöppna intervall (se figurer). Här gör man så att man ritar öppna cirklar när punkten inte ingår i intervallet och fyllda cirklar när det ingår. Intervallet [math]\displaystyle{ ]1 ,4[ }[/math] är alltså ett öppet intervall dvs 1<x<4. det indikeras av att hakparenteserna inte sluter om.
På samma sätt är [math]\displaystyle{ [0.5 , 5] }[/math] slutet.[math]\displaystyle{ ( 0.5\le x\le5 ) }[/math] och de två sista intervallen halvöppna.
The last editor of this page did not have the right to Embed PDFs into pages.
Alltså
| Definition |
|---|
| Ett öppet intervall ]a,b[ består av alla tal x mellan a och b utom a och b ; a<x<b |
| Uppgift |
|---|
| Rita tallinjer i och lägg in intervallen 2<x≤3 ; 4<x<6 ; 1≤x≤1.1 Du kan rita på eget papper eller trycka ut detta papper Fil:Mmpaper.pdf. Eller så kan du rita i GeoGebra |
| Uppgift |
|---|
lägg också in intervallet på en ytterligare tallinje
|
Symbolen [math]\displaystyle{ \infty }[/math] kommer att förklaras mer senare.
Inre punkt i ett intervall
Om en punkt A finns inne i ett intervall kallas den inre punkt i till intervallet.
plats för figur
| Definition |
|---|
| En punkt A som ligger ligger helt inne i ett intervall kallas inre punkt till intervallet.
|
| Uppgift |
|---|
Vilket eller vilka av talen [math]\displaystyle{ 1 ; 1.414 ; \sqrt{2} ; 3 ; \pi }[/math] är inre punkter till intervallen
|
Omgivning
| Definition |
|---|
| Om en punkt A är inre punkt till ett öppet intervall U kallas U en omgivning till A |
Ofta kommer vi att använda symmetriska omgivningar till en punkt som [math]\displaystyle{ A-\epsilon\lt A\lt A+\epsilon }[/math]
där [math]\displaystyle{ \epsilon }[/math] är ett godtyckligt positivt tal > 0 (ofta litet) tal. Det kan också skrivas [math]\displaystyle{ ]A-\epsilon, A+\epsilon[ }[/math].
| Uppgift |
|---|
| Uppgifter på omgivningar |
Punkterade omgivningar
Ibland undantar man A från själva omgivningen till A då kallas det en punkterad.
| Definition |
|---|
| De sammanslagna intervallen [math]\displaystyle{ P_-= \rm{A-a\lt x\lt A} }[/math] och [math]\displaystyle{ P_+=\rm{A\lt x\lt A+b} }[/math] kallas en punkterad omgivning P till A
Det kan också skrivas så här: P är alla x som uppfyller [math]\displaystyle{ ]a,A[ och ]A,b[ }[/math] där a<A och b>A |
plats för figur
| Uppgift |
|---|
| uppgifter punkterade omgivningar |