Räta linjen Ma2c

Teori

Exempel

Bevis

Bevis 2

Genomgång

GeoGebra

Laboration

Uppgifter

Aktiviteter

Python

Lär mer

[redigera]

I Matte 1-kursen har vi använt oss av räta linjens ekvation för att beskriva vissa typer av samband. I det här avsnittet ska vi repetera grunderna för linjära funktioner och även bygga vidare på det genom att titta på parallella och vinkelräta linjer.

Grafiskt

Hur ser ekvationen ut för linjen i bilden?

En rät linje går mellan punkterna.

1. Vad har linjen för lutning? k-värdet
2. Vad betyder et att k är negativt
3. Var skär den y-axeln? m-värdet
4. Skriv räta linjens ekvation på formen y = kx + m

Beräkna k och m algebraiskt

hur gör man för att ta fram räta linjens ekvation?

Här ska vi lära oss hur man tar fram räta linjens ekvation om man bara har två punkter att utgå ifrån eller om man har en punkt och linjens lutning. Det är alltså så att om man vet två saker om sin linje så kan man ta fram räta linjens ekvation och skriva den på formen y = kx + m.

Det handlar alltså om att hitta värdena för k och m.

Definition
Att hitta räta linjens ekvation För att rita en rät linje eller för att skriva dess ekvation behöver du antingen: två punkter på linjen eller en punkt på linjen och dess lutning

En punkt på linjen kan vara att veta var den skär en axel, exempelvis y-axeln.

Riktningskoefficienten

Egentligen kokar det ner till att man behöver hitta k och m. Om man inte redan har fåt k angivet i uppgiften så tar man fram det på det viset vi lärt oss tidigare:

Slope picture

Load video

YouTube

YouTube might collect personal data. Privacy Policy

ContinueDismiss

Definition
Riktningskoefficienten [math]\displaystyle{ k = \frac {y_2 - y_1}{x_2 - x_1} }[/math]

http://www.matteguiden.se/wp-content/uploads/2010/01/linjes-lutning-4.png

http://www.matteguiden.se/wp-content/uploads/2010/01/linjes-lutning-3.png

Hitta m

Om vi har k så är vi halvvägs framme vid att kunna skriva räta linjens ekvation. Det som saknas är ett m-värde.

m-värdet får vi genom att använda en punkt på linjen. Punkten har ju ett värde på x och y som vi sätter in i räta linjens ekvation tillsammans med vårt k-värde.

[math]\displaystyle{ y = kx + m }[/math]

Då är det ju bara m som är obekant.

Använd y = kx + m oxg sätt in koordinaterna för en punkt samt värdet för k. Lös ut m i ekvationen.

Parallella och vinkelräta linjer

Load video

YouTube

YouTube might collect personal data. Privacy Policy

ContinueDismiss

Parallella linjer

Parallel Lines

Egenskaper
Två linjer är parallella om de har samma riktningskoefficient. [math]\displaystyle{ k_1 = k_2 }[/math]

Vinkelräta linjer

Egenskaper
Två linjer är vinkelräta om produkten av riktningskoefficienterna är minus ett. [math]\displaystyle{ k_1 \cdot k_2= -1 }[/math]

[redigera]

Bestäm k-värdet

Exempel
Bestäm k Bestäm riktningskoefficienten för den linje som går genom punkterna (1,2) och (4,-3) Vi räknar ut riktningskoefficienten med hjälp av x- och y-värdena ovan: [math]\displaystyle{ k = \frac {-3-2}{4-1} = \frac{-5}{3} =- \frac {5}{3} }[/math]

Hitta m

Exempel
Bestäm m [math]\displaystyle{ k = 2 }[/math] och en punkt är [math]\displaystyle{ (3,5) }[/math] Sätter man in värdena så får man: [math]\displaystyle{ 5 = 2 * 3 + m }[/math] Vilket ger: [math]\displaystyle{ m= 5 -2 * 3 }[/math] [math]\displaystyle{ m= 5 -6 }[/math] [math]\displaystyle{ m= -1 }[/math] Således: kan vi skriva räta linjens ekvation som [math]\displaystyle{ y= 2 x - 1 }[/math]

Problemlösning

Exempel

Billig städning + uträkning till exemplet Uppgift Erika anställer en städare och får betala för 4 timmar 450 kr och för 9 timmar 990 kr Erika betalar både grundavgift och en avgift per timme. Hur stor är timpenningen Erika måste betala? Uträkning Tänk så här: Kostnaden ökar med [math]\displaystyle{ 990kr-450kr= 540kr }[/math] Tiden ökar med [math]\displaystyle{ 9-4= 5 timmar }[/math] [math]\displaystyle{ \frac{990-450}{9-4} = \frac{540}{5} = 108 kr/timme }[/math] Avgiften per timme blir[math]\displaystyle{ = 108 kr }[/math]

Exempeluppgift

[redigera]

Bevis för att vinkelräta linjer innebär att [math]\displaystyle{ k_1 \cdot k_2 = -1 }[/math]

Om det är 90^o mellan linjerna så gäller att:

[math]\displaystyle{ \alpha = \beta }[/math]

Då är enligt figuren (likformighet eller tangens)

[math]\displaystyle{ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} }[/math] (1)

Förhållandet mellan sträckorna a/b och c/d ger oss riktingskoeficienterna [math]\displaystyle{ k_1 }[/math] och [math]\displaystyle{ k_2 }[/math]

[math]\displaystyle{ k_1 = \frac{a}{b} }[/math]

och

[math]\displaystyle{ k_2 = - \frac{d}{c} }[/math] eller omskrivet [math]\displaystyle{ -\frac{1}{k_2} = \frac{c}{d} }[/math]

Om vi jämför med formel (1) ovan ser vi att

[math]\displaystyle{ k_1 = -1 \cdot \frac{1}{k_2} }[/math]

om vi skriver om det har vi den trevligare formen

[math]\displaystyle{ k_1 \cdot k_2 = -1 }[/math]

V.S.B.

[redigera]

[redigera]

Här tas enpunktsformeln upp. Den är praktisk men inte nödvändig. Den står inte i formelsamlingen.

Definition
Enpunktsformeln [math]\displaystyle{ y-y_1 = k(x-x_1) }[/math]

[redigera]

[redigera]

Vi ska göra en laboration med ett snöre. Ett snöre per person.

Ställ upp en modell för snörets längd som funktion av antalet knutar.

Följdfrågor

1. Hur lång är en knut?
2. Vilken definnitions- respektive värdemängd har modellen?

Rdovisa dina mätdata i tabeller och grafer samt skriv en redogörelse för modellens giltighet och felkällor. Använd Excel.

[redigera]

Obligatoriska uppgifter

Är linjen rät?

Ligger punkterna (243,7), (244,18) och (250,84) på en rät linje?

Vinkelräta linjer

Bestäm funktionen för den räta linje som är vinkelrät mot linjen y = 0.25 x + 12 och skär x-axeln för x = 5.

Interaktiv övning i GeoGebra

Bra uppgifter

• Typtal räta linjens ekvation. Grundläggande begrepp som lutning och m-värde.

Repetion och enklare uppgifter

• OlleH
• Typtal räta linjens ekvation

[redigera]

Repetition och problemlösning

Problemlösning - Diskutera

Jobba själv

Facit: (klicka expandera till höger)

Se ett diagram över Rommepriserna 2007 här.

Ser du något som kunde gjorts bättre när det gäller skalan på x-axeln.

Att hitta k och m (algebraiskt)

Uppgift
En linje går genom punkterna (-3,4) och (5,-2). Bestäm räta linjens ekvation. Ta nu fram ett eget exempel (med lösning) där man bestämmer räta linjens ekvation när man känner två punkter. Prova att skriv det i Latex på din användarsida i Wikiskola.

Latex-tips

<math>
\frac{\Delta y}{\Delta x} \cdot 
</math>

Riktningskoefficienten

Parallella och vinkelräta linjer

Facit: (klicka expandera till höger)

[redigera]

Programmering - räta linjens k- och m-värde

[redigera]

Allmän form (linjens ekvation)

Wikipedia skriver om injär_ekvation

En linjär ekvation kan även skrivas på så kallad allmän form:

[math]\displaystyle{ Ax + By + C = 0\, }[/math]

eller på standardform:

[math]\displaystyle{ A x +By = C.\, }[/math]

Enpunktsformen

Om man känner till riktningskoefficienten och en punkt [math]\displaystyle{ (x_0, y_0) }[/math] på linjen kan man skriva den på enpunktsform:

[math]\displaystyle{ y-y_0 = k(x-x_0)\, }[/math]

Problemlösning

• Tristan och Isolde
• MalinC förklarar Räta linjen Här finns det bra förklaringar och en del övningar. jag kan rekommendera fler delar av hemsidan. Sök efter sånt som har med vårt kapitel att göra.

Hitta k och m

• http://www.youtube.com/watch?v=obtLcSrvE_Y

Riktningskoefficienten

Parallella och vinkelräta linjer

Fin sida för dej som satsar på högre betyg på provet än E/D.

Bevis på engelska om vinkelräta linjer. Observera att amerikaner använder m i stället för k!

Exit ticket